КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 19-11-00164

НазваниеПроизводная некоммутативная алгебраическая геометрия и зеркальная симметрия

Руководитель Орлов Дмитрий Олегович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №35 - Конкурс 2019 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-106 - Алгебраическая геометрия

Ключевые слова алгебраическая геометрия, некоммутативная и производная алгебраическая геометрия, производные и триангулированные категории, (квази)когерентные пучки, гомологическая алгебра, зеркальная симметрия

Код ГРНТИ27.17.33

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Алгебраическая геометрия является одной из центральных областей современной теоретической математики. Мощный аппарат алгебраической геометрии позволяет находить применения во многих смежных областях, таких как дифференциальная, комплексная и симплектическая геометрия, алгебраическая топология, теория представлений, алгебра, теория чисел и даже математическая и теоретическая физика. С другой стороны, данные области сами приносят в алгебраическую геометрию как свои методы, так и новые понятия и идеи. Достаточно отметить такую область теоретической физики как теорию струн, которая, используя огромный алгебро-геометрический аппарат, в свою очередь, принесла в алгебраическую геометрию и зеркальную симметрию и многие новые инварианты, включая квантовые когомологии. Имеет смысл также отметить огромную роль алгебраической геометрии в вопросах, связанных с приложениям к криптографии и обработке больших массивов данных. За последние десятилетия стало также понятно, что при решении многих вопросов в алгебраической геометрии, особенно тех, которые появились благодаря теории струн, необходимы новые методы и новые взгляды даже на те вопросы, которые казались уже понятными. Стало очевидна необходимость в развитии производной некоммутативной геометрии. Такой абстрактный категорный подход к весьма геометрическим вещам вдруг оказался весьма востребован с точки зрения понимания взаимосвязей между различными объектами, даже появляющимися в различных областях математики. В частности, зеркальная симметрия, связывающая алгебраические и симплектические многообразия друг с другом, стала идейно понятна именно благодаря категорному подходу, заменяющему многообразия категориями пучков (в алгебраической геометрии) и категориями лагранжевых подмногообразий (в симплектической геометрии). Представляется вполне очевидным, что роль и значимость производной некоммутативной алгебраической геометрии будет с годами только возрастать. Рассмотрение некоммутативных схем позволяет применять силу геометрической интуиции к объектам далеким по своей природе от геометрии. С другой стороны новые методы и подходы, возникающие при изучении мира некоммутативных схем, дают возможность прояснить традиционные геометрические вопросы, связанные с такими проблемами как рациональность, разрешение особенностей, построение пространств модулей различных геометрических объектов, теория деформации и многие другие. Значимость и актуальность производной некоммутативной алгебраической геометрии хорошо раскрывается при исследовании зеркальной симметрии. Сама зеркальная симметрия, которая в начале воспринималась как загадочное соответствие между многообразиями Калаби-Яу, оказалась удивительным соответствием между миром алгебраических и симплектических многообразий, связав таким образом совершенно разные области математики. Такое соответствие позволяет переносить различные факты и утверждения из одной области в другую, в основном из алгебраической геометрии в симплектическую, учитывая, что первая область более развита на данный момент. Производная некоммутативная геометрия с ее категорным подходом ярко демонстрирует универсальность и возможность сравнивать объекты совершенно разной геометрической природы. Исследование и изучение производных некоммутативных схем происходило и раньше как изучение категорий когерентных пучков на алгебраических многообразиях и их естественных подкатегорий, однако сейчас стало понятно, как подойти к данному вопросу глобально и что требуется изучать в контексте понимания как основ производной некоммутативной геометрии, так и ее применений к задачам классической алгебраической геометрии, симплектической геометрии и математической физики. Таким образом, целью данного проекта является изучение производных некоммутативных схем, возникающих естественным образом в алгебраической геометрии, алгебре и симплектической геометрии, а также изучение глобальных связей между ними, одной из которых является зеркальная симметрия.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---