Спектральные методы в теории чисел

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 19-11-00065

НазваниеСпектральные методы в теории чисел

Руководитель Быковский Виктор Алексеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки "Институт прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук" , Хабаровский край

Конкурс №35 - Конкурс 2019 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-103 - Теория чисел

Ключевые слова аналитическая теория чисел, автоморфные формы, теория Сельберга, формулы следа, формулы суммирования

Код ГРНТИ27.15.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В список из семи математических проблем тысячелетия под номером 4 входит гипотеза Римана. В начале 20-го столетия Давидом Гильбертом и Дьердьем Пойа была предложена идея доказательства гипотезы Римана. Они предположили, что нули дзета-функции на критической прямой можно выразить через собственные значения некоторого самосопряженного оператора. С этой целью в 40-х и 50-х годах прошлого столетия в работах Маасса, Рёльке, Сельберга и других была построена спектральная теория инвариантного оператора Лапласа-Бельтрами, действующего в пространствах автоморфных функций на верхней полуплоскости относительно дискретных групп с конечным объемом фундаментальной области. Последующие исследования показали, что возникающие собственные значения дискретного спектра имеют другую природу, не связанную с нулями дзета-функции. Впрочем, построенная спектральная теория вызвала большой интерес среди специалистов по теории представлений, математической физике, теории дискретных групп и оказала большое влияние на их дальнейшее развитие. В начале 60-х годов Сельберг показал, что эта теория может быть использована для изучения средних по модулю для сумм Клостермана. Речь идет о гипотезе Линника, которая позволяет изучать эргодические свойства целых точек на квадратичных поверхностях, начиная с размерности три. Эта идея Сельберга положена в основу теории, построенной независимо Н.В. Кузнецовым и Р. Бюггеманом. Она базируется на, так называемых, формулах следа для билинейных сумм коэффициентов Фурье собственных функций автоморфного оператора Лапласа-Бельтрами. С помощью формул следа Кузнецова-Брюггемана были получены принципиально новые результаты при изучении асимптотического поведения свертки функции числа делителей, среднего значения функции числа делителей квадратичного полинома, в задаче Линника о распределении целых точек на трехмерных эллипсоидах и гиперболоидах, а также во многих других задачах аналитической теории чисел и теории автоморфных форм. Исследованиям на эту тему посвящены работы Голдфелда, Сарнака, Кузнецова, Иванца, Дезуйе, Мотохаши, А.И. Виноградова, Быковского, Ютилы, Ивича, Конроя, Хаксли, Харкоша, Дьюка, Ковальского, Мишеля, Мунши, Венкатеша, Блумера и многих других. Следует отметить, что технический аппарат, используемый в спектральных методах теории чисел, опирается на многие разделы современной математики. В частности, на методы аналитической теории чисел, теории автоморфных функций, спектральную теорию дифференциальных операторов, комплексный анализ и теорию специальных функций. В последние десятилетия по предлагаемой теме исследований ежегодно публикуются десятки статей, в том числе в самых престижных журналах, проводятся международные конференции, выпускаются учебники и монографии. Например, Y. Motohashi "Spectral Theory of the Riemann Zeta-Function", Н.В. Кузнецов "Формулы следа и некоторые их приложения в аналитической теории чисел", Х. Иванец, Э. Ковальский "Аналитическая теория чисел", В.А. Быковский "Арифметические средние и L-ряды автоморфных форм". В ходе выполнения проекта предполагается получить новые классы спектральных разложений вторых моментов дзета-функций квадратичных полей и применить их для оценок остаточных членов в асимптотических формулах для арифметических средних. Предполагается получить новые формулы следа для вторых и третьих моментов L-рядов автоморфных форм, ассоциированных с конгруенц-подгруппами полной модулярной группы. С их помощью планируется изучить статистические свойства элементов конечных цепных дробей и квадратичных иррациональностей. В настоящее время подобного рода исследования проведены, в основном, только для случая полной модулярной группы. Предполагается, что в ходе выполнения проекта будут получены принципиально новые оценки для L-рядов автоморфных форм на критической прямой и остаточных членов в асимптотических формулах для средних значений по целым точкам на квадратичных поверхностях.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Фроленков Д.А. The cubic moment of automorphic L-functions in the weight aspect Journal of Number Theory, Volume 207:2 Pages 247-281 (год публикации - 2020)
10.1016/j.jnt.2019.07.009

2. Шутов А.В. Обобщенные разбиения Рози и множества ограниченного остатка Чебышевский сборник, Том 20, Выпуск 3, Страницы 254-271 (год публикации - 2019)
10.22405/2226-8383-2019-20-3-254-271

3. Шутов А.В. On the Sum of Digits of the Zeckendorf Representations of Two Consecutive Numbers Fibonacci Quarterly, V. 58. –no. 3. –P. 203–207 (год публикации - 2020)

4. Балканова О.Г., Bhowmik G., Фроленков Д.А., Raulf N. Mixed moment of GL(2) and GL(3) L-functions Proceedings of the London Mathematical Society, Т. 121, вып. 2, стр. 177-219 (год публикации - 2020)
10.1112/plms.12312

5. Авдеева М.О., Горбатюк Н.В., Шульга Н.А. О суммах Гаусса и Клостермана Дальневосточный математический журнал, Том 20, N 1, с. 9-14 (год публикации - 2020)
10.47910/FEMJ202002

6. Шутов А.В. Теоретико-числовые задачи, связанные с разложением по линейным рекуррентным последовательностям Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории: Материалы XVIII Международной конференции, посвящённой столетию со дня рождения профессоров Б. М. Бредихина, В. И. Нечаева и С. Б. Стечкина, стр.231-233 (год публикации - 2020)

7. Быковский В.А., Монина М.Д. ФОРМУЛА СЛЕДА ДЛЯ ЦЕЛЫХ ТОЧЕК НА ТРЕХМЕРНОЙ СФЕРЕ ДОКЛАДЫ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. МАТЕМАТИКА, ИНФОРМАТИКА, ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ, Том: 490, Номер: 1, Страницы: 13-15 (год публикации - 2020)
10.31857/S268695432001004X

8. Быковский В.А., Романов М.А. Полиномиальные последовательности Сомоса Функциональный анализ и его приложения, Том 55, выпуск 1, с.20-32 (год публикации - 2021)
10.4213/faa3847

9. Балканова О.Г., Хуан Б., Сёдергрен А. Non-vanishing of Maass form L-functions at the central point Proc. Amer. Math. Soc., том 149, выпуск 2, страницы 509–523 (год публикации - 2021)
10.1090/proc/15208

10. Шульга Н.А. On the derivative of iterations of the Minkowski question mark function at special points Functiones et Approximatio (год публикации - 2022)
10.7169/facm/1966

11. А.В. Шутов Обобщенные разбиения Рози и линейные рекуррентные последовательности Чебышевский сборник, том 22, выпуск 2, страницы 313–333 (год публикации - 2021)
10.22405/2226-8383-2018-22-2-313-333

12. Шульга Н.А. Rational approximations to two irrational numbers Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory (год публикации - 2022)

Публикации

3. Шутов А.В. On the Sum of Digits of the Zeckendorf Representations of Two Consecutive Numbers Fibonacci Quarterly, V. 58. –no. 3. –P. 203–207 (год публикации - 2020)

12. Шульга Н.А. Rational approximations to two irrational numbers Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory (год публикации - 2022)

Публикации

3. Шутов А.В. On the Sum of Digits of the Zeckendorf Representations of Two Consecutive Numbers Fibonacci Quarterly, V. 58. –no. 3. –P. 203–207 (год публикации - 2020)

12. Шульга Н.А. Rational approximations to two irrational numbers Moscow Journal of Combinatorics and Number Theory (год публикации - 2022)