КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 20-71-00007

НазваниеМасштабирование песочных моделей

Руководитель Калинин Никита Сергеевич, кандидат наук (признаваемый в РФ PhD)

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" , г Санкт-Петербург

Конкурс №49 - Конкурс 2020 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-104 - Геометрия

Ключевые слова песочная модель, тропическая геометрия, окружности Аполлония, фракталы

Код ГРНТИ27.45.00

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Песочная модель изучается физиками более 30 лет, при этом строгие математические результаты, касающиеся ремасштабирования песочной модели, появились менее десяти лет назад. Песочная модель является классическим примером самоорганизующейся критичности (однако первые продвижения в строгом доказательстве этого экспериментального факта появилось лишь два года назад), и связана со случайными деревьями на решётках, Аполлониевыми замощениями окружностей на плоскости, теоремой Римана-Роха для графов и дискретными гармоническими функциями. Пусть G -- связный граф, в котором одна вершина объявлена стоком. Состояние -- это неотрицательная целозначная функция f на вершинах графа G. Мы интерпретируем f(v) как число песчинок в v. Если f(v) не менее степени вершины v, мы разрешаем сделать обвал в вершине v, и называем эту вершину нестабильной. В результате обвала в v из f получается новое состояние f' по следующему правилу: каждая из соседних с v вершин забирает из v одну песчинку; песок, падающий в сток, пропадает из системы. Процесс выполнения обвалов, покуда это возможно, называется релаксацией. Нетрудно проверить, что для конечных графов (как в нашем случае), релаксация любого состояния заканчивается за конечное число шагов и результат не зависит от выбранного способа релаксации. Состояние называется стабильным, если не содержит нестабильных вершин. Рассмотрим граф G, получающийся пересечением целочисленной решётки на плоскости (каждая вершина соединена с ближайшими, то есть имеет степень четыре) с большой выпуклой областью U. Добавим в этот граф вершину стока, все рёбра, пересекающие границу U, идут в сток. Экспериментально было выяснено (Андреа Спортиелло и его соавторами, 2010), что релаксация f' состояния f, которое почти во всех вершинах имеет три песчинки, и лишь в небольшом количестве вершин имеется четыре песчинки, содержит тропические кривые. Имеется в виду следующее: f' снова почти везде равно трём, а локус, где f' не равен трём напоминает плоский граф с прямыми рёбрами рационального наклона, в вершинах которого выполняется условие баланса. Недавно руководитель проекта (в соавторстве с Михаилом Школьниковым) доказал что при некоторой процедуре ремасштабирования локус, где f' не равен трём, сходится по Хаусдорфу к тропической кривой. Это один из редких случаев, когда получается строго доказать, что у дискретных моделей есть предел при ремасштабировании. Для полноты картины стоит доказать, что такой же результат верен в старших размерностях и на других решётках. Недавние результаты Левина, Пеждена и Смарта связывают результат релаксации большой кучи песка в одной точки в остальном пустой плоскости с квадратичными формами и аполлониевым замощением плоскости окружностями. Их доказательства работают только в случае квадратной решётки, я собираюсь выяснить, что происходит в случае треугольной решётки. При изучении песочной модели полезным оказывается следующий оператор волны (определённый Ивашкевичем, Ктитаревым и Приезжевым, 1994). Добавление одной песчинки в вершину v и последующую релаксацию можно представить как последовательность волн: сделав обвал в v, если можно, мы замораживаем v (запрещаем производить обвалы на время), и производим релаксацию остальной системы, покуда это возможно. Потом мы размораживаем v, производим там обвал, если это возможно, снова замораживаем, и производим релаксацию системы из остальных вершин. Каждый процесс между заморозками называется волной, можно доказать, что в течение волны каждая вершина обваливается не более одного раза. Некоторые состояния на G под действием волн параллельно смещаются (такие состояния называются солитонами). Руководитель проекта и Михаил Школьников недавно строго обосновали этот наблюдаемый факт. Одной из целей проекта является обобщение солитонов на случай решёток больших размерностей. С песочной моделью можно связать группу. Рассмотрим множество возвратных состояний -- то есть стабильных состояний, которые можно получить из любого состояния добавлением песчинок и последующим расслаблением. Тогда множество возвратных состояний образует группу относительно операции поточечного сложения с последующей релаксацией. Нейтральный элемент этой группы (если граф получен пересечением целочисленной решётки на плоскости с большим квадратом) выглядит крайне регулярно (см. рисунки в приложенном файле), и до сих пор нет продвижений в доказательстве этого факта. Вышеописанные солитоны видны как на рисунке нейтрального элемента, так и в процессе его получения. Видны и дополнительные фрактальные регулярные куски, которые описаны Пежденом, Смартом и Левиным (статьи 2013-2017 годов). Впрочем, доказано лишь их появление в близкой по духу задаче -- при релаксации большой кучи песка, лежащей в начале координат на пустой целочисленной решётке плоскости. Одна из целей проекта -- обобщить работы Пеждена, Смарта и Левина на случай других решёток и старшие размерности.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---