Случайные блуждания, случайные отображения и ветвящиеся процессы в случайной среде

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 19-11-00111

НазваниеСлучайные блуждания, случайные отображения и ветвящиеся процессы в случайной среде

Руководитель Ватутин Владимир Алексеевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №35 - Конкурс 2019 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-110 - Теория вероятностей и математическая статистика

Ключевые слова случайные блуждания, случайные отображения, ветвящиеся процессы, случайная среда, многомерные правильно меняющиеся функции

Код ГРНТИ27.43.15

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на создание и развитие новых математических методов и подходов к исследованию асимптотических свойств случайных блужданий, случайных отображений и ветвящихся процессов в случайной среде. Проект включает в себя изучение фундаментальных вопросов сходимости условных распределений ветвящихся процессов в случайной среде с одним типом частиц, случайных блужданий в постоянной и случайной средах, а также исследование цикловой структуры случайных отображений. Случайные блуждания, случайные отображения и ветвящиеся процессы в случайной среде (ВПСС) являются классическими объектами исследований в теории вероятностей. Эти модели имеют широкое применение как при анализе свойств других вероятностных моделей, так и в прикладных областях. Методы исследований этих случайных объектов являются взаимопроникающими: так, исследование ВПСС весьма часто удобно проводить с помощью вспомогательных случайных блужданий, а при изучении случайных блужданий применяются методы ветвящихся процессов в случайной среде с иммиграцией. В свою очередь, при анализе свойств случайных отображений иногда используются методы ветвящихся процессов и случайных блужданий. В данном проекте мы также будем придерживаться такой стратегии. Однако для решения поставленных в проекте задач, а именно, описания свойств начальных отрезков траекторий докритических ВПСС при условии, что процессы не вырождаются за время, значительно превышающее длины рассматриваемых отрезков, изучения асимптотического поведения ВПСС с остановленной иммиграцией, анализа вероятностей больших уклонений случайных блужданий в случайной среде и исследования цикловой структуры случайных отображений, необходимо будет разработать новые методы. (A) Как показывает случай критических ветвящихся процессов в случайной среде, рассмотренный в работе V. Vatutin, E. Dyakonova, “Path to survival for the critical branching processes in a random environment”, J. Appl. Probab., 54:2 (2017), 588–602, для изучения свойств начальных отрезков ВПСС необходимо использовать свойства обычных случайных блужданий с нулевым или отрицательным сносом, при условии пребывания этих блужданий на положительной полуоси. Сложность постановки заключается в том, что предельные процессы задаются на множестве вероятностной меры нуль первоначального случайного блуждания. Поэтому потребуется создание новых подходов к изучению поведения условных распределений начальных отрезков траекторий для широких классов случайных блужданий. При этом в качестве предельных процессов будут, по-видимому, выступать некоторые функционалы от процессов Леви при условии их пребывания на неотрицательной полуоси. (B) Другое важное направление исследований в рамках данного проекта – изучение свойств ВПСС с иммиграцией. Как правило, ветвящиеся процессы рассматриваются либо при условии невырождения в далекий момент времени (вероятность этого условия в некоторых случаях стремится к нулю), либо в схеме серий когда начальное число частиц неограниченно возрастает. Наличие иммиграции в ветвящихся процессах позволяет изучать эти процессы без всяких условий, что делает рассматриваемые модели более реалистичными. Кроме того, важным стимулом изучения ВПСС с иммиграцией является их применение в активно изучаемой модели случайных блужданий в случайной среде (СБСС). Связь между случайными блужданиями в случайной среде и ветвящимися процессами в случайной среде с иммиграцией была установлена в классической работе H. Kesten, M.V. Kozlov, F. Spitzer, "A limit law for random walk in a random environment", Compositio Math., 30:2 (1975), 145-168. Указанная связь использовалась в различных исследованиях при изучении времени достижения высокого уровня для всевозможных типов СБСС и при решении двуграничной задачи для осциллирующего СБСС либо с двумя подвижными границами, либо с одной подвижной границей. В качестве примера укажем работы В.И. Афанасьева, "О достижении высокого уровня случайным блужданием в случайной среде", Теория вероятн. и ее примен., 57:4 (2012), 625-648 и "Условная предельная теорема для максимума случайного блуждания в случайной среде", Теория вероятн. и ее примен., 58:4 (2013), 625-647. Следует отметить, что ВПСС с иммиграцией, связанный со СБСС, имеет в каждом поколении (при фиксированной среде) геометрический закон размножения и простую иммиграцию, состоящую из одной частицы в каждом поколении, начиная с нулевого. Мы планируем рассмотреть более общую ситуацию, когда и случайная среда является произвольной, и распределение числа иммигрантов (при фиксированной среде) является произвольным, но зависящим, вообще говоря, от среды. (C) Третьим направлением исследований будет изучение вероятностей больших и малых уклонений ВПСС и СБСС. Для ВПСС нас будут интересовать асимптотики вероятностей того, что популяция достигнет некоторого нетипично высокого или низкого уровня. Подобное исследование для ВПСС проводилось прежде в грубой (логарифмической) форме. Для анализа точной асимптотики таких вероятностей требуется другой подход. Мы ожидаем что данная проблема может быть эффективно решена при помощи линейных рекуррентных последовательностей со случайными коэффициентами. Для СБСС мы намерены получить локальные теоремы для вероятностей нормальных, умеренных и больших уклонений. (D) Важным направлением исследований в рамках проекта будет изучение асимптотического поведения различных характеристик случайных отображений конечного множества X, состоящего из n элементов, в себя. Граф случайного отображения состоит из циклических точек, которые образуют случайную подстановку, и прикреплённых к ним деревьев, каждое из которых допускает интерпретацию в виде реализации ветвящегося процесса. Основными характеристиками случайных отображений являются число и длина циклов, а также структура деревьев. При этом часто предполагается, что на множестве всех возможных отображений задается равномерное распределение. Мы намерены отказаться от этого ограничения и рассмотреть как классы отображений с ограничениями на длины циклов, так и классы подстановок с ограничениями на длины циклов. Все рассматриваемые задачи являются новыми и актуальными.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Ватутин В.А., Дьяконова Е.Е. Начальный этап эволюции слабо докритического ветвящегося процесса в случайной среде Теория вероятностей и ее применения, том 64, выпуск 4, страницы 671-691 (год публикации - 2019)
10.4213/tvp5327

2. Шкляев А.В. Большие уклонения ветвящегося процесса в случайной среде. I Дискретная Математика, том 31, выпуск 4, стр.102-115 (год публикации - 2019)
10.4213/dm1575

3. Якымив А.Л. Распределение объёма наибольшей компоненты случайного A -отображения Дискретная Математика, том 31, выпуск 4, стр.116-127 (год публикации - 2019)
10.4213/dm1587

4. Якымив А.Л. Дисперсия числа циклов случайной A-подстановки Дискретная Математика, 32:3, 135–146 (год публикации - 2020)
10.4213/dm1616

5. Ватутин В.А., Дьяконова Е.Е. Докритические ветвящиеся процессы в случайной среде с иммиграцией: выживание одного семейства Теория вероятностей и ее применения, том 65, выпуск 4, страницы 671–692 (год публикации - 2020)
10.4213/tvp5403

6. Денисов К.Ю. Асимптотика локальных вероятностей нижних уклонений ветвящегося процесса в случайной среде при геометрических распределениях чисел потомков Дискретная Математика, том 32, выпуск 3, страницы 24–37 (год публикации - 2020)
10.4213/dm1618

7. Шкляев А.В. Большие уклонения ветвящегося процесса в случайной среде. II Дискретная Математика, том 32, выпуск 1, страницы 135-156 (год публикации - 2020)
10.4213/dm1599

8. Дьяконова Е.Е., Ли Д., Ватутин В.А, Цанг М. Branching processes in a random environment stopped at zero Journal of Applied Probability, 57, 237–249 (2020) (год публикации - 2020)

9. Афанасьев В.И. A critical branching process with immigration in random environment Stochastic Processes and their Applications, V.139, N 1, pp. 110–138 (год публикации - 2021)
10.1016/j.spa.2021.05.001

10. Афанасьев В.И. Limit theorems for a strongly supercritical branching process with immigration in random environment Stochastics and Quality Control, V.36, N2 (год публикации - 2021)

11. Смади Ш., Ватутин В.А. Critical branching processes in random environment with immigration: survival of a single family Extremes, V. 24, N 3, 433–460 (год публикации - 2021)
10.1007/s10687-021-00413-7

12. Шкляев А.В. Большие уклонения строго докритического ветвящегося процесса в случайной среде Труды Математического института имени В.А.Стеклова (год публикации - 2022)

13. Дьяконова Е.Е. Промежуточно докритический ветвящийся процесс в случайной среде: начальный этап эволюции Труды Математического института имени В.А.Стеклова (год публикации - 2022)

14. Ватутин В.А. , Смади Ш. Критические ветвящиеся процессы в случайной среде с иммиграцией: размер единственного выжившего семейства Труды Математического института имени В.А.Стеклова (год публикации - 2022)

15. Якымив А.Л. Моментные характеристики случайного отображения с ограничениями на размеры компонент Труды математического института имени В.А.Стеклова (год публикации - 2022)

16. Бакай Г.А. О характеризации вероятностей больших уклонений для регенерирующих последовательностей Труды Математического института имени В.А.Стеклова (год публикации - 2022)

17. Бакай Г.А. Большие уклонения для обрывающегося обобщенного процесса восстановления Теория вероятностей и ее применения, том 66, выпуск 2, страницы 261–283 (год публикации - 2021)
10.4213/tvp5342

18. Денисов К.Ю. Асимптотика локальных вероятностей больших уклонений ветвящегося процесса в случайной среде в геометрическом случае Дискретная математика, том 33, вып. 4, (год публикации - 2021)

19. Смади Ш., Ватутин В.А. Reduced processes evolving in a mixed environment Stochastic Models (год публикации - 2022)

Публикации

19. Смади Ш., Ватутин В.А. Reduced processes evolving in a mixed environment Stochastic Models (год публикации - 2022)

Публикации

19. Смади Ш., Ватутин В.А. Reduced processes evolving in a mixed environment Stochastic Models (год публикации - 2022)