КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер 25-21-00257

НазваниеТеория и примеры точных решений неоднородных задач теории упругости в прямоугольнике

РуководительКержаев Александр Петрович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук (ИТПЗ РАН), г Москва

Период выполнения при поддержке РНФ

2025 г. - 2026 г.

Конкурс№102 - Конкурс 2024 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами».

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах, 01-301 - Теория упругости, сопряженные модели

Ключевые словатеория упругости, неоднородные задачи, точные решения, собственные функции Папковича–Фадля

Код ГРНТИ30.19.15

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен точным решениям неоднородных задач теории упругости в прямоугольнике (бигармоническая проблема), в частности, задач с включениями (одномерными или двумерными) и трещинами. Полученные результаты станут основой для решения таких практически важных задач, как, например, полоса с круговым отверстием, с прямоугольным вырезом, с круговой выточкой и т.д. Решения неоднородных задач в прямоугольнике базируются на суперпозиции двух решений: решении с помощью соотношения ортогональности Папковича неоднородной задачи для бесконечной полосы и соответствующем решении однородной задачи для прямоугольника (получены авторами ранее). Оба решения получаются в рядах по собственным функциям Папковича–Фадля. Решения в прямоугольнике с упругими включениями получаются следующим образом. Вначале определяются контактные напряжения между включением и пластиной. Решающим здесь является представление нагрузки, приложенной к упругому элементу, в виде ряда Лагранжа по какой-либо системе функций Папковича–Фадля (в зависимости от рассматриваемой краевой задачи). Затем контактные напряжения подставляются в соотношение ортогональности Папковича, отвечающее рассматриваемой неоднородной задаче. Окончательный результат получается в виде рядов по собственным функциям Папковича–Фадля. Бигармонической проблеме теории упругости почти 200 лет. За это время были опубликованы сотни статей, что более всего свидетельствует о ее актуальности и важности. Точное решение бигармонической проблемы может быть получено только в рядах по собственным функциям Папковича–Фадля – базисным функциям краевой задачи. Коэффициенты разложений по собственным функциям должны определяться с помощью систем функций, биортогональных к собственным. Однако к функциям Папковича–Фадля нельзя построить биортогональные, основываясь на классических представлениях теории базиса. Поэтому точное решение бигармонической проблемы длительное время оказывалось невозможным. Наверное, с середины 1990-х годов и примерно до 2010-го в работах авторов начал формироваться принципиально новый облик решения бигармонической проблемы в декартовой системе координат (классическая задача для свободной полуполосы с заданными на ее торце напряжениями). В это время работы авторов публиковались в Дифференциальных уравнениях, ПММ, МТТ, Докладах РАН. В МТТ (2011, 2013) были опубликованы основы теории разложений по собственным функциям Папковича–Фадля и получено решение упомянутой выше задачи для полуполосы. Было показано, что системы собственных функций Папковича–Фадля не образуют классического базиса, а биортогональные к ним системы функций определяются на римановой поверхности логарифма с помощью преобразования Бореля в классе квазицелых функций экспоненциального типа. Затем наступил период развития основных положений теории и ее применения к решению различных краевых задач теории упругости и теории изгиба пластин. Были получены решения для полуполосы и прямоугольника с различными граничными условиями на их сторонах, решения температурных задач, задач с одномерными включениями и т.д. Были построены элементы аналогичной теории в полярной и косоугольной системах координат. Научная новизна исследований заключается прежде всего в самом методе построения точных решений краевых задач для бигармонического уравнения в конечных областях с угловыми точками границы, основанном на развитой авторами принципиально новой теории базиса функций, основу которой составляет аппарат преобразования Бореля в классе квазицелых функций экспоненциального типа. Все результаты, которые будут получены в проекте, являются новыми.

Ожидаемые результаты
Будут построены примеры точных решений неоднородных краевых задач (уравнения равновесия с правой частью) в прямоугольнике с различными граничными условиями на его сторонах и с различными нагрузками внутри области. Решения представляются готовыми формулами в виде рядов по собственным функциям Папковича–Фадля. Эти решения могут быть использованы, в частности, в геофизике для определения НДС литосферных плит, обусловленных движением мантийных потоков на подошве этих плит. Например, центрально-симметричному вихревому движению мантии соответствует неоднородная задача для прямоугольника с моментной нагрузкой в центре и какими-либо граничными условиями на его сторонах. На базе неоднородных решений строятся решения для прямоугольника с упругими включениями. Эти задачи имеют различные приложения в строительном деле в том случае, когда в качестве математической модели может быть выбрано плоское напряженное состояние или плоская деформация. Например, расчет балок-стенок (плоское напряженное состояние), расчет ленточных фундаментов (плоская деформация) и т.д. Опыт показывает, что двумерные модели теории упругости могут быть весьма эффективными при решении некоторых трехмерных задач, возникающих в строительной инженерии. Этот опыт давно известен и широко использовался инженерами-строителями до появления эффективных численных методов. Однако для этого требуется большой опыт работы и ясное понимание физической природы задачи. Несмотря на бурное развитие численных методов решения, значение точных решений не уменьшилось. Приведем простой пример. В численных расчетах буронабивных свай хорошо просматривается рост касательных напряжений вдоль сваи по мере приближения к ее голове. Чем обусловлен этот рост, каков он – степенной или логарифмический? На эти и другие подобные вопросы могут дать ответ только аналитические, точные решения. В этом одна из причин научной значимости точных решений в наше время. Несмотря на то, что для получения точного решения какой-либо задачи требуются иногда годы, в то время как численное решение можно получить за несколько часов, их значение в современном мире по-прежнему очень велико. Результаты, которые будут достигнуты при выполнении проекта, являются новыми и не имеют аналогов в известных авторам публикациях. По результатам исследований будет опубликовано не менее 4 статей в российских и зарубежных научных изданиях, индексируемых в библиографических базах данных Web of Science, Scopus и/или RSCI, и будет представлено не менее 4 докладов на российских и международных конференциях.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ