Разработка математического аппарата исследования непрерывных и дискретных задач оптимизации

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 15-11-10021

НазваниеРазработка математического аппарата исследования непрерывных и дискретных задач оптимизации

Руководитель Жуковский Евгений Семенович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Тамбовский государственный университет имени Г.Р. Державина" , Тамбовская обл

Конкурс №7 - Конкурс 2015 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований с привлечением молодых исследователей»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления

Ключевые слова задача оптимизации, вариационная задача, нелинейное уравнение, система Каруша-Куна-Таккера, условия регулярности ограничений, условия оптимальности, критический множитель Лагранжа, двойственная стабилизация, анормальная точка, накрывающее отображение метрического пространства, накрывающее отображение полуупорядоченного пространства, точка совпадения двух отображений, кратная неподвижная точка

Код ГРНТИ27.37.00; 27.47.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен исследованию и разработке алгоритмов решения различных классов задач оптимизации с ограничениями, к которым не применимы классические методы; разработке соответствующего математического аппарата, включая теорию накрывающих отображений; созданию теории критических множителей Лагранжа. Для исследования экстремальных задач в случае нарушения условий регулярности ограничений (их нормальности) или предположений гладкости достаточно эффективными оказываются методы, основанные на теории возмущений, а также, на современных результатах анализа отображений, действующих в метрических и полуупорядоченных пространствах. Развитию этих перспективных направлений анализа, имеющих многочисленные теоретические и практические приложения, посвящена значительная часть проекта. В проекте предлагаются новые направления развития теории накрывающих отображений. Будут получены утверждения о существовании и свойствах решений уравнений и систем уравнений в метрических и полупорядоченных пространствах, обобщающие и расширяющие классические принципы неподвижных точек и точек совпадения. Эти утверждения актуальны в исследовании дифференциальных, интегральных, функциональных уравнений, задач управления и оптимизации. Важное теоретическое и прикладное значение будут иметь результаты об упорядоченно накрывающих отображениях; об условиях существования решений, верхних и нижних решений уравнений с отображениями, действующими в полуупорядоченных пространствах, упорядоченно накрывающими по первому аргументу и антитонными по второму. Эти результаты будут включать в себя частными случаями принципы Б. Кнастера, А. Тарского, Д.Д. Биркгофа, Л.В. Канторовича, Р.Е. Смитсона неподвижных точек монотонных операторов. В случае нарушения традиционных условий регулярности ограничений, гарантирующих единственность множителя Лагранжа, множество таких множителей может устойчивым образом содержать тощее подмножество, состоящее из так называемых критических множителей Лагранжа, которые обладают очень специальными свойствами. В частности, как было обнаружено экспериментально около 10 лет назад, критические множители притягивают двойственные траектории прямо-двойственных ньютоновских методов, что влияет на эффективность последних крайне негативным образом. С другой стороны, именно критические множители обычно оказываются устойчивыми по отношению к возмущениям входных данных задачи. За прошедшие с момента «обнаружения» критических множителей 10 лет получены убедительные численные свидетельства существования, устойчивости и негативной роли указанного эффекта притяжения к ним, а также отдельные теоретические результаты, в некотором смысле «объясняющие» такое поведение. На данный момент совершенно ясно, что именно притяжение к критическим множителям является основным препятствием для построения действительно эффективных «практичных» численных методов поиска особых решений нелинейных задач оптимизации и вариационного анализа. Однако, полное понимание природы и причин данного феномена остается актуальнейшей открытой проблемой. В частности, результаты, показывающие, что множество критических множителей действительно является аттрактором, на сегодняшний день известны лишь для некоторых очень специальных частных случаев. В проекте планируется разработка как можно более полной теории критических множителей Лагранжа. Помимо этого, планируется разработка эффективных процедур двойственной стабилизации, позволяющих преодолевать негативное влияние эффекта притяжения на поведение численных методов. Полученные результаты и разработанные методы нелинейного анализа будут применены для решения конкретных, возникающих в приложениях задач, для нахождения условий оптимальности, для исследования чувствительности и устойчивости оптимальных режимов к параметрическим возмущениям, для приближенного решения задач оптимизации. Решение поставленных задач связано с преодолением принципиальных трудностей и требует создания новых математических средств. Ожидаемые результаты не имеют аналогов в существующей литературе.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Бурлаков Е., Виллер Дж., Поносов А. Two-dimensional Amari neural field model with periodic microstructure: Rotationally symmetric bump solutions Commun Nonlinear Sci Numer Simulat, V. 32, pp. 81-88 (год публикации - 2016)
10.1016/j.cnsns.2015.07.014

2. A.F. Izmailov, E.I. Uskov Attraction of Newton method to critical Lagrange multipliers: fully quadratic case Mathematical Programming, Series A. Volume 152, Issue 1-2, PP. 33-73. (год публикации - 2015)

3. Е.С. Жуковский О точках совпадения векторных отображений Russian Mathematics, Vol. 60, No. 10, pp. 10–22 (год публикации - 2016)
10.3103/S1066369X16100030

4. А.В. Арутюнов, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский Coincidence points principle for set-valued mappings in partially ordered spaces Topology and its Applications, V. 201, P. 330–343 (год публикации - 2016)
10.1016/j.topol.2015.12.044

5. М.Е. Жуковский, А.Е. Медведева Когда не выполнен k-закон нуля или единицы? Математические заметки, Т. 99, вып. 3. С.342–349 (год публикации - 2016)
10.4213/mzm10853

6. A. Fischer, M. Herrich, A.F. Izmailov, M.V. Solodov Convergence conditions for Newton-type methods applied to complementarity systems with nonisolated solutions Computational Optimization and Applications, pp. 425-458 (год публикации - 2015)
10.1007/s10589-015-9782-0

7. Е.С. Жуковский О возмущениях векторно накрывающих отображений и системах уравнений в метрических пространствах Сибирский математический журнал, Vol. 57, No. 2, pp. 230–241 (год публикации - 2016)
10.1134/S0037446616020063

8. E. Burlakov, E. Zhukovskiy, A. Ponosov, J. Wyller Existence, uniqueness and continuous dependence on parameters of solutions to neural field equations Memoirs on Differential Equations and Mathematical Physics, V. 65, pp. 35-55 (год публикации - 2015)

9. А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский Об оценках решений систем выпуклых неравенств Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 55, № 9, с. 1486-1492 (год публикации - 2015)
10.7868/S0044466915070030

10. А.В. Арутюнов, Н.Г. Павлова, А.А. Шананин Равновесные цены в одной модели экономического равновесия Математическое моделирование, т. 28, № 3, стр. 3-22 (год публикации - 2016)

11. A.F. Izmailov, A.S. Kurennoy, M.V. Solodov Some composite-step constrained optimization methods interpreted via the perturbed sequential quadratic programming framework Optimization Methods and Software, V. 30, № 3, pp. 461-477 (год публикации - 2015)
10.1080/10556788.2014.924515

Публикации

1. Жуковский Е.С., Трещев В.С. Накрывающие отображения в теории неявных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом Издательский дом ТГУ им. Г.Р. Державина, с. 1-87 (год публикации - 2016)

2. Жуковская Т.В., Забродский И.А., Серова И.Д. О функциональных неравенствах Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, Т. 21. Вып. 6. С. 1963-1968 (год публикации - 2016)
10.20310/1810-0198-2016-21-6-1963-1968

3. Бурлаков Е.О., Жуковский Е.С. О корректности обобщенных уравнений нейрополей с импульсным управлением Известия вузов. Математика, №5, c. 75–79 (год публикации - 2016)

4. Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и неявных дифференциальных неравенствах Дифференциальные уравнения, Т. 52, № 12, с. 1610–1627 (год публикации - 2016)
10.1134/S0374064116120025

5. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Properties of surjective real quadratic maps Sbornik: Mathematics, Vol. 207, № 9, pp. 1187–1214 (год публикации - 2016)
10.1070/SM8611

6. Поносов А., Жуковский Е. Generalized functional differential equations: existence and uniqueness of solutions Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No. 112, pp. 1–19 (год публикации - 2016)
10.14232/ejqtde.2016.1.112

7. Жуковский М.Е., Матушкин А.Д. Универсальный k-закон нуля или единицы Математические заметки, Т. 99, № 4. С. 511-525 (год публикации - 2016)
10.4213/mzm10805

8. Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. Об итерационных методах решения уравнений с накрывающими отображениями Сибирский журнал вычислительной математики, Т. 19, № 4. С. 357-369 (год публикации - 2016)
10.15372/SJNM20160402

9. Арутюнов А.А., Лой Й-Ч. On a method of reducing partial differential equations to solving the odes Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vol. 17, № 4, pp. 787-790 (год публикации - 2016)

10. Жуковский Е.С. О возмущениях накрывающих отображений в пространствах с векторнозначной метрикой Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, Т. 21, вып. 2, с. 375-379 (год публикации - 2016)
10.20310/1810-0198-2016-21-2-375-379

11. Измаилов А.Ф., Куренной А.С., Солодов М.В. Critical solutions of nonlinear equations: stability issues Mathematical Programming, pp 1–33 (год публикации - 2016)
10.1007/s10107-016-1047-x

12. Измаилов А.Ф., Солодов А.Ф., Усков Е.И. Globalizing Stabilized Sequential Quadratic Programming Method by Smooth Primal-Dual Exact Penalty Function Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 169, Iss. 1, pp. 148–178 (год публикации - 2016)
10.1007/s10957-016-0889-y

13. Фишер А., Херрич М., Измаилов А.Ф., Солодов М.В. A globally convergent LP-Newton method SIAM Journal on Optimization, Vol. 26, Iss. 4, pp. 2012–2033 (год публикации - 2016)
10.1137/15M105241X

14. Бурлаков Е., Поносов А., Виллер Дж. Stationary solutions of continuous and discontinuous neural field equations Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 444. Iss. 1, pp. 47–68 (год публикации - 2016)
10.1016/j.jmaa.2016.06.021

15. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Some new facts about sequential quadratic programming methods employing second derivatives Optimization Methods and Software, Vol. 31, No. 6, P. 1111–1131 (год публикации - 2016)
10.1080/10556788.2016.1177528

16. Жуковский Е.С. On Coincidence Points of Multivalued Vector Mappings of Metric Spaces Mathematical Notes, Vol. 100, No. 3, pp. 363–379 (год публикации - 2016)
10.1134/S0001434616090030

Публикации

1. Арутюнов А.В. On the existence of solutions of nonlinear equations Doklady Mathematics, V. 95, No. 1, pp. 46–49. (год публикации - 2017)

2. Забродский И.А., Поносов А.В. The principal component transform of parametrized functions Applied Mathematics, V. 8, pp. 453-475 (год публикации - 2017)

3. Жуковский Е.С. Об упорядоченно накрывающих отображениях и интегральных неравенствах типа Чаплыгина Алгебра и анализ (год публикации - 2018)

4. Измаилов А.Ф., Куренной А.С., Солодов М.В. Critical solutions of nonlinear equations: local attraction for Newton-type methods Mathematical Programming, c. 1-25 (год публикации - 2017)
10.1007/s10107-017-1128-5

5. Жуковский Е.С., Панасенко Е.А. О неподвижных точках многозначных отображений в пространствах с векторнозначной метрикой Труды Института математики и механики УрО РАН (год публикации - 2018)

6. Жуковская Т.В., Жуковский Е.С. Об одном квазиметрическом пространстве Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки, Т. 22, вып. 6, с. 1285-1292 (год публикации - 2017)
10.20310/1810-0198-2017-22-6-1285-1292

7. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. О мощности множества точек совпадения отображений метрических, нормированных и частично упорядоченных пространств Математический сборник (год публикации - 2018)

8. Измаилов А.Ф., Усков Е.И. Subspace-stabilized sequential quadratic programming Computational Optimization and Applications, V. 67, Iss. 1, pp. 129–154 (год публикации - 2017)
10.1007/s10589-016-9890-5

9. Жуковский Е.С., Тахир Х.М.Т. Вопросы теории краевых задач для функционально-дифференциальных уравнений Издательский дом ТГУ имени. Г.Р. Державина, Тамбов, с. 1-98 (год публикации - 2017)

10. Жуковский М.Е. Перемены кванторов в формулах первого порядка с бесконечным спектром Проблемы передачи информации, Т. 53, вып.4, с. 93-106 (год публикации - 2017)

11. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е., Маринкович Б. Theorems of the alternative for systems of convex inequalities Set-Valued and Variational Analysis, P. 1-20 (год публикации - 2017)
10.1007/s11227-017-0406-y

12. Арутюнов А.В., Гельман Б.Д., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е. Caristi-like condition. Existence of solutions to equations and minima of functions in metric spaces Fixed Point Theory (год публикации - 2018)

13. Жуковский М.Е., Матушкин А.Д. Спектры формул первого порядка с малой кванторной глубиной и малым числом перемен кванторов Доклады Академии наук, Т. 475, № 2, с. 127-129 (год публикации - 2017)
10.7868/S0869565217200014