КАРТОЧКА
ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер 24-21-20112
НазваниеУниверсальные структуры в теории C*-алгебр и их приложения в квантовой информатике
РуководительГумеров Ренат Нельсонович, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Казанский (Приволжский) федеральный университет", Республика Татарстан (Татарстан)
| Период выполнения при поддержке РНФ | 2024 г. - 2025 г. |
Конкурс№90 - Конкурс 2024 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами» (региональный конкурс).
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-109 - Вещественный и функциональный анализ
Ключевые словаС*-алгебра, *-автоморфизм, прямой предел, категория, квантовый канал, квантовый процесс, скрещенное произведение, тензорное произведение, универсальная C*-алгебра
Код ГРНТИ27.39.23
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект посвящен исследованию универсальных структур, возникающих в теории С*-алгебр, и их приложениям в квантовой теории информации. Предметом рассмотрения в проекте служат следующие объекты: пределы индуктивных систем, состоящих из C*-алгебр и их *-гомоморфизмов; универсальные C*-алгебры, определяемые наборами порождающих элементов и соотношений, которым удовлетворяют эти элементы; скрещенные произведения C*-алгебр; квантовые каналы для составных квантовых систем, определенные на алгебрах операторов, действующих в тензорных произведениях гильбертовых пространств; квантовые процессы.
Важная роль в проекте отводится приведенным полугрупповым C*-алгебрам, построенным для полугрупп со свойством сокращения. Такие алгебры являются очень естественными объектами, поскольку они порождаются левыми регулярными представлениями полугрупп. К числу таких алгебр относятся универсальная алгебра Теплица, порожденная изометрией, и универсальные алгебры Теплица-Кунца, порождаемые конечными наборами изометрий со взаимно ортогональными образами.
Универсальными структурами, несущими в себе информацию об алгебраических, аналитических и динамических свойствах объектов, являются скрещенные произведения С*-алгебр. Скрещенное произведение унитальной С*-алгебры и дискретной группы может быть описано как универсальная С*-алгебра, определяемая множеством порождающих элементов и набором соотношений для них. Скрещенное произведение обобщает понятия групповой С*-алгебры. Одной из задач проекта является изучение свойств скрещенных произведений полугрупповых С*-алгебр с полугруппами.
Проект носит в основном теоретический характер и направлен на дальнейшее развитие теории С*-алгебр и квантовой информатики. При работе над проектом будут использованы подходы, основанные на известных методах теории C*-алгебр и квантовой теории информации, а также новые методы и подходы, разработанные участниками проекта. Планируется продолжить развивать метод аппроксимации полугрупповых С*-алгебр универсальными С*-алгебрами, то есть метод представления полугрупповых С*-алгебр в виде прямых пределов индуктивных систем. Планируется дальнейшее развитие категорного подхода к изучению универсальных С*-алгебр как инициальных объектов категорий, введенных Т. А. Лорингом в 2010 году. Планируется изучение свойств квантовых каналов на составных системах, по которым однозначно определяются каналы подсистем, а также свойства делимости квантовых процессов.
Все указанные направления исследования актуальны для современных областей некоммутативного анализа, геометрии, теории вероятностей и квантовой теории информации. Они находятся в центре внимания специалистов. Запланированные в ходе выполнения проекта результаты являются новыми и составят существенное развитие ряда областей некоммутативного анализа и квантовой информатики.
Ожидаемые результаты
1. Приведенные полугрупповые С*-алгебры, порожденные регулярными представлениями полугрупп, и их автоморфизмы являются важными объектами изучения в теории операторных алгебр. Одним из разработанных участниками проекта методов исследования этих С*-алгебр является представление их в виде прямых пределов индуктивных последовательностей универсальных С*-алгебр. В рамках проекта будут рассматриваться индуктивные последовательности двух видов, предельные С*-алгебры которых являются приведенными полугрупповыми С*-алгебрами:
- состоящие из алгебр Теплица со связующими гомоморфизмами, задаваемыми произвольной последовательностью простых чисел; здесь будет получено описание предельной С*-алгебры, как универсальной алгебры, задаваемой набором порождающих и соотношений;
- состоящие из алгебр Теплица-Кунца со связующими гомоморфизмами, задаваемыми произвольными конечными наборами натуральных чисел; здесь будет получен критерий того, когда *-эндоморфизмы предельных C*-алгебр являются автоморфизмами; будет дана его формулировка в теоретико-числовых, алгебраических терминах и в терминах существования обобщенных средних на P-адических соленоидах.
2. В рамках проекта будут рассмотрены С*-динамические полусистемы, для которых действия полугрупп на приведенные полугрупповые С*-алгебры задаются, в одном случае, автоморфизмами, а в другом – эндоморфизмами. Будет описана новая модель построения скрещенного произведения приведенной полугрупповой С*-алгебры с дискретной полугруппой.
3. Описание универсальных С*-алгебр является актуальной задачей в теории С*-алгебр. Большой вклад в аксиоматическое описание универсальных С*-алгебр вносит категорный подход. Участниками проекта будут выявлены связи между категориями компактных С*-соотношений и категориями *-полиномиальных соотношений и будут описаны инициальные объекты 'этих категорий, которые являются универсальными С*-алгебрами.
4. Участниками проекта будут изучаться различные свойства порождающих и порожденных квантовых каналов и процессов, в частности, свойства делимости. Будут даны необходимые и достаточные условия делимости квантовых процессов. Результаты исследований внесут значительный вклад в изучение актуальных вопросов квантовой теории информации.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ