Сингулярные возмущения и бифуркации в моделях математической физики

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 20-11-19995

НазваниеСингулярные возмущения и бифуркации в моделях математической физики

Руководитель Борисов Денис Иванович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное научное учреждение Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук , Республика Башкортостан

Конкурс №45 - Конкурс 2020 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова PT-симметричные уравнения, перфорированные области, асимптотика, возмущение спектра, нелинейное уравнение Шредингера, стационарная локализованная мода, устойчивость, динамическая система, бифуркация, малые ребра, операторы с инволюцией

Код ГРНТИ27.31.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Настоящий проект на направлен развитие спектральной теории линейных операторов, качественной теории нелинейных уравнений и теории динамических систем, в приложении к серии актуальных задач современной математической физики. Рассматриваемые задачи объединяет то, что в каждой из них имеют место значимые для физических приложений качественные изменения и бифуркации, требующие для своего описания развитый математический аппарат. Основные исследования, которые будут проводиться в рамках проекта, можно разделить на три основные части. Первая часть относится к спектральной теории эллиптических операторов. Здесь планируется развивать теорию возмущения в нескольких направлениях. Первое из них ‒ исследование равномерной резольвентной сходимости и спектра для квантовых графов с малыми ребрами. Второе ‒ изучение асимптотического поведения резольвенты для эллиптических операторов в многомерных областях, перфорированных вдоль заданного многообразия. Третье ‒ изучение асимптотики собственных значений, получение оценок отклонений спектральных проекторов и оценок равносходимости спектральных разложений одномерного несамосопряженного оператора Шрёдингера с инволюцией и двучленного дифференциального оператора четного порядка с негладким потенциалом. Четвертое ‒ описание резонансов и собственных значений, возникающих при различных возмущениях из внутренних точек существенного спектра PT-симметричного оператора Шредингера на плоскости. Вторая часть проекта посвящена исследованию круга задач, связанных с различными пространственно неоднородными обобщениями нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). Главным объектом исследования являются решения этих уравнений, соответствующие стационарным локализованным модам (СЛМ). Они имеют вид стоячей или бегущей волны и стремятся к константам на плюс и минус бесконечности по пространственной переменной. СЛМ образуют семейства, зависящие от параметров задачи, и бифуркации этих семейств СЛМ представляют значительный физический интерес. Планируется рассмотреть следующие скалярные и векторные обобщения НУШ: (а) пространственно одномерное НУШ с дополнительными действительными или комплексными (в частности, PT-симметричными) неоднородностями; (б) систему связанных пространственно одномерных НУШ с действительными или комплексными неоднородностями; (в) пространственно неодномерное НУШ с неоднородностями различных типов. Третья часть проекта направлена на исследования динамических систем и состоит из двух направлений исследований. Первое нацелено на исследование бифуркаций для некоторого класса неавтономных динамических системах. Более точно, для класса асимптотически автономных систем планируется изучить возможные перестройки решений при вариации параметров и выявить при этом зависимость бифуркаций от структуры затухающих со временем возмущений. Второе направление ‒ исследование критических явлений в физике. Задача состоит в разработке подходов для анализа математических моделей фазовых переходов на примерах задач магнитодинамики. Все задачи, которые будут рассматриваться в рамках проекта, мотивированы важными физическими приложениями и/или актуальными вопросами фундаментальной математики. Все три части проекта связаны между собой не только физической значимостью планируемых результатов. Во всех рассматриваемых задачах присутствует сценарий, в котором изменение параметров приводит к качественному изменению свойств системы. В первой из частей проекта эти изменения обусловлены наличием относительно малых составляющих в наноструктурах, мелкими дефектами в квантовых волноводах, эффектами возникновения собственных значений из существенного спектра. Во второй из частей проекта особый интерес представляют бифуркации семейств решений нелинейных уравнений, в частности, бифуркации потери или приобретения устойчивости нелинейной модой при изменении параметров. Третья часть проекта в значительной своей части посвящена исследованию бифуркаций в системах неавтономных уравнений. Кроме того, первую и вторую части проекта объединяет исследование PT-симметричных обобщений линейных и нелинейных задач, а вторую и третью части – учет влияния неавтономности в системах дифференциальных уравнений. Стоит также отметить, что участники проекта достаточно давно знакомы и уже имеют опыт сотрудничества, что отражено в их совместных публикациях.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Д.М. Поляков Формула регуляризованного следа дифференциального оператора второго порядка с иволюцией Проблемы математического анализа, вып. 106. с. 155-164 (год публикации - 2020)

2. Д.И. Борисов, А.И. Мухаметрахимова О модельном графе с петлей и малыми ребрами. Голоморфность резольвенты. Проблемы математического анализа, вып. 106, с.17-41 (год публикации - 2020)

3. Борисов Д.И.,Кардоне Дж., Чечкин Г.А., Королева Ю.О. On elliptic operators with Steklov condition perturbed by Dirichlet condition on a small part of boundary Calculus of Variations and Partial Differential Equations (год публикации - 2021)
10.1007/s00526-020-01847-w

4. Калякин Л.А. Асимптотика решения системы уравнений Ландау-Лифшица при динамической бифуркации седло-узел Алгебра и анализ (год публикации - 2021)

5. Борисов Д.И., Мухаметрахимова А.И. Равномерная сходимость и асимптотики для задач в областях с мелкой перфорацией вдоль заданного многообразия в случае усреднённого условия Дирихле Математический сборник (год публикации - 2021)

6. Поляков Д.М. О нелокальном возмущении периодической задачи для дифференциального оператора второго порядка Дифференциальные уравнения (год публикации - 2021)
10.31857/S12345678210

Публикации

1. Зезюлин Д.А., Слободянюк А.О., Алфимов Г.Л. On nonexistence of continuous families of stationary nonlinear modes for a class of complex potentials Studies in Applied Mathematics, Early View (год публикации - 2021)
10.1111/sapm.12432

2. Борисов Д.И., Зезюлин Д.А., Знойл М. Bifurcations of thresholds in essential spectra of elliptic operators under localized non-Hermitian perturbations Studies in Applied Mathematics, V. 146. No. 4. P. 834-880. (год публикации - 2021)
10.1111/sapm.12367

3. Борисов Д.И., Коныркулжаева М.Н., Мухаметрахимова А.И. On discrete spectrum of a model graph with loop and small edges Journal of Mathematical Sciences, V. 257. No. 5. P. 3-18 (год публикации - 2021)
10.1007/s10958-021-05503-2

4. Борисов Д.И. Spectra of elliptic operators on quantum graphs with small edges Mathematics, V. 9. No. 16. id. 1874. (год публикации - 2021)
10.3390/math9161874

5. Борисов Д.И. Квантовые графы с малыми ребрами: голоморфность резольвент Доклады РАН, Т. 498. № 1. С. 21-26. (год публикации - 2021)
10.31857/S268695432103005X

6. Борисов Д.И., Зезюлин Д.А. Bifurcations of essential spectra generated by a small non-Hermitian hole. I. Meromorphic continuations Russian Journal of Mathematical Physics (год публикации - 2021)

7. Борисов Д.И. Analyticity of resolvents of elliptic operators on quantum graphs with small edges Advances in Mathematics (год публикации - 2021)

8. Султанов О.А. Damped Perturbations of Systems with Center-Saddle Bifurcation International Journal of Bifurcation and Chaos, V. 31, No. 9, id. 2150137 (год публикации - 2021)
10.1142/S0218127421501376

9. Султанов О.А. Decaying oscillatory perturbations of hamiltonian systems in the plane Journal of Mathematical Sciences, V. 257, No. 5, P. 705-719 (год публикации - 2021)
10.1007/s10958-021-05511-2

10. Калякин Л.А. Асимптотика динамической бифуркации седло-узел для модели ядерных спинов в антиферромагнетике Труды Института математики и механики УрО РАН (год публикации - 2022)

Публикации

1. Султанов О.А. Stability and bifurcation phenomena in asymptotically Hamiltonian systems Nonlinearity, v. 35, no. 5, p. 2513-2534 (год публикации - 2022)
10.1088/1361-6544/ac6372

2. Султанов О.А. CAPTURE INTO RESONANCE IN NONLINEAR OSCILLATORY SYSTEMS WITH DECAYING PERTURBATIONS Journal of Mathematical Sciences, v. 262, no. 3, p. 374-389 (год публикации - 2022)
10.1007/s10958-022-05822-y

3. Борисов Д.И., Мухаметрахимова А.И. Асимптотики для задач в перфорированных областях с третьим нелинейным краевым условием на границах полостей Математический сборник, т. 213, № 10, с. 3-59 (год публикации - 2022)
10.4213/sm9739

4. Борисов Д.И., Зезюлин Д.А. Bifurcations of Essential Spectra Generated by a Small Non-Hermitian Hole. II. Eigenvalues and Resonances Russian Journal of Mathematical Physics, v. 29, no. 3, p. 321-341 (год публикации - 2022)
10.1134/S1061920822030037

5. Борисов Д.И., Газизова Л.И. РЯДЫ ТЕЙЛОРА ДЛЯ РЕЗОЛЬВЕНТ ОПЕРАТОРОВ НА ГРАФАХ С МАЛЫМИ РЕБРАМИ ТРУДЫ ИНСТИТУТА МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ УрО РАН, т. 28, № 1, с. 40-57 (год публикации - 2022)
10.21538/0134-4889-2022-28-1-40-57

6. Калякин Л.А. ASYMPTOTICS OF ANDRONOV–HOPF DYNAMIC BIFURCATIONS Journal of Mathematical Sciences, v. 260, no. 6, p. 756--773 (год публикации - 2022)
10.1007/s10958-022-05726-x

7. Поляков Д.М. Spectral analysis of an even order differential operator with square integrable potential Mathematical Methods in the Applied Sciences (год публикации - 2022)
10.1002/MMA.8847

8. Поляков Д.М. SPECTRAL ASYMPTOTICS OF TWO-TERM EVEN ORDER OPERATORS WITH INVOLUTION Journal of Mathematical Sciences, v. 260, no. 6, p. 806-819 (год публикации - 2022)
10.1007/s10958-022-05729-8

9. Поляков Д.М. On the Bari basis property for even-order differential operators with involution Tamkang Journal of Mathematics, online first (год публикации - 2022)
10.5556/j.tkjm.54.2023.4899