КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ


Номер 24-22-00183

НазваниеРазвитие алгоритмов решения прямых задач рассеяния, ассоциированных с интегрируемыми нелинейными уравнениями Шредингера

РуководительФрумин Леонид Лазаревич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирская обл

Период выполнения при поддержке РНФ 2024 г. - 2025 г. 

Конкурс№89 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 02 - Физика и науки о космосе, 02-402 - Нелинейные колебания и волны

Ключевые словаНелинейное уравнение Шредингера, модель Манакова, метод обратной задачи рассеяния, прямая задача рассеяния, численные алгоритмы.

Код ГРНТИ29.35.03


 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ


Аннотация
Многие варианты нелинейного уравнения Шредингера (НУШ) принадлежат к нетривиальному классу интегрируемых уравнений в частных производных, изучаемых Методом Обратной Задачи Рассеяния (ОЗР) (см.: [В.Е Захаров., С.В Манаков., С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980]), В рамках метода ОЗР решение нелинейного уравнения приводит к исследованию линейных прямых и обратных спектральных задач рассеяния (ЗР), связанных с исходным нелинейным уравнением. Суть метода ОЗР состоит в том, что нелинейному эволюционному уравнению ставится в соответствие система линейных уравнений, где в качестве коэффициентов используются решения нелинейного уравнения. Оказалось, что численная реализация метода ОЗР на основе алгоритмов решения линейныхЗР позволяет развивать эффективные алгоритмы решения задачи Коши для нелинейных эволюционных уравнений, причем, без каких-либо итераций. В последние годы было разработано значительное число алгоритмов решения как обратных, так и прямых ЗР (см. обзор [A. L. Delitsyn, Fast Algorithms for Solving the Inverse Scattering Problem for the Zakharov--Shabat System of Equations and Their Applications, Mathematical Notes, 2022, 112]). Для скалярного случая системы Захарова - Шабата в нашей лаборатории были разработаны вычислительные алгоритмы Теплицева внутреннего окаймления (Toeplitz Inner Bordering - TIB) [O.V. Belai L.L. Frumin, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro. JOSA B, 2007; 24, L.L. Frumin, O.V. Belai, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro. JOSA B, 2015; 32]. Их численная эффективность обусловлена использованием обнаруженной ранее теплицевой симметрии дискретизованных уравнений Гельфанда-Левитана-Марченко (ГЛМУ). Настала очередь решения векторного НУШ, учитывающего поляризацию волн. Векторный вариант нелинейного уравнения Шрёдингера, учитывающий одновременно эффекты поляризации, дисперсии и нелинейности, известен как модель Манакова [С.В. Манаков, ЖЭТФ 1974; 38]. В последние годы модель Манакова особенно востребована для изучения нелинейно-дисперсионных и поляризационных эффектов, возникающих при распространении оптического излучения по волоконным линиям связи. Недавно, наш коллектив, в рамках гранта РНФ № 22-22-00653, разработал блочные алгоритмы решения ЗР для системы Манакова, значительно расширяющих возможности и перспективы метода ОЗР: [O.V. Belai. Fast numerical method of second-order approximation for the solution of inverse scattering problem. Quantum Electronics, 2022; 52(11):1039-1043. https://www.mathnet.ru/rus/qe/v52/i11/p1039, A.E. Chernyavsky, L.L. Frumin, . Inverse scattering transform algorithm for the Manakov system. Computer Optics, 2023 (in print)]. Общая схема решения задачи Коши для векторного) НУШ в рамках МОЗР предполагает решение прямой ЗР, поэтому развитие алгоритмов решения прямых ЗР для системы Манакова является важной и актуальной научной проблемой, решение которой составляют главную цель данного Проекта, который является логическим продолжение предыдущего Проекта в рамках гранта РНФ № 22-22-00653. Основным направлением данного проекта является развитие алгоритмов решения прямых ЗР для системы Манакова. Алгоритмы решения прямых задач, совместно с недавно разработанными коллективом Проекта блочными алгоритмами решения ОЗР, составят, в дальнейшем, численные алгоритмы эффективного решения задач Коши для векторного НУШ Манакова. Наконец, отметим еще одно (хотя и не основное) направление исследований – это прямые ЗР на нелокализованных потенциалах НУШ с постоянным фоном. Такие задачи в последнее время привлекают внимание исследователей не только в оптических, но и в гидродинамических приложениях.

Ожидаемые результаты
1) Разработка численных алгоритмов решения прямой задачи рассеяния, ассоциированной с дефокусирующим векторным НУШ модели Манакова. Решение этой проблемы позволит численно решать (в дефокусирующем случае) задачи с начальными условиями (задачи Коши) для нелинейной модели Манакова с помощью линейных алгоритмов решения задач рассеяния. Применение таких алгоритмов представляет интерес для моделирования волоконно-оптических решеток. 2) Исследование и разработка численных алгоритмов решения прямых задач рассеяния, ассоциированных с фокусирующим векторным НУШ модели Манакова. Решение этой проблемы позволит численно решать задачи Коши для ряда фокусирующего случаев нелинейной модели Манакова, на основе линейных алгоритмов решения задач рассеяния. Применение таких алгоритмов представляет интерес для моделирования передачи информации в волоконно-оптических сетях, с учетом поляризации и нелинейно-дисперсионных эффектов. 3) Изучение возможностей и разработка численных алгоритмов решения прямых задач рассеяния для нелокализованных потенциалов с постоянным фоном для системы Захарова-Шабата. Эти алгоритмы важны для приложений в оптике, физике плазмы и гидродинамике.


 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ