КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 19-71-10003
НазваниеАлгебраические и аналитические методы теории нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и их приложения к исследованию конечномерных динамических систем
Руководитель Белова Мария Владимировна, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва
Конкурс №41 - Конкурс 2019 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем
Ключевые слова нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, динамические системы, интегрируемость по Дарбу, интегрируемость по Лиувиллю, инвариантные алгебраические кривые, инвариантные поверхности
Код ГРНТИ27.29.21
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Основной целью настоящего проекта является исследование проблемы построения алгебраических и экспоненциальных инвариантов, а также инвариантных поверхностей для широких классов нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений и систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Алгебраические инварианты и инвариантных поверхности чрезвычайно важны с прикладной точки зрения. Прежде всего, это связано с тем, что они позволяют находить частные фазовые траектории рассматриваемых дифференциальных уравнений. Например, предельные циклы динамических систем на плоскости могут являться овалами инвариантных алгебраических кривых. Кроме того, знание полного набора инвариантов (алгебраических и экспоненциальных) позволяет исследовать интегрируемость обыкновенных дифференциальных уравнений по Дарбу и Лиувиллю. Первые интегралы, являющиеся функциями Лиувилля, имеют большое практическое значение, поскольку функции Лиувилля не являются абстрактными, а могут быть получены с помощью конечной последовательности суперпозиций алгебраических функций, квадратур и экспоненциальных функций.
При выполнении работ по данному проекту планируется совершенствовать недавно предложенный метод рядов Пюизе для построения инвариантных алгебраических кривых обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Будет разработан новый метод нахождения инвариантных поверхностей и алгебраических инвариантов для дифференциальных уравнений третьего и более высокого порядков. В рамках данного проекта планируется исследовать интегрируемость по Дарбу и Лиувиллю интересных с практической точки зрения обыкновенных дифференциальных уравнений и систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Под интегрируемостью по Лиувиллю (Дарбу) обыкновенного дифференциального уравнения мы будем понимать наличие достаточного числа независимых первых интегралов, являющихся функциями Лиувилля (Дарбу). Будут рассмотрены задачи поиска необходимых и достаточных условий интегрируемости, а также независимых первых интегралов, являющихся функциями Дарбу и Лиувилля. Кроме того, будут изучаться задачи классификации алгебраических инвариантов для ряда физически значимых дифференциальных уравнений, в частности, для полиномиальных дифференциальных уравнений Льенара, их обобщений, а также некоторых автономных и неавтономных нелинейных осцилляторов.
Еще одним подходом к исследованию интегрируемости дифференциальных уравнений, который будет использован при выполнении проекта, является подход, основанный на установлении эквивалентности между исследуемым семейством уравнений и некоторым известным интегрируемым уравнением из данного семейства. Предполагается, что при выполнении проекта будут построены новые классы нелинейных динамических систем второго и третьего порядка, эквивалентных ряду известных интегрируемых динамических систем, при этом преобразования эквивалентности будут задаваться нелокальными преобразованиями. Также с помощью данного подхода предполагается провести классификацию и найти новые классы нелинейных динамических систем второго и третьего порядка, обладающих первыми интегралами определенного вида, в частности рациональными первыми интегралами.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ