Исследование математических основ конструирования современных алгоритмов в высокопроизводительных вычислениях

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 19-71-30004

НазваниеИсследование математических основ конструирования современных алгоритмов в высокопроизводительных вычислениях

Руководитель Аптекарев Александр Иванович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное учреждение "Федеральный исследовательский центр Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук" , г Москва

Конкурс №33 - Конкурс 2019 года по мероприятию «Проведение исследований научными лабораториями мирового уровня в рамках реализации приоритетов научно-технологического развития Российской Федерации» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными 2019_33

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые слова комплексный анализ, большие данные, квантовые вычисления, схемы из функциональных элементов, тесты, нелинейные системы уравнений, обобщенные решения, газо-гидродинамика, вариационные принципы, многомерные разностные операторы, гармонические кристаллы, случайные матрицы, неравновесные состояния, асимптотический анализ, рациональные аппроксимации

Код ГРНТИ27.27.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Научной проблемой, решению которой посвящен проект, является создание математического и программного обеспечения, способного эффективно решать сложные прикладные задачи, связанные с анализом больших данных и машинным обучением, с использованием современных суперкомпьютерных вычислительных систем и ориентированных на использование перспективных суперкомпьютеров экзафлопного уровня. Для решения этой проблемы необходимо разработать теоретическую основу нестационарного статистического анализа и новый класс вычислительных алгоритмов, ориентированных на использование архитектуры современных и перспективных суперкомпьютеров. В рамках проекта будет рассмотрен следующий ряд задач, имеющих важное теоретическое и прикладное значение. Развитие современных подходов дискретной математики к задачам больших массивов данных и квантовых алгоритмов. Будут развиты статистические методы анализа нестационарных многомерных временных рядов, в виде которых формируются массивы больших данных, и разработан кинетический подход к описанию меняющейся во времени выборочной функции распределения. Концепция статистического распознавания основывается на том, что паттерном является меняющаяся функция распределения. Ее изменение и описывается в рамках кинетического подхода. Такая методика является новой, она разрабатывалась участниками проекта в течение последних пяти лет и была успешно апробирована на ряде актуальных прикладных задач. Будет исследована возможность построения эквивалентной по Чернову полугруппы, отвечающей усреднению квантовых случайных полугрупп с целью получения асимптотически независимых случайных операторных функций. Конструкция эквивалентной квантовой полугруппы эффективна для построения алгоритма, моделирующего вычислительный процесс на квантовом компьютере. Будут разработаны новые методы синтеза легкотестируемых схем из функциональных элементов и контактных схем. Одними из основных объектов, рассматриваемых в теории управляющих систем, исторически являются контактные схемы и схемы из функциональных элементов. Первые моделируют реальные электрические схемы, а вторые представляют собой логическую сущность микросхем, используемых в большинстве современных устройств. Суть таких схем заключается в обработке большого числа входных данных и выдаче в зависимости от них выходных данных. При проектировании схем важно уметь обнаруживать в них возможные неисправности за разумное время. Для этого будут предложены различные методы синтеза при различных допустимых неисправностях, позволяющие быстро протестировать схемы без вмешательства в их структуру на основании только входных и выходных данных. Развитие аналитических, в частности, вариационных, подходов к построению решений систем нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных с целью конструирования высокопроизводительных алгоритмов для решения прикладных задач. Предполагается дальнейшее развитие взгляда на обобщенные решения систем законов сохранения как на решения вариационных задач для вектор-функционалов. На основе указанного подхода предполагается исследовать тонкую структуру обобщенных решений, разработать новые методы доказательства теорем существования, а также построить специализированные вычислительные алгоритмы. Вариационный подход является новым, ожидается, что он будет способствовать решению давно стоящей проблемы обоснования корректности постановки задач для квазилинейных систем законов сохранения. При изучении квазилинейных гиперболических уравнений существует эффект зависимости решений от вводимых в систему малых диссипативных членов: даже различные малые вязкости могут накладывать разные ограничения на решения. Помимо малых модельных диссипативных членов актуальными являются системы законов сохранения, в которых гиперболическая система расширена физически и, соответственно, математически значимыми диссипативными членами – диффузии, теплопроводности и вязкости. Это означает, что нестационарные модели включают подсистемы гиперболического и параболического типов и для решения таких задач в проекте предполагается разработка специальных подходов. Один из возможных подходов основан на принципе расщепления по физическим процессам: например, на каждом шаге по времени сначала решается гиперболическая подсистема, затем – параболическая подсистема. Предполагается исследовать свойства таких схем расщепления с точки зрения выполнения законов сохранения и точности на разностном уровне. Также предполагается исследовать с точки зрения теории аттракторов и инерциальных многообразий асимптотическое поведение решений и точность конечномерной редукции как для разностных, так и для галеркинских аппроксимаций для уравнений гидродинамики (уравнения Навье-Стокса и Эйлера), а также для других гидродинамических моделей (квазигеострофическое уравнение для потенциального вихря). Новизна численного анализа будет состоять в разработке параллельных алгоритмов в допущении, что исходная система законов сохранения может содержать большое число уравнений. Типичным приложением является проблема расчета многокомпонентных течений при обтекании высокоскоростных летательных аппаратов совместно с динамикой реагирующей смеси в двигательных установках. Создание асимптотических методов исследования многомерных дифференциально-разностных уравнений с целью валидации результатов крупномасштабных вычислений с помощью современной высокопроизводительной техники. Последнее время для исследования асимптотик многомерных систем разностных уравнений при активном участии членов коллектива разрабатывались принципиально новые подходы. Основные положения этих подходов включают в себя: использование дискретных интегрируемых систем (ДИС) для задания операторов на многомерных решётках; обобщение линейных рекуррентных соотношений (трёхчленных соотношений, матриц Якоби для ортогональных многочленов) на соотношения, связывающие ближайших соседей на многомерных решётках и графах. Именно развитие этих положений мотивирует исследование конкретной научной проблемы: аналитической теории рациональных аппроксимаций Эрмита—Паде и совместно ортогональных многочленов. Изучение свойств больших макроскопических объектов опирается на исследование идеальных модельных систем. Такие модели полезны, в частности, когда можно связать характеристики макроскопических объектов со свойствами модельных систем, например, понять влияние дефектов в кристаллической решетке на термодинамические свойства кристаллов. Эти вопросы связаны с обоснованием статистической физики, в частности, закона Фурье термодинамики на микроскопическом уровне. В рамках данного проекта мы впервые выведем точные формулы для потока энергии, проходящего через кристаллическую решетку с дефектами, для того, чтобы понять влияние дефектов и неупорядоченности в кристаллах на эти формулы. Для изучения этих фактов мы сначала изучим асимптотическое поведение неупорядоченных кристаллов при больших временах и построим теорию рассеяния.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Дудникова Т.В. Convergence to Stationary States and Energy Current for Infinite Harmonic Crystals Russian Journal of Mathematical Physics, 26, 4, 429-452 (год публикации - 2019)
10.1134/S1061920819040034

2. Аптекарев А.И., Рыков Ю.Г. Вариационный принцип для многомерных законов сохранения и среды без давления Успехи Математических Наук, 74, 6(450), 159-160 (год публикации - 2019)
10.4213/rm9918

3. Дудникова Т.В. THE LIMITING AMPLITUDE PRINCIPLE FOR THE NONLINEAR LAMB SYSTEM Problemy Analiza - Issues of Analysis, 8(26), 3, 45-62 (год публикации - 2019)
10.15393/j3.art.2019.6571

4. Яшунский А.Д. Полиномиальные преобразования случайных величин на конечных множествах Математические заметки, 106, 6, 951–954 (год публикации - 2019)
10.4213/mzm12414

5. Орлов Ю.Н., Кислицын А.А. Chernoff Approximations for Nonstationary Random Walk Modeling Lobachevskii Journal of Mathematics, 40, 12, 2095-2102 (год публикации - 2019)
10.1134/S1995080219120102

6. Попков К.А. Метод построения легко диагностируемых схем из функциональных элементов относительно единичных неисправностей Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 81 (год публикации - 2019)
10.20948/prepr-2019-81

7. Благонравов Л.А., Силина Т.И. Определение индивидуальных параметров компонентов бинарного раствора: аппроксимация данных рациональной функцией Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, 62 (год публикации - 2019)
10.20948/prepr-2019-62

8. Балчи А.Х. Дининг Л., Сурначев М. New Examples on Lavrentiev Gap Using Fractals Calculus of Variations and Partial Differential Equations, Том: ‏ 59 Выпуск: ‏ 5 Номер статьи: 180 (год публикации - 2020)
10.1007/s00526-020-01818-1

9. Бессонов Р., Денисов С. A spectral Szego theorem on the real line Advances in Mathematics, Том: 359 Номер статьи: 106851 (год публикации - 2020)
10.1016/j.aim.2019.106851

10. Боголюбский А.И., Лысов В.Г. Constructive Solution of One Vector Equilibrium Problem DOKLADY MATHEMATICS, Том: 101 Выпуск: 2 Стр.: 90-92 (год публикации - 2020)
10.1134/S1064562420020064

11. Дудникова Т.В. Virial Identities and Energy–Momentum Relation for Solitary Waves of Nonlinear Dirac Equations Lobachevskii Journal of Mathematics, Том: 41 Выпуск: 6 Стр.: 956-981 (год публикации - 2020)
10.1134/S1995080220060074

12. Дудникова Т.В. Stabilization of Statistical Solutions for an Infinite Inhomogeneous Chain of Harmonic Oscillators Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Том: 308 Выпуск: 1 Стр.: 168-183 (год публикации - 2020)
10.1134/S0081543820010137

13. Ильин А.А., Лаптев А.А., Зелик С.В. Lieb–Thirring constant on the sphere and on the torus Journal of Functional Analysis, Том: 279 Выпуск: 12 (год публикации - 2020)
10.1016/j.jfa.2020.108784

14. Савостьянов А.К., Зелик С.В. Равномерные аттракторы для волнового уравнения с нелинейностью пятой степени и мерой в качестве внешней силы Успехи математических наук, Том: 75 Выпуск: 2 Стр.: 253-320 (год публикации - 2020)
10.1070/RM9932

15. Борисов В.Е., Феодоритова О.Б., Новикова Н.Д., Рыков Ю.Г., Жуков В.Т. COMPUTATIONAL MODEL FOR HIGH-SPEED MULTICOMPONENT FLOWS MATHEMATICA MONTISNIGRI, Том: 48 Стр.: 32-42 (год публикации - 2020)
10.20948/mathmontis-2020-48-4

16. Попков К.А. Короткие тесты замыкания для контактных схем Математические заметки, Том: 107 Выпуск: 3-4 Стр.: 653-662 (год публикации - 2020)
10.1134/S0001434620030323

17. Попков К.А. Метод построения легко диагностируемых схем из функциональных элементов относительно единичных неисправностей Прикладная дискретная математика, Выпуск: 46 Стр.: 38-57 (год публикации - 2019)
10.17223/20710410/46/4

18. Аптекарев А.И., Денисов С.А., Ятцелев М.Л. Дискретный оператор Шрёдингера на графе-дереве, потенциалы Анжелеско и их возмущения Труды Математического института имени В.А. Стеклова, Том: 311 выпуск: 4 (год публикации - 2020)
10.4213/tm4124

19. Орлов Ю.Н. Уравнение эволюции функции Вигнера для линейных квантований Препринты ИПМ им. М.В.Келдыша, № 40, 22 с (год публикации - 2020)
10.20948/prepr-2020-40

20. Балчи А.Х., Сурначев М. Lavrentiev gap for some classes of generalized Orlicz functions Nonlinear Analysis, Volume 207, June 2021, 112329 (год публикации - 2021)
10.1016/j.na.2021.112329

21. Дудникова Т.В. Space-time statistical solutions for a two-component chain of harmonic oscillators Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 42, No. 6, pp. 1248-1263 (год публикации - 2021)
10.1134/S1995080221060068

22. Сорокин В.Н. Многоточечные аппроксимации Паде пси-функции Математические заметки, 2021, том 110, выпуск 4, 584–591 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621090273

23. Сорокин В.Н. Asymptotics of Hermite-Pade approximants of the first type for discrete Meixner measures Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, Vol. 42, No. 11, pp. 2654-2667 (год публикации - 2021)
10.1134/S1995080221110214

24. Рыков Ю.Г. On the systems of conservation laws and on a new way to construct for them neural networks algorithms Lobachevskii Journal of Mathematics, 2021, Vol. 42, No. 11, pp. 2645-2653 (год публикации - 2021)
10.1134/S1995080221110184

25. Попков К.А. О схемах, допускающих короткие единичные проверяющие тесты при произвольных неисправностях функциональных элементов Прикладная дискретная математика, Выпуск 51, страницы 85-100 (год публикации - 2021)
10.17223/20710410/51/4

26. Яшунский А.Д. О преобразованиях трёхзначных случайных величин функциями двух переменных Дискретный анализ и исследование операций / Journal of Applied and Industrial Mathematics, Т. 28, № 3. С. 90-103 (год публикации - 2021)
10.33048/daio.2021.28.707

27. Тухватуллина Р. Р., Алексеев М. В., Савенков Е.Б. Численное решение уравнений релаксационной модели Баера-Нунциато с помощью разрывного метода Галеркина Дифференциальные уравнения, Том 57, Выпуск 7, Страницы 959-973 (год публикации - 2021)
10.31857/S0374064121070116

28. Бессонов Р., Денисов С. Zero sets, entropy, and pointwise asymptotics of orthogonal polynomials Journal of Functional Analysis, Том 280, Выпуск 12, Номер статьи 109002 (год публикации - 2021)
10.1016/j.jfa.2021.109002

29. Денисов С., Мохамед Л. Generalizations of Menchov-Rademacher theorem and existence of wave operators in Schrodinger evolution Canadian Journal of Mathematics, Том 73, Выпуск 2, Страницы 360-382 (год публикации - 2021)
10.4153/S0008414X19000646

30. Бессонов Р., Денисов С. De Branges canonical systems with finite logarithmic integral Analysis and PDE, Том 14, Выпуск 5, Страницы 1509-1556 (год публикации - 2021)
10.2140/apde.2021.14.1509

31. Костянко А., Сун Ч., Зелик С. Reaction-diffusion systems with supercritical nonlinearities revisited Mathematische Annalen, Ранний доступ с июня 2021 (год публикации - 2021)
10.1007/s00208-021-02222-6

32. Аптекарев А.И., Белега Е.Д., Х.С. Дехеса Rydberg multidimensional states: Renyi and Shannon entropies in momentum space Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, Том 54, Выпуск 3, Номер статьи 035305 (год публикации - 2021)
10.1088/1751-8121/abd269

33. Борисов Л.А., Орлов Ю.Н. Generalized evolution equation of Wigner function for an arbitrary linear quantization Lobachevskii Journal of Mathematics, Том 42, Выпуск 1, Страницs 63-69 (год публикации - 2021)
10.1134/S1995080221010091

34. Костянко А., Зелик С. Kwak transform and inertial manifolds revisited Journal of Dynamics and Differential Equations, Ранний доступ с февраля 2021 (год публикации - 2021)
10.1007/s10884-020-09913-9

35. Аптекарев А.И., Денисов С., Яттселев М.Л. Jacobi matrices on trees generated by Angelesco systems: asymptotics of coefficients and essential spectrum Journal of Spectral Theory, том 11, номер 4, стр. 1511-1597 (год публикации - 2021)
10.4171/JST/380

36. Ильин А.А., Костянко А., Зелик С. Sharp upper and lower bounds of the attractor dimension for 3D damped Euler–Bardina equations Physica D: Nonlinear Phenomena, Том 432, April 2022, Номер статьи 133156 (год публикации - 2022)
10.1016/j.physd.2022.133156

37. Аптекарев А.И., Доброхотов С.Ю., Туляков Д.Н., Цветкова А.В. Асимптотики типа Планшереля–Ротаха для совместно ортогональных многочленов Эрмита и рекуррентные соотношения ИЗВЕСТИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК. СЕРИЯ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ, Том: 86, Номер: 1 Год: 2022, Страницы: 36-97 (год публикации - 2022)
10.4213/im9138

38. Калантаров М., Костянко А., Зелик С. Determining functionals and finite-dimensional reduction for dissipative PDEs revisited Journal of Differential Equations, Volume 345, 5 February 2023, Pages 78-103 (год публикации - 2023)
10.1016/j.jde.2022.11.008

39. Сорокин В.Н. Возвратные многочлены Лежандра Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, № 6, год 2022, стр. 3 - 8 (год публикации - 2022)

40. Полехина Р.Р., Алексеев М.В., Савенков Е.Б. ВАЛИДАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО АЛГОРИТМА НА ОСНОВЕ РАЗРЫВНОГО МЕТОДА ГАЛЁРКИНА ДЛЯ РЕЛАКСАЦИОННОЙ МОДЕЛИ БАЕРА–НУНИЦАТО Дифференциальные уравнения, Том: 58, номер: 7, год: 2022, страницы: 977-994 (год публикации - 2022)
10.31857/S0374064122070093

41. Попков К.А. Короткие полные диагностические тесты для схем из функциональных элементов в одном бесконечном базисе Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, № 5, год 2022, стр. 51 - 54 (год публикации - 2022)

42. Яшунский А.Д. О конечных алгебрах с предельным вероятностным законом Алгебра и анализ, том 34, выпуск 5, страницы 211–234 (год публикации - 2022)

43. Калмыков С.И., Надь Б. Positive Polynomials and Boundary Interpolation with Finite Blaschke Products Computational Methods and Function Theory, Online First publishing: https://doi.org/10.1007/s40315-021-00430-4 (год публикации - 2021)
10.1007/s40315-021-00430-4

44. Сорокин В.Н. Об одном обобщении дискретной формулы Родрига для многочленов Мейкснера Математический сборник, том 213, номер 11, страницы 79-101 (год публикации - 2022)
10.4213/sm9765

45. Попков К.А. Короткие полные диагностические тесты для схем с одним дополнительным входом в стандартном базисе ПРИКЛАДНАЯ ДИСКРЕТНАЯ МАТЕМАТИКА, Номер: 56, год: 2022, страницы: 104-112 (год публикации - 2022)
10.17223/20710410/56/6

46. Ильин А.А., Костянко А., Зелик С. Trajectory attractors for 3D damped Euler equations and their approximation Discrete and Continuous Dynamical Systems - Series S, Vol. 15, No. 8, pp. 2275-2288 (год публикации - 2022)
10.3934/dcdss.2022051

47. Ильин А.А., Костянко А., Зелик С. Applications of the Lieb--Thirring and other bounds for orthonormal systems in mathematical hydrodynamics The Physics and Mathematics of Elliott Lieb, EMS Press, Berlin, Chapter 24, pp.583–608 (год публикации - 2022)
10.4171/90-1/24

Публикации