Геометрические методы в нелинейных проблемах математической физики

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 18-11-00316

НазваниеГеометрические методы в нелинейных проблемах математической физики

Руководитель Гриневич Петр Георгиевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау Российской академии наук , Московская обл

Конкурс №28 - Конкурс 2018 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова геометрические и топологические методы математической физики, Нелинейное уравнение Шредингера, аномальные волны, конечнозонные решения, динамика квазичастиц на Ферми-поверхностях, метрики Эйнштейна, спектральная геометрия

Код ГРНТИ27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Целью данного проекта является исследование ряда нелинейных задач математической и теоретической физики с использованием современного аппарата дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и топологии. Аномальные волны, называемые также волнами-убийцами, в последнее время являются объектом активного изучения в нелинейной физике. Явление, когда волна большой амплитуды неожиданно возникает на сравнительно спокойном фоне, требует серьезного исследования, поскольку, в частности, такие волны в океане представляют опасность для кораблей. В оптических системах они могут стать источником трудно прогнозируемых помех. Одной из базовых моделей в нелинейной оптике является фокусирующее Нелинейное уравнение Шредингера. Поскольку оно является вполне интегрируемым при помощи обратной задачи теории рассеяния, оно может быть эффективно исследовано аналитическими методами. Однако, опыт взаимодействия с экспериментальной группой Eugenio Del Re из Университета Рим-1 в области нелинейной оптики показал, что использование известных на сегодняшний день результатов требует их существенного развития. В частности, использование аналитических решений в элементарных и аналитических функциях подразумевает специальный выбор начальных условий, что не соответствует реальной физике. Конечнозонные решения периодической проблемы затруднительно использовать из-за их сложности. С другой стороны, для специальных решений, описывающих модуляционную неустойчивость, конечнозонные формулы можно, с точностью до поправок высокого порядка, сильно упростить. Тем не менее, достаточно удобные формулы в литературе отсутствуют. Получение простых явных приближенных формул и их использование для вычисления динамики и статистики аномальных волн при достаточно малых начальных возмущениях является одной из целей проекта. Поскольку использование нелинейных режимов в волоконной оптике рассматривается как возможный путь для повышения пропускной способности существующих линий связи, построение простых моделей генерации аномальных волн в нелинейных средах может иметь приложения в данной области. Нелинейное уравнение Шредингера используется также в ряде других областей нелинейной физики. В частности, ряд ведущих ученых использует Нелинейное уравнение Шредингера в качестве модели волн в океане, однако ее применимость в настоящее время является объектом дискуссий среди специалистов. Сравнительно недавно при исследовании динамических систем на двумерных многообразиях был открыт новый тип интегрируемости, который может быть назван ``топологической интегрируемостью''. Интегрируемость такого типа описывается определенной топологией ``носителей открытых траекторий'' на двумерных многообразиях и связана со специальными свойствами слоений, задающих такие траектории. Этот тип интегрируемости был открыт при исследовании задачи С.П. Новикова о полуклассическом движении электрона на сложных поверхностях Ферми и представляет собой совершенно особое явление, связанное с топологическими ограничениями на поведение траекторий слоения в случае общего положения (С.П. Новиков, А.В. Зорич, И.А. Дынников). Задача о полуклассическом движении электрона на поверхности Ферми представляет собой при этом важнейшее приложение теории топологической интегрируемости и открывает совершенно новые подходы к исследованию геометрии сложных поверхностей Ферми как к теоретической, так и с экспериментальной точки зрения. Так, теоретическое исследование задачи о полуклассическом движении электрона в сильном магнитном поле позволяет ввести совершенно новый (бесконечный) набор параметров для произвольного закона дисперсии в кристалле (набор ``топологических квантовых чисел''), непосредственно измеряемых в исследованиях проводимости. Определенная часть таких параметров сохраняется и при ограничении дисперсионного закона на уровень Ферми и представляет собой важную характеристику электронного спектра в проводниках. Заметим, что для поверхностей Ферми сложной формы данный набор также может быть бесконечным при ограничении на уровень Ферми. Таким образом, классическая задача исследования малоразмерных динамических систем оказывается тесно связанной с задачей исследования электронного спектра в кристаллах и позволяет предложить новый подход к описанию формы таких спектров. Заметим также, что полученная сравнительно недавно полная классификация возможных электронных траекторий на произвольных поверхностях Ферми (А.В. Зорич, С.П. Царев, И.А. Дынников) позволяет напрямую связать предлагаемый теоретический подход с экспериментальными данными. В ходе выполнения проекта мы планируем построить как можно более детальное описание связи экспериментальных данных со свойствами описанных выше динамических систем и предложить ряд новых способов определения параметров сложных дисперсионных законов. В рамках проекта планируется изучение реализаций метрик Эйнштейна как метрик, индуцированных на подмногообразиях с плоской нормальной связностью в псевдоевклидовых пространствах, и связанных с ними нелинейных уравнений и геометрических структур. Планируется найти такие явные реализации для конкретных метрик Эйнштейна и построить связанные с ними нелокальные гамильтоновы структуры, порождаемые этими метриками Эйнштейна. Планируется построить нелокальные бигамильтоновы структуры, порождаемые метриками Эйнштейна, и построить связанные с ними интегрируемые иерархии. Планируется развить методы изучения подмногообразий с плоской нормальной связностью и их приложений в математической физике. Планируется развить методы спектральной геометрии в математической физике, а именно, исследовать известную гипотезу, что шар максимизирует первое собственное значение Лапласиана с граничными условиями Робена с отрицательным граничным параметром среди областей с фиксированным объемом границы. Кроме того, планируется изучить асимптотику первого собственного значения для задачи Робена с параметром, стремящимся к бесконечности, среди областей с липшицевой границей. Планируется развить методы геометрии Хантьеса и ее приложения в математической физике. Планируется развить алгебро-геометрические методы в теории уравнений Янга-Миллса и других нелинейных уравнений математической физики и дифференциальной геометрии. Целью данного проекта является исследование ряда нелинейных задач математической и теоретической физики с использованием современного аппарата дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и топологии.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Пьеранжели Д., Фламмини М., Жанг Л., Маркуччи Дж., Агранат А.Дж., Гриневич П.Г., Сантини П.М., Конти К., Дель Ре Е. Observation of Fermi-Pasta-Ulam-Tsingou recurrence and its exact dynamics Physical Review X, т.8, стр. 041017 (год публикации - 2018)
10.1103/PhysRevX.8.041017

2. Мальцев А.Я. Вторая граница зон устойчивости и угловые диаграммы проводимости для металлов со сложными поверхностями Ферми Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, том 154, вып. 6 (12), стр. 1183–1210 (год публикации - 2018)
10.1134/S0044451018120131

3. Мальцев А.Я. Оценка монокристалличности металлических образцов на основе измерений проводимости в сильных магнитных полях Материалы IV Всероссийской конференции «Роль фундаментальных исследований при реализации «Стратегических направлений развития материалов и технологий их переработки на период до 2030 года», стр. 234-246 (год публикации - 2018)

Публикации

1. Мохов О.И., Стрижова Н.А. Liouville integrability of the reduction of the associativity equations on the set of stationary points of an integral in the case of three primary fields Russian Mathematical Surveys, 74 (2), 369-371 (год публикации - 2019)
10.1070/RM9881

2. Гриневич П.Г., Сантини П.М. Конечнозонный подход в периодической задаче Коши для аномальных волн в нелинейном уравнении Шрёдингера при наличии нескольких неустойчивых мод Успехи математических наук, том 74, выпуск 2(446), страницы 27–80 (год публикации - 2019)
10.4213/rm9863

3. Мальцев А.Я. Классы сложности угловых диаграмм проводимости металлов в сильных магнитных полях Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, том 156, вып. 1 (7), стр. 140-166 (год публикации - 2019)
10.1134/S0044451019070150

4. Новиков С.П., Де Лео Р., Дынников И.А., Мальцев А.Я. Теория динамических систем и транспортные явления в нормальных металлах Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, том 156, вып. 4 (10), стр. 761-774 (год публикации - 2019)
10.1134/S0044451019100195

5. Глухов Е.В., Мохов О.И. On algebraic-geometry methods for constructing flat diagonal metrics of a special form Russian Mathematical Surveys, 74:4, 761-763 (год публикации - 2019)
10.1070/RM9891

6. Мохов О.И., Стрижова Н.А. Интегрируемые по Лиувиллю редукции уравнений ассоциативности на множество стационарных точек интеграла в случае трех примарных полей Океанологические исследования, 47:1, 88-90 (год публикации - 2019)
10.29006/1564-2291.JOR-2019.47(1).26

7. Стрижова Н.А. О гамильтоновой редукции уравнений ассоциативности в случае четырех примарных полей Океанологические исследования, 47:1, 118-122 (год публикации - 2019)
10.29006/1564-2291.JOR-2019.47(1).37

Публикации

1. Коппини Ф., Гриневич П.Г., Сантини П.М. The effect of a small loss or gain in the periodic NLS anomalous wave dynamics. I Physical Review E, Vol. 101, Iss. 3, March 2020, p. 032204 (год публикации - 2020)
10.1103/PhysRevE.101.032204

2. Мальцев А.Я. Перестройки динамики электронов в магнитном поле и геометрия сложных поверхностей Ферми Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, том 158, выпуск 6, стр. 1139-1174 (год публикации - 2020)
10.31857/S0044451020120147

3. Викулова А.В. Parallel coordinates in three dimensions and sharp spectral isoperimetric inequalities Ricerche di Matematica (год публикации - 2020)
10.1007/s11587-020-00533-5

4. Глухов Е.В., Мохов О.И. Об алгебро-геометрических методах построения подмногообразий с плоской нормальной связностью и голономной сетью линий кривизны Функциональный анализ и его приложения, Том 54, выпуск 3, стр. 26-37 (год публикации - 2020)
10.4213/faa3744

5. Мохов О.И., Стрижова Н.А. On the Liouville integrable reduction of the associativity equations in the case of three primary fields. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics: Integrability, Quantization, and Geometry: I. Integrable Systems,, Volume: 103.1; 2021, pp. 317--336 (год публикации - 2021)

6. Гриневич П.Г., Сантини П.М. The linear and nonlinear instability of the Akhmediev breather Nonlinearity, v.34, No. 12, pp. 8331-8358 (год публикации - 2021)
10.1088/1361-6544/ac3143