Современные проблемы теории функциональных пространств и приложения

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 19-11-00087

НазваниеСовременные проблемы теории функциональных пространств и приложения

Руководитель Бесов Олег Владимирович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №35 - Конкурс 2019 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова Пространства функций положительной гладкости, пространства Соболева, нерегулярная область, пространства типа Морри, перестановочно-инвариантные пространства, весовые пространства Лоренца и Орлича - Лоренца, геодезические, мультипликативные неравенства типа Гальярдо-Ниренберга, ассоциированное пространство, принцип двойственности, интегральный оператор, весовые пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля, следы функций, пространства переменной гладкости, римановы многообразия.

Код ГРНТИ27.25.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Функциональные классы (линейные пространства, конусы, решетки и т.д.), и операторы (преобразования), действующие в них или в их подмножествах, являются важными математическими инструментами для решения многих прикладных и теоретических задач. При этом то, как по-разному проявляют себя свойства одного или нескольких преобразований, действуя на элементы, принадлежащие различным множествам, имеет большое значение при выборе классов пространств и типов операторов в процессе построения математических моделей, соответствующих природным и техническим явлениям. Так, например, для PDEs, описывающих движение микроорганизмов растений, животных, а также отдельных клеток под влиянием химических веществ (хемотаксис), хорошо подходят элементы так называемых (супер)критических весовых пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля (более подробно см., например, http://npfsa2017.uni-jena.de/l_notes/triebel.pdf). Смежной и неразрывно связанной проблемой является характеризация операторов, действующих в функциональных классах, т. е. точное описание их свойств в предписанных структурах. С этой целью фиксируются операторы, классы и те свойства, которые необходимо характеризовать. К последним относятся, в главном, непрерывность, компактность, аппроксимация, экстраполирование, поведение характеристических чисел и т.д., но имеются и тонкие вопросы, связанные с зависимостью от строения границы при исследовании оператора вложения функциональных классов со свойствами обобщенной гладкости (пространства Соболева, Бесова и др.). Стандартом решения таких задач является нахождение точных критериев выполнения указанных свойств и двусторонних оценок функционалами, которые их обеспечивают. Фундаментальной задачей, на решение которой направлен данный проект, является изучение новых функциональных классов и поиск точных условий для выполнения тех или иных свойств различных операторов в них. Полученные в процессе такого исследования характеристики должны обладать качествами, позволяющими эффективно использовать их в различных приложениях, например, в математических моделях и соответствующих им дифференциальных (интегральных) уравнениях. Исследования в области функциональных пространств и теории операторов наиболее активно ведутся с середины 20 века, влияя на общее состояние и возможность применения результатов фундаментальных математических исследований в решении задач из смежных и прикладных областей. За последние годы интенсивность этих исследований резко возросла. Наряду с классическими появились новые функциональные классы (Морри, гранд пространства, Г-конусы Лоренца и т.д.) анализ операторов в которых весьма актуален и далек от завершения. Одно из направлений проекта посвящено развитию теории операторов в общих пространствах типа Морри. Ожидаемые результаты в этом направлении, в первую очередь связанные с получением необходимых и достаточных условий ограниченности и компактности ряда операторов теории функций, а также с теорией интерполяции, внесут существенный вклад в развитие этой теории и ее приложений к теории функций и теории дифференциальных уравнений с частными производными. Будут рассмотрены общие свойства операторов, действующих из перестановочно-инвариантных пространств в общие пространства типа Морри. Будет выделен широкий класс операторов, включающий тождественный и максимальный операторы, которые сохраняют неотрицательность и радиальную монотонность функций. Планируется получить критерии вложений для весового пространства Лоренца и Орлича-Лоренца в обобщенное пространство Морри. Будут исследованы интегральные и дифференциальные свойства обобщенных потенциалов Бесселя и Рисса. Изучение пространств функций положительной (не только целой) гладкости (в интегральных нормах) на регулярных и нерегулярных областях евклидова пространства во многом завершено. Однако, выявление более тонких свойств функций положительной гладкости на нерегулярных областях требует изучения пространств функций, гладкость которых меняется при удалении от границы области. Такая постановка задачи является новой. Пространства функций переменной гладкости изучались ранее в случае функций, заданных на полупространстве евклидова пространства и близких по характеру регулярных областей. Будут исследованы анизотропные пространства Соболева на областях с условием гибкого $\sigma$-конуса в зависимости от локальной кучности гибких $\sigma$-конусов, вписанных в область. Для этих пространств будут получены мультипликативные оценки норм производных. В проекте будут изучены следы весовых пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля в случае предельных показателей интегрируемости и вопросы продолжения некоторых функциональных пространств соболевского типа на областях римановых многообразий. Будут рассмотрены пространства функций со значениями в векторном пространстве. Будет выяснена дополнительная структура, позволяющая превратить данное функциональное пространство в пространство Соболева. Пространства такого рода важны для приложений к теории уравнений с частными производными. Планируется исследование свойств внутренней метрики на сферах в равномерно выпуклых и равномерно гладких банаховых пространствах. В частности, доказательства существования ненулевого радиуса инъективности и оценки на его величину в пространствах с модулями гладкости и выпуклости степенного порядка.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Джейн П., Степанов В. Д., Шамбилова Г.Э. Дискретные билинейные неравенства Харди Доклады Академии наук, Том 489, № 5 (год публикации - 2019)

2. Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Bilinear Hardy-type inequalities in weighted Lebesgue spaces Nonlinear Studies, Том 26, No. 4, 939-953 (год публикации - 2019)

3. Ушакова Е. П. Spline wavelet characterisation of weighted function spaces arXiv.org, arXiv:1911.05255, 21 pp. (год публикации - 2019)

4. Степанов В. Д. Characterization of associate function spaces and principle of duality First Analysis Mathematica International Conference Conference Booklet Budapest, 2019, С. 41 (год публикации - 2019)

5. Буренков В.И. , Тарарыкова Т.В. Necessary and sufficient conditions for pre-compactnes of certain embeddings for Sobolev spaces Eurasian Mathematical Journal, Volume 10 (2019), number 4 (год публикации - 2019)

6. Степанов В. Д. Characterization of associate function spaces and principle of duality СОВРЕМЕННЫЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ МАТЕРИАЛЫ МЕЖДУНАРОДНОЙ КОНФЕРЕНЦИИ, ПОСВЯЩЁННОЙ 80-ЛЕТИЮ АКАДЕМИКА РАН В. А. С АДОВНИЧЕГО, МГУ им. М. В. Ломоносова, 2019, С. 212-213 (год публикации - 2019)
10.29003/m978-5-317-06111-1

7. Степанов В. Д. Sharp estimates of sublinear and bilinear integral operators Abstracts of the International conference on Geometric Analysis in honor of the 90th anniversary of academician Yu. G. Reshetnyak, Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, 2019, С. 148-149 (год публикации - 2019)

8. Ушакова Е. П. Compactly supported linear combinations of elements of Battle–Lemarie spline wavelet systems and decompositions in weighted function spaces Abstracts: 12th International ISAAC Congress; Special Session 21 “Time-frequency Analysis and Applications”, С. 100 (год публикации - 2019)

9. Бахтигареева Э. Г., Гольдман М. Л. Some General Properties of Operators in Morrey-Type Spaces. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Т. 291, с. 3-34 (год публикации - 2019)
10.1007/978-3-030-26748-3_1

10. Бокаев Н.А., Гольдман М. Л., Каршыгина Г. Criteria for embedding of generalized Bessel and Riesz potential spaces in rearrangement invariant spaces Eurasian Mathematical Journal, 10:2 (2019), стр. 8–29 (год публикации - 2019)
10.32523/2077-9879-2019-10-2-08-29

11. Буренков В.И. , Туен Б. Т. On spectral stability problem for a pair of self-adjoint elliptic differential operators on bounded open sets Eurasian Mathematical Journal, Volume 10, Number 3, Pages 84-88 (год публикации - 2019)
10.32523/2077-9879-2019-10-3-84-88

Публикации

1. Прохоров Д. В., Степанов В. Д., Ушакова Е. П. Characterization of the function spaces associated with weighted Sobolev spaces of the first order on the real line Russian mathematical surveys, V. 74 (6), 1075–1115 (год публикации - 2019)
10.1070/RM9873

2. Степанов В. Д., Шамбилова Г.Э. Multidimensional bilinear Hardy inequalities Siberian mathematical journal, Vol. 61, N 4, P. 725-742 (год публикации - 2020)
10.1134/S0037446620040138

3. Джейн П., Канджилал С., Шамбилова Г.Э., Степанов В. Д. Bilinear weighted Hardy-type inequalities in discrete and q-calculus frameworks Mathematical inequalities and applications, Volume 23, № 4, P. 1279-1310 (год публикации - 2020)
10.7153/mia-2020-23-96

4. Степанов В. Д., Шамбилова Г.Э. Bilinear weighted inequalities with two-dimensional operators Doklady Mathematics, Vol. 102, No. 2, pp. 406–408 (год публикации - 2020)
10.1134/S1064562420050415

5. Ушакова Е. П. Images of integration operators in weighted function spaces ArXiv (Cornell University, Ithaca, New York, USA) (год публикации - 2020)

6. Буренков В.И., Нурсултанов Е.Д., Чигамбаева Д.К. Marcinkiewicz-type interpolation theorem for Morrey-type spaces and its corollaries Complex variables and elliptic equations, Vol. 65, No 1, pp 87–108 (год публикации - 2020)
10.1080/17476933.2019.1664488

7. Буренков В.И., Лифлянд И.Р. Hausdorff operators on Morrey-type spaces Kyoto Journal of Mathematics, Vol 60, № 1, pp 93-106 (год публикации - 2020)
10.1215/21562261-2019-0035

8. Бахтигареева Э.Г., М. Л. Гольдман Application of general approach to the theory of Morrey‐type spaces Mathematical Methods in the Applied Sciences, Volume 43, Issue 16, Pages 9435-9447 (год публикации - 2020)
10.1002/mma.6294

Публикации

1. Степанов В. Д., Шамбилова Г.Э. On two-dimensional bilinear inequalities with rectangular Hardy operators in weighted Lebesgue spaces Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Vol. 312, P. 241-248 (год публикации - 2021)
10.1134/S0081543821010156

2. Ушакова Е.П. Spline wavelet decomposition in weighted function spaces Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Vol. 312, P. 301-324 (год публикации - 2021)
10.1134/S008154382101020X

3. Ушакова Е.П., Жуковский С.Е. Spline wavelets and integration operators CEUR Workshop Proceedings 6. Сер. "ITHPC 2021 - Short Paper Proceedings of the 6th International Conference on Information Technologies and High-Performance Computing" 2021, Том 2930, Страницы 219 — 224 (год публикации - 2021)

4. Евсеев Н. А. Vector-valued Sobolev spaces based on Banach function spaces Nonlinear Analysis, Volume 211 (год публикации - 2021)
10.1016/j.na.2021.112479

5. Иванов Г.М., Лопушански М.С. Rectifiable Curves in Proximally Smooth Sets Set-Valued and Variational Analysis, Статья опубликована онлайн. К пункту 9 приложено письмо, подтверждающее принятие в печать. (год публикации - 2021)
10.1007/s11228-021-00612-1

6. Головко А.Ю. Density of Smooth Functions in Anisotropic Weighted Sobolev Spaces with Weights that are Locally Bounded and Locally Bounded Away from Zero Mathematical Notes, Vol. 109, is. 5-6, pp. 694-701 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621050035

7. Тюленев А.И. Almost Sharp Descriptions of Traces of Sobolev Spaces on Compacta Mathematical Notes, Vol. 110, No. 6, pp. 976–980 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621110377

8. Ушакова Е. П., Ушакова К.Э. Norm related inequalities for fractional integrals ArXiv (Cornell University, Ithaca, New York, USA), arxiv.org/abs/2109.05482 (год публикации - 2021)

9. Бахтигареева Э.Г., Гольдман М.Л., Хароске Д.Д. Optimal Calderón Spaces for Generalized Bessel Potentials Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Vol. 312, pp. 37–75 (год публикации - 2021)
10.1134/S008154382101003X

10. Бахтигареева Э.Г., Гольдман М.Л. О вычислении нормы монотонного оператора в идеальных пространствах Современная математика. Фундаментальные направления, том 67, выпуск 3, страницы 455–471 (год публикации - 2021)
10.22363/2413-3639-2021-67-3-455-471

11. Бахтигареева Э.Г., Гольдман М.Л., Хароске Д.Д. ON EMBEDDING FOR THE SPACE OF POTENTIALS INTO THE CALDER´ON SPACE Сборник материалов международной конференции КРОМШ2021/ – Симферополь: ПОЛИПРИНТ, 2021. – 132 с., страница 13 (год публикации - 2021)

12. Буренков В.И., Нурсултанов Е.Д. Interpolation Theorems for Nonlinear Operators in General Morrey-Type Spaces and Their Applications Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Vol. 312, is. 1, pp. 124–149 (год публикации - 2021)
10.4213/tm4129