КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ


Номер 24-71-00059

НазваниеТорическая топология и комбинаторная теория групп

РуководительВерёвкин Яков Александрович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ 07.2024 - 06.2026 

Конкурс№97 - Конкурс 2024 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными.

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-105 - Топология

Ключевые словаторическая топология, комбинаторная теория групп, момент-угол многообразия и комплексы, граф-произведение, декартова подгруппа, прямоугольная группа Артина, прямоугольная группа Кокстера, минимальное копредставление, полиэдральное произведение, нижний центральный ряд, присоединенная алгебра Ли, алгебры Понтрягина, гомологии петель, гомотопическое кольцо

Код ГРНТИ27.19.00


 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ


Аннотация
Благодаря работам научных руководителей руководителя и исполнителей проекта (Бухштабера В. М. и Панова Т. Е.) в последние 20 лет возникло новое активное направление в топологии, геометрии и комбинаторике - торическая топология, которое позволило сформировать новые подходы к проблемам, ключевым конструкциям и фундаментальным результатам алгебраической топологии, гомологической алгебры и комбинаторной геометрии. В торической топологии, гомотопической теории полиэдральных произведений и геометрической теории групп существует ряд результатов, возникающих парами – теоретико-групповой и теоретико-гомотопический, часто с аналогичными формулировками, но разными доказательствами. К ним относятся конструкции классифицирующих пространств для прямоугольных групп Артина и Кокстера, описание их когомологий и описание алгебр гомологий пространств петель полиэдральных произведений. Имеются весьма схожие описания коммутанта прямоугольной группы Коксетера (см. Панов, Веревкин; Полиэдральные произведения и коммутанты прямоугольных групп Артина и Коксетера) и гомологий петель момент-угол комплекса H_*(ΩZK), являющихся подалгеброй-коммутантом алгебры Понтрягина (гомологий петель) пространства Дэвиса-Янушкевича (полиэдральной степени бесконечномерного комплексного проективного пространства H_*(Ω CP^∞)^K (см. Grbi ́c; Panov; Theriault; Wu. Homotopy types of moment-angle complexes for flag complexes). При этом в случае флагового комплекса K коммутант прямоугольной группы Кокстера RC'_K и подалгебра-коммутант H_*(Ω Z_K) свободны тогда и только тогда, когда одномерный остов K^1 является хордовым графом. Также имеется аналогия в критериях того, что RC'_K и H_*(Ω Z_K) являются группой и алгеброй с одним определяющим соотношением (см. Grbi ́c; Ilyasova; Panov; Simmons. One-relator groups and algebras related to polyhedral products). Наши последние результаты в данном направлении позволили построить изоморфизм между гомологиями петель пространства Дэвиса-Янушкевича над полем Z_2 с универсальной обертывающей алгебры Ли ассоциированной с нижним 2-центральным рядом прямоугольных групп Кокстера, то есть фундаментальной группы вещественного момент угол комплекса (см. Панов Т.Е.; Рахматуллаев Т. А. Полиэдральные произведения, граф-произведения и p-центральные ряды). Это ещё один шаг в задаче изучения гомотопической алгебры Ли (относительно скобки Самельсона-Уайтхеда) над конечными полями для петель пространства Дэвиса-Янушкевича. Полученные в исследовании результаты описывают присоединенные алгебры Ли для граф-произведений групп, важной задачей является обобщение самого класса групп и обобщение топологической интерпретации на изученные классы групп. Отдельным связанным направлением исследования является описание алгебры Ли, ассоциированной с обычным (не ограниченным) нижним центральным рядом прямоугольной группы Кокстера. Уже получены некоторые результаты, описывающие аддитивный базис в отдельных градуированных компонентах (см. работы Верёвкин Я. А. Градуированные компоненты присоединенной алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера и Верёвкин Я. А.; Рахматуллаев, Т. А. О последовательных факторах нижнего центрального ряда прямоугольной группы Кокстера), всё ещё стоит задача построения вычислительного алгоритма. Известным и важным продвижением в изучении возникающей связи групповой, гомотопической и гомологической теории является следствие теорем Милнора-Мура и Картана-Сера, согласно которому универсальная обертывающая рациональной гомотопической алгебры Ли петель пространства X изоморфно гомологиям петель пространства X. Будут исследованы задания граф-произведений групп и их декартовых подгрупп как можно меньшим набором образующих и соотношений. Для этого мы применим методы гомологической алгебры и явные модели классифицирующих пространств, связанные с полиэдральными произведениями. Особое внимание планируется уделить частному случаю прямоугольных групп Коксетера и их коммутантов, а также фундаментальным группам малых накрытий.

Ожидаемые результаты
Ожидается получение результатов в исследовании двойных гомологий. Ожидается исследование нижнего центрального ряда прямоугольной группы Кокстера и описание минимальных систем образующих в градуированных компонентах присоединённой алгебры Ли прямоугольной группы Кокстера. Данные исследования значимы для изучения коммутанта прямоугольной группы Кокстера и групп, порождённых отражениями на плоскости Лобачевского. Мы планируем обобщить результаты, связанные с описанием присоединенной алгебры Ли ограниченных нижних центральных рядов для граф-произведений и прямоугольных групп Кокстера. Ожидаемым результатом является обобщение на более широкий класс групп. Также более глубокого понимания требует полученная связь изучаемых присоединенных алгебр Ли и алгебр гомологий петель для граф-произведений бесконечномерных проективных пространств. Обобщение результатов, связывающих теоретико-групповые результаты и результаты в теории гомотопий, является важной задачей, существующей на пересечении комплекса математических наук, так как позволяет переносить получаемые результаты из одной области в другую. Кроме того, отдельно взятые задачи описания нижнего центрального ряда для прямоугольной группы Кокстера представляют широкий интерес для комбинаторной теории групп и гиперболической геометрии. Ожидается получение явных верхних и нижних оценок на число образующих и соотношений в копредставлениях граф-произведений произвольного набора дискретных групп, а также в копредставлениях их декартовых подгрупп. Будут получены явные копредставления с помощью алгоритма Рейдемейстера-Шрайера и алгоритмы вычисления копредставлений с малым числом образующих и соотношений.


 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ