Дифференциальные операторы, константы вложения и обратные задачи. Операторные модели в механике

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 20-11-20261

НазваниеДифференциальные операторы, константы вложения и обратные задачи. Операторные модели в механике

Руководитель Шкаликов Андрей Андреевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №45 - Конкурс 2020 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова Асимптотики решений дифференциальных уравнений. Сингулярные коэффициенты. Мультипликаторы. Предельный спектральный граф. Операторные матрицы. Пучки операторов. Обратные задачи. Операторы Штурма-Лиувилля, Шредингера, Дирака, Орра-Зоммерфельда.

Код ГРНТИ27.29.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект ставит целью решение нескольких актуальных задач для дифференциальных и общих операторов, которые тесно связаны между собой и в совокупности представляет цельное, масштабное исследование. Основной блок исследований связан с новыми задачами для обыкновенных дифференциальных операторов. Одна из глобальных целей – построение теории обыкновенных дифференциальных операторов (ОДО) с коэффициентами-распределениями (классическая теория работает только с гладкими или суммируемыми коэффициентами). Авторы проекта – родоначальники уже сложившейся теории операторов Штурма-Лиувилля с потенциалами-распределениями общего вида. Естественная задача (особенно важная в связи с приложениями для операторов четвертого порядка) – найти условие на коэффициенты – распределения дифференциальных выражений, для которых соответствующие операторы корректно определены, а затем изучить их спектральные свойства. Если условия на коэффициенты уже найдены, то возникает задача о нахождении асимптотик решений резольвентных уравнений как по спектральному параметру (при стремлении его к бесконечности), так и по независимой переменной при x\to\pm\infty (задача ставится на бесконечном интервале). Методы решения этих задач, развитые в классической теории, не проходят, нужны новые. Развитие асимптотических методов при новых условиях на коэффициенты – основная база для построения спектральной теории ОДО с коэффициентами – распределениями. Вторая тема в исследовании ОДО – изучение и описание спектральных портретов для несамосопряженных уравнений Штурма-Лиувилля при стремлении к нулю параметра при старшей производной (квазиклассическое приближение). Авторы проекта – пионеры в исследовании этой темы (здесь следует иметь ввиду кардинальное отличие известной классической теории для самосопряженного случая от несамосопряженного случая, для которого до работ авторов проекта ничего не было известно). Третья тема в исследовании ОДО – обратные задачи. Основной момент в изучении задач этой темы – получение равномерных априорных оценок в решении обратных задач, равномерных оценок погрешности при восстановлении потенциалов по конечному набору спектральных данных. До недавних работ авторов проекта в теории обратных задач имелись только априорные оценки локального типа. Четвертая тема, связанная с ОДО – нахождение точных констант в оценках для операторов вложения в одномерных пространствах Соболева, или в неравенствах типа Коломогорова-Маркова-Фридрихса. Есть задачи, для которых точные константы известны. Наша цель – с помощью новых методов существенно расширить круг таких задач. Второй блок исследований – задача о корректном определении операторов в частных производных с коэффициентами-распределениями. Авторы проекта установили связь этой задачи с теории мультипликаторов в пространствах бесселевых потенциалов с негативным индексом гладкости и получили первые результаты по описанию таких мультипликаторов. Но эта тема обширна и очень далека от завершения. Наконец, третий блок - задачи общей теории несамосопряженных операторов. Эта тема является «любимой» для руководителя проекта, ее актуальность диктуется возможностью приложения результатов теории к важным конкретным задачам механики. Принципиально новыми ожидаются результаты по теории возмущений и расширений симметрических оператор-матриц как в гильбертовых пространствах, так и в пространствах Крейна, и также по факторизации самосопряженных операторных пучков. Актуальность рассматриваемых задач объясняется внутренней логикой развития теории дифференциальных операторов и подтверждается высоким индексом цитирования предыдущих работ авторов проекта. Получение результатов по сформулированным темам возможно только с помощью новых методов.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Асимптотический анализ решений обыкновенных дифференциальных уравнений с коэффициентами-распределениями Математический сборник, т.211, №1, стр. 129–166 (год публикации - 2020)
10.4213/sm9340

2. Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Интегральное представление сумм некоторых рядов, связанные со специальными функциями Математические заметки, Т. 108, № 4, с. 632-637. (год публикации - 2020)
10.4213/mzm12752

3. Мирзоев К.А., Сафонова Т.А. Представления $\zeta(2n+1)$ и связанных с ними чисел в виде определённых интегралов и быстро сходящихся рядов Доклады РАН, том 494, с. 45–49 (год публикации - 2020)
10.31857/S2686954320050380

4. Гарманова Т.А., Шейпак И.А. О точных оценках производных четного порядка в пространствах Соболева Функциональный анализ и его приложения (год публикации - 2021)

5. Савчук А.М., Садовничая И.В. Спектральный анализ одномерной системы Дирака с суммируемым потенциалом и оператора Штурма-Лиувилля с коэффициентами-распределениями Современная математика. Фундаментальные направления, том 66, № 3 (год публикации - 2020)
10.22363/2413-3639-2020-66-3-373-530

6. Владыкина В.Е. Базисные свойства корневых функций регулярных дифференциальных операторов с инволюцией Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2020, стр. 50-53 (год публикации - 2020)

7. Савчук А.М. Спектральные свойства одномерной системы типа Дирака Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2020, стр. 68-70 (год публикации - 2020)

8. Мирзоев К.А. Обыкновенные самосопряженные дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами и интегральное представление сумм некоторых рядов Сборник материалов международной конференции КРОМШ -2020, стр. 60-63 (год публикации - 2020)

9. Гарманова Т.А. Оценки производных в пространствах Соболева в терминах гипергеометрических функций Математические заметки (год публикации - 2021)

10. Сивкин В.Н., Шкаликов А.А. О базисности системы корневых векторов локально р- подчиненных возмущений самосопряженных операторов Математические заметки (год публикации - 2021)

11. Мирзоев К.А., Конечная Н.Н. Об асимптотике решений линейных дифференциальных уравнений нечетного порядка Вестник Московского университета. Серия 1.Математика. Механика, номер 1 (год публикации - 2020)

Публикации

1. Гарманова Т.А., Шейпак И.А. О соотношениях ортогональноcти первообразных многочленов Лежандра, и их приложениях к некоторым спектральным задачам для дифференциальных операторов Математические заметки, т.110, вып.4, с.498-506 (год публикации - 2021)
10.4213/mzm13168

2. Шаров Е.Б., Шейпак И.А. Уравнение струны с весом — некомпактным мультипликатором: непрерывный спектр и собственные значения Алгебра и анализ, т.33, вып 4, с.155-172 (год публикации - 2021)

3. Будыка В.С., Маламуд М.М., Мирзоев К.А Индексы дефекта блочных матриц Якоби: обзор Современная математика. Фундаментальные направления., т.67, вып.2,237-254 (год публикации - 2021)
10.22363/2413-3639-2021-67-2-237-254

4. Туманов С.Н. Теорема полноты системы собственных функций комплексного оператора Шрёдингера с потенциалом q(x)=cx^\alpha Математичесакие заметки, т.109, вып.5, с.797-800 (год публикации - 2021)
10.4213/mzm13007

5. Шкаликов А.А. Регулярные спектральные задачи для систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Успехи математических наук, том 76, выпуск 5(461), страницы 203-204 (год публикации - 2021)
10.4213/rm10021

6. Шкаликов А.А. Регулярные спектральные задачи гиперболического типа для системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Математические заметки, том 110, выпуск 5, страницы 796–800 (год публикации - 2021)
10.4213/mzm13285

7. Косарев А.П., Шкаликов А.А. Спектральные асимптотики решений 2\times 2-системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка Математические заметки, том 110, выпуск 6, страницы 939–943 (год публикации - 2021)

8. Новиков Р.Г., Сивкин В.Н. Phaseless inverse scattering with background information Inverse Problems, т. 37, страницы 1-20 (год публикации - 2021)
10.1088/1361-6420/abf36c

Публикации

1. Я. А. Гранильщикова, А. А. Шкаликов Спектральные свойства дифференциального оператора с инволюцией Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика., № 4, 67-71 (год публикации - 2022)

2. К.А.Мирзоев, Т.А.Сафонова Многочлены от оператора дифференцирования и формулы для сумм некоторых сходящихся рядов Функциональный анализ и его приложения, 56:1, 81–93 (год публикации - 2022)
10.4213/faa3922

3. И.А.Шейпак Многочлены чебышевского типа, возникающие в предельных неравенствах Пуанкаре Математические заметки, 112:1, 153–157 (год публикации - 2022)
10.4213/mzm13443

4. А.Ю.Аникин, С.Ю.Доброхотов, А.А.Шкаликов О разложениях по точным и асимптотическим собственным функциям одномерного оператора Шрёдингера Математические заметки, т.112, вып.5, 644-664 (год публикации - 2022)
10.4213/mzm13670

5. С.Н. Туманов Completeness theorem for the system of eigenfunctions of the complex Schrödinger operator L_{c,\alpha}=-d^2/dx^2+cx^\alpha Journal of Differential Equations, том 319, с. 80-99 (год публикации - 2022)

6. А.А.Владимиров, А.А.Шкаликов Осцилляционные свойства самосопряжённых граничных задач четвёртого порядка Алгебра и анализ, т.35, №1 (год публикации - 2023)

7. К.А.Мирзоев, Т.А.Сафонова Вокруг теоремы Гаусса о значениях дигамма-функции Эйлера в рациональных точках Алгебра и анализ, т.35, №2 (год публикации - 2023)

8. И.А.Шейпак Числа Бернулли в константах вложения пространств Соболева с различными краевыми условиями Алгебра и анализ, т.35, №2 (год публикации - 2023)

9. Т.Хонаж, Р. Г.Новиков, В.Н.Сивкин Phase retrieval and phaseless inverse scattering with background information Hal open science, HAL Id: hal-03806616 (год публикации - 2022)

10. А.А.Беляев ultipliers in the Bessel potential spaces with positive smoothness indices: bilateral continuous embeddings and their exact character arXiv:submit/4637732 [math.FA] 7 Dec 2022, arXiv:2212.03428 (год публикации - 2022)
10.48550/arXiv.2212.03428

11. Н. Н. Конечная, К.А. Мирзоев, А. А. Шкаликов Об асимптотике решений двучленных дифференциальных уравнений Математические заметки, Том 113 выпуск 2 (год публикации - 2023)

12. К.А.Мирзоев, Т.А.Сафонова Значения дзета-функции Римана и бета-функции Дирихле в натуральных точках и кратные числовые ряды Математические заметки, т. 112, вып. 6, 947–952 (год публикации - 2022)