КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 19-71-10023
НазваниеТочные неравенства в гармоническом анализе и теории вероятностей
Руководитель Столяров Дмитрий Михайлович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" , г Санкт-Петербург
Конкурс №41 - Конкурс 2019 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ
Ключевые слова Функция Беллмана, метод Буркхольдера, неравенства для мартингалов, экстремальные задачи, точные неравенства, веса Макенхаупта, мартингальные преобразования, квадратичная функция
Код ГРНТИ27.39.27
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Проект посвящен развитию метода Беллмана--Буркхольдера. Этот метод впервые был применён Буркхольдером в 1984 году для доказательства точных неравенств для мартингалов и других случайных процессов. В середине 90-х годов Вольберг, Назаров и Трейль привнесли идеи метода Буркхольдера в гармонический анализ. С тех пор теория начала стремительно развиваться, находя применения в большом количестве задач гармонического анализа и теории вероятностей (неравенства для мартингалов, операторов Кальдерона--Зигмунда, функций класса BMO, максимальных и квадратичных функций; неравенство Пуанкаре и логарифмическое неравенство Соболева, гиперконтрактивность, а также в контролируемом машинном обучении (обучении с учителем)). В начале века оказалось, что метод чрезвычайно эффективен: с его помощью можно получать различные точные неравенства и описывать для них соответствующие экстремальные случаи. Эта точность раскрыла связи метода с уравнениями в частных производных и дифференциальной геометрией. Сегодня теория по-прежнему находит новые применения. Однако, следует отметить, что в ней существуют два ``пробела''. Во-первых, это задачи, всё ещё не решённые со времен работ Буркхольдера и Вольберга--Назарова--Трейля. Вторым недостатком можно считать отсутствие общей теории для нахождения функции Беллмана--Буркхольдера, которая составляет ``ядро'' описываемого метода. Каждый раз исследователям приходится угадывать и придумывать сложные конструкции вместо того, чтобы использовать леммы, теоремы и алгоритмы из предыдущих исследований. Цель нашего исследования --- хотя бы частично заполнить эти два пробела.
Предполагается исследовать шесть задач. Вот их краткое неформальное описание: оценки функции распределения мартингального преобразования случайного события (вероятностный аналог тождества Буля); оценки функции распределения мартингала с ограниченной квадратичной функцией (неравномерное неравенство Чанг--Вилсона--Вольфа); вычисление точной функции Беллмана для слабой гипотезы Макенхаупта--Уидена; построение общей теории функции Беллмана с областью определения, представляющей из себя плоское множество с простой топологией; поиск топологических препятствий для мартингального представления функции Беллмана, определенной на области с более сложной топологической структурой; нахождение точных констант для мультипликативных неравенств с BMO-нормой. Отметим, что решение второй задачи имеет интересное применение: предполагается вычислить константу слабого типа $(p,p)$ для квадратичной функции. Эта задача поставлена ещё Буркхольдером.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ