Методы нелинейного анализа в вариационных проблемах и их приложения к различным задачам, включая задачу о формах оптимального обтекания в разреженных средах

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 20-11-20131

НазваниеМетоды нелинейного анализа в вариационных проблемах и их приложения к различным задачам, включая задачу о формах оптимального обтекания в разреженных средах

Руководитель Жуковский Сергей Евгеньевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №45 - Конкурс 2020 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-203 - Теория оптимизации и исследование операций

Ключевые слова Вариационные принципы нелинейного анализа, существование решений экстремальных задач, выпуклое тело, управляемая система, аэродинамическая задача Ньютона, поверхностная функция множества, задача о наилучшем обтекании в разреженных средах, дифференциальное включение, неподвижная точка, точка совпадения.

Код ГРНТИ27.37.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Планируется исследование задач оптимизации без обычных априорных предположений гладкости и компактности множества допустимых точек и разработка соответствующих методов нелинейного анализа. Для получения условий разрешимости негладких вариационных задач с ограничениями и оценок их решений планируется получить аналоги некоторых базовых результатов теории оптимизации и нелинейного анализа в пространствах, имеющих порядковую структуру. В частности, предполагается получить утверждения о существовании и оценках экстремума функционала, удовлетворяющего условию монотонного уменьшения значений (метрический аналог такого свойства называют условием Каристи), и утверждения типа вариационных принципов Экланда и Бишопа-Фелпса. Эти классические утверждения о свойствах экстремумов функций, определенных на метрических пространствах, нашли важные приложения в исследовании экстремальных задач, уравнений и включений. Результаты, аналогичные классическим, для отображений упорядоченных пространств, которые предполагается получить в проекте, позволят существенно расширить инструментарий исследования этих задач. Более того, в проекте будет предложена методика вывода из перечисленных утверждений новых теорем о достижении и априорных оценках точек условного экстремума, о существовании и зависимости от параметра точек совпадения и неподвижных точек, о разрешимости и свойствах множеств решений уравнений и включений в метрических и обобщенно метрических пространствах. Полученные в этих направлениях результаты предполагается применить в проекте к изучению задач векторной оптимизации. Предполагается получить условия существования локальных экстремумов, исследовать проблему устойчивости локальных экстремумов, непрерывной и монотонной их зависимости от параметров. Теоремы существования экстремума непрерывной функции, как правило, явно или неявно используют предположение компактности множества допустимых точек. К таким теоремам можно отнести, например, теорему Тонелли о существовании решения в задаче вариационного исчисления, теорему Филиппова о существовании решения в задаче оптимального управления и др. При этом многие экстремальные задачи, например, задачи вариационного исчисления и оптимального управления, не обладающие свойством выпуклости, этому предположению не удовлетворяют. Известны утверждения о существовании экстремумов функций на полных метрических пространствах без априорного предположения компактности. Однако эти утверждения носят очень специальный характер и неприменимы, например, к гладким функциям и ко многим задачам условной минимизации. Это приводит к проблеме нахождения достаточных условий разрешимости гладких задач на условный экстремум, в которых допустимое множество априори не компактно. Эта проблема актуальна и для абстрактных функций, определенных в нормированных пространствах, и для различных специальных функционалов, определенных на функциональных пространствах. При выполнении настоящего проекта предполагается получить достаточные условия существования условных экстремумов, применимые к задаче минимизации гладких функций на замкнутых, не обязательно компактных, множествах. Эти результаты дадут новые инструменты исследования различных экстремальных задач, включая задачи вариационного исчисления, задачи оптимального управления и задачу о формах наилучшего обтекания в разреженных средах. Предполагается исследовать задач оптимизации функционирования управляемых систем с обратной связью. Помимо классических задач оптимизации заданного функционала качества, включающих, в частности, терминальную задачу, задачу Больца, задачу быстродействия и другие, в проекте планируется нахождение оптимальных периодических и анти-периодических траекторий, квазипериодических траекторий таких управляемых систем, описываемых дифференциальными включениями, а также траекторий, удовлетворяющих более сложным нелокальным начальным условиям. Большое внимание будет уделено системам, в которых правые части включений не предполагаются компактными. Также предполагается исследовать класс управляемых систем, описываемых функционально-дифференциальными вариационными неравенствами с периодическими и анти-периодическими граничными условиями. Предполагается изучить качественные свойства множества траекторий данного типа систем и получить приложения к существованию оптимальных управлений. Все эти задачи находят важные и интересные приложения при рассмотрении систем управления в моделях математической физики, инженерии, экономики, биологии и других областях современного естествознания, и поэтому являются несомненно актуальными. Помимо указанных задач, в проекте предполагается исследование качественного поведения траекторий рассматриваемых управляемых систем, включая ветвление решений, их асимптотическое поведение, существование аттракторов и другие актуальные с точки зрения приложений вопросы. Это исследование использует метод ограничивающих функций и множеств, топологические методы нелинейного анализа, развиваемые участниками проекта. Разрабатываемые в проекте методы анализа и теории оптимизации предполагается применить к исследованию важного класса вариационных проблем, а именно, аэродинамической задачи Ньютона для выпуклых тел. Эта задача поставлена в 1993 г. известными математиками G. Buttazzo (Италия) и B. Kawohl (Германия) как обобщение классической задачи Ньютона и до сих пор остается открытой, несмотря на усилия математиков многих стран. Планируется изучение оптимальных обтекаемых выпуклых форм. Изучение будет вестись с использованием понятия поверхностной меры выпуклого множества, которое было введено Г. Минковским и А.Д. Александровым, а также с использованием вариационных методов в высших размерностях. Планируется получить описание оптимальных тел в передней их части, а также вблизи заднего контура. Предполагается изучить особые точки на поверхности оптимальных тел; кроме того, предполагается доказать гипотезу о том, что эта поверхность является кусочно развертывающейся. Постановка данной вариационной задачи основана на физической модели движения тел в сильно разреженной среде, в которой тепловым движением частиц среды можно пренебречь и отражения частиц от движущегося тела абсолютно упруги. Далее в проекте планируется рассмотреть более реалистичную обобщенную задачу Ньютона, в которой присутствует тепловое движение частиц, а частицы отражаются от тела неупругим образом, и обобщить на нее результаты, полученные к настоящему времени математическим сообществом и авторами данного проекта.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Н.Г. Павлова, З.Т. Жуковская, С.Е. Жуковский Equilibrium in continuous dynamic market models Proceedings of 2020 15th International Conference on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference), STAB 2020 (год публикации - 2020)
10.1109/STAB49150.2020.9140586

2. Е.С. Жуковский, В. Марчела О накрывающих отображениях в обобщенных метрических пространствах в исследовании неявных дифференциальных уравнений Уфимский математический журнал, Т. 12., № 4, С. 42-55 (год публикации - 2020)

3. А.В. Арутюнов, З.Т. Жуковская, С.Е. Жуковский Local Solvability of Control Systems with Implicit Dynamics 2020 15th International Conference on Stability and Oscillations of Nonlinear Control Systems (Pyatnitskiy's Conference) (STAB), pp. 1-4 (год публикации - 2020)
10.1109/STAB49150.2020.9140537

4. А.В. Арутюнов, А.Ф. Измаилов, С.Е. Жуковский Continuous Selections of Solutions for Locally Lipschitzian Equations Journal of Optimization Theory and Applications, vol. 185, iss. 3, pp. 679-699 (год публикации - 2020)
10.1007/s10957-020-01674-1

5. Р. Сенгупта, С.Е. Жуковский Ekeland’s Variational Principle for Functions Unbounded from below Discontinuity, Nonlinearity, and Complexity, Vol. 9, Iss. 4, p. 553-558 (год публикации - 2020)
10.5890/DNC.2020.12.008

6. С. Бенараб, З.Т. Жуковская, Е.С. Жуковский, С.Е. Жуковский Functional and Differential Inequalities and Their Applications to Control Problems Differential Equations, Vol. 56, No. 11, pp. 1440–1451 (год публикации - 2020)
10.1134/S0012266120110051

7. А.В. Арутюнов, С.Е. Жуковский Нелокальные обобщенные теоремы о неявной функции в гильбертовых пространствах Дифференциальные уравнения, т. 56, № 12, с.1571-1584 (год публикации - 2020)
10.1134/S0374064120120018

8. Е.С. Жуковский О методе сравнения в исследовании уравнений в метрических пространствах Математические заметки, Т. 108, вып. 5, с. 702-713 (год публикации - 2020)
10.4213/mzm12664

9. Г. Бергланд, Е. Бурлаков, А. Петерсон, Дж. Виллер Aquaculture, pollution and fishery - dynamics of marine industrial interactions Ecological Complexity, Vol. 43, 100853 (год публикации - 2020)
10.1016/j.ecocom.2020.100853

10. Е. Бурлаков, В. Верхлютов, И. Малков, В. Ушаков Assessment of Cortical Travelling Waves Parameters Using Radially Symmetric Solutions to Neural Field Equations with Microstructure NEUROINFORMATICS 2020: Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research IV, pp. 51-57 (год публикации - 2020)
10.1007/978-3-030-60577-3_5

11. А.В. Алексеев, А.В. Арутюнов Derivations in semigroup algebras Eurasian Mathematical Journal, т. 11, № 2, с. 9-18 (год публикации - 2020)
10.32523/2077-9879-2020-11-2-09-18

12. А.М. Котюков, С.О. Никаноров, Н.Г. Павлова Local Normal Forms of Autonomous Quasi-Linear Constrained Differential Systems Advances in Systems Science and Applications, V. 20, Iss. 1, P. 119-127 (год публикации - 2020)
10.25728/assa.2020.20.1.866

13. Т.В. Жуковская, Е.С. Жуковский, И.Д. Серова Некоторые вопросы анализа отображений метрических и частично упорядоченных пространств Вестник российских университетов, Т. 25, № 123, с. 345-358 (год публикации - 2020)
10.20310/2686-9667-2020-25-132-345-358

14. Жуковский С.Е. On solvability of equations defined by continuous and smooth regular mappings Advances in Systems Science and Applications, Vol. 21, No. 3, P. 113--118 (год публикации - 2021)
10.25728/assa.2021.21.3.1131

15. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Stable Solvability of Nonlinear Equations under Completely Continuous Perturbations Труды Математического института имени В. А. Стеклова, Т. 312, С. 7--21 (год публикации - 2021)
10.4213/tm4149

16. Арутюнов А.В., Жуковский Е.С., Жуковский С.Е., Жуковская З.Т. Kantorovich’s Fixed Point Theorem and Coincidence Point Theorems for Mappings in Vector Metric Spaces Set-Valued and Variational Analysis, P. 1-27 (год публикации - 2021)
10.1007/s11228-021-00588-y

17. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. О глобальной разрешимости нелинейных уравнений с параметрами Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, Т. 496, С. 68–72 (год публикации - 2021)
10.31857/S268695432101001X

18. Арутюнов А.В., Карамзин Д.Ю. Square-root metric regularity and related stability theorems for smooth mappings SIAM Journal on Optimization, V. 31, Iss. 2, P. 1380--1409 (год публикации - 2021)
10.1137/20M1337697

19. Арутюнов А.А., Косолапов Л.М. Derivations of group rings for finite and FC groups Finite Fields and their Applications, V. 76, 101921 (год публикации - 2021)
10.1016/j.ffa.2021.101921

20. Кулманакова М.М., Обуховский В.В., Ульянова Е.Л. О нелокальной задаче Коши для полулинейного импульсного дифференциального включения с каузальным оператором в банаховом пространстве Вестник Воронежского государственного университета. серия: Физика. Математика, № 1, С. 92-109 (год публикации - 2021)

21. Арутюнов А.В. Существование вещественных решений нелинейных уравнений без априорных предположений нормальности Математические заметки, т. 109, вып. 1, C. 3-18 (год публикации - 2021)
10.4213/mzm12735

22. Бурлаков Е.О., Верхлютов В., Ушаков В. A Simple Human Brain Model Reproducing Evoked MEG Based on Neural Field Theory Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research V. NEUROINFORMATICS 2021. Studies in Computational Intelligence, vol. 1008 (год публикации - 2021)
10.1007/978-3-030-91581-0_15

23. Арутюнов А.В., Жуковский С.Е. Накрывающие отображения, действующие в нормированные пространства, и точки совпадения Труды Математического института имени В. А. Стеклова, т. 315, с.19-25 (год публикации - 2021)
10.4213/tm4233

24. Жуковский Е.С. О проблеме существования неподвижной точки обобщенно сжимающего многозначного отображения Вестник российских университетов. Математика, т. 26, № 136, с. 372-381 (год публикации - 2021)
10.20310/2686-9667-2021-26-136-372-381

25. Серова И.Д. Возмущение задачи о неподвижных точках непрерывных отображений Вестник российских университетов. Математика., Т. 26., № 135., С. 305-314. (год публикации - 2021)
10.20310/2686-9667-2021-26-135-305-314.

26. А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский Глобальная и полулокальная теоремы о неявной и об обратной функции в банаховых пространствах Математический сборник, т. 213, № 1, С. 3-45 (год публикации - 2022)
10.4213/sm9483

27. А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский On implicit function theorem for locally Lipschitz equations Mathematical Programming, P. 1-14 (год публикации - 2022)
10.1007/s10107-021-01750-y

28. А. В. Арутюнов, С. Е. Жуковский Variational Principles and Mean Value Estimates Journal of Optimization Theory and Applications, V. 193, P. 21-41 (год публикации - 2022)
10.1007/s10957-021-01966-0

29. А. В. Арутюнов, З. Т. Жуковская, С. Е. Жуковский Антипериодическая краевая задача для неявного обыкновенного дифференциального уравнения Вестник российских университетов. Математика, Т. 27, № 139, С. 205-213 (год публикации - 2022)
10.20310/2686-9667-2022-27-139-205-213

30. Е.О. Бурлаков, Е.С. Жуковский, Е.А. Понасенко, И.Д. Серова On Order Covering Set-Valued Mappings and Their Applications to the Investigation of Implicit Differential Inclusions and Dynamic Models of Economic Processes Advances in Systems Science and Applications, Vol. 1, P. 176-191 (год публикации - 2022)
10.25728/assa.2022.22.1.1225

31. Е.С. Жуковский A Note on Generalized Contraction Theorems Mathematical Notes, Vol. 111, No. 2, pp. 211–216. (год публикации - 2022)
10.1134/S0001434622010242

32. Е.С. Жуковский, В. Марчела A Method for Studying Integral Equations by Using a Covering Set of the Nemytskii Operator in Spaces of Measurable Functions Differential Equations, Vol. 58, No. 1, pp. 92–103. (год публикации - 2022)
10.1134/S0012266122010104

33. А.А. Арутюнов On a Pseudodifferentional Calculation in Group Algebras Advances in Systems Science and Applications, Vol. 04, P. 11–18. (год публикации - 2022)

34. А.В. Арутюнов, Н.Г. Павлова Equilibrium in Market Models Described by Differential Equations Differential Equations, V. 58, P. 1267–1276 (год публикации - 2022)
10.1134/S0012266122090117

Публикации

31. Е.С. Жуковский A Note on Generalized Contraction Theorems Mathematical Notes, Vol. 111, No. 2, pp. 211–216. (год публикации - 2022)
10.1134/S0001434622010242

33. А.А. Арутюнов On a Pseudodifferentional Calculation in Group Algebras Advances in Systems Science and Applications, Vol. 04, P. 11–18. (год публикации - 2022)

Публикации

31. Е.С. Жуковский A Note on Generalized Contraction Theorems Mathematical Notes, Vol. 111, No. 2, pp. 211–216. (год публикации - 2022)
10.1134/S0001434622010242

33. А.А. Арутюнов On a Pseudodifferentional Calculation in Group Algebras Advances in Systems Science and Applications, Vol. 04, P. 11–18. (год публикации - 2022)