КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 20-71-00109
НазваниеОрбиты групп регулярных автоморфизмов G-многообразий
Руководитель Гайфуллин Сергей Александрович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва
Конкурс №49 - Конкурс 2020 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-106 - Алгебраическая геометрия
Ключевые слова алгебраическое многообразие, алгебраическая группа, автоморфизм, торическое многообразие, орисферическое многообразие, орбита
Код ГРНТИ27.17.33
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
При изучении математических объектов важны не только сами объекты, но и отображения между ними. Так при изучении алгебраических многообразий важную роль играют морфизмы между разными многообразиями и автоморфизмы данного многообразия. В данном проекте мы рассматриваем регулярные автоморфизмы и основной акцент делаем на аффинные многообразия, там группа регулярных автоморфизмов наиболее богата. Автоморфизмы данного многообразия образуют группу, которая естественным образом действует на этом многообразии. Одной из важнейших характеристик действия является разбиение множества (в данном случае многообразия) на орбиты. Соответственно, естественным вопросом является изучение разбиения многообразия на орбиты группы автоморфизмов. Точки, лежащие в одной орбите, имеют одинаковые свойства .
Зачастую важные классы многообразий имеют естественные действия линейных алгебраических групп. Например, активно изучаются квазиоднородные многообразия, то есть имеющие открытую орбиту алгебраической группы. Такие многообразия часто имеют комбинаторные характеристики, в терминах которых можно изучать данный класс многообразий. Ярким примером такой ситуации являются торические многообразия, которые имеют описание в терминах вееров. Действие алгебраической группы G даёт подгруппу в группе автоморфизмов. Таким образом, каждая орбита группы автоморфизмов является объединением G-орбит и для того, чтобы описать орбиты группы автоморфизмов нужно понять, какие из G-орбит можно перевести друг в друга автоморфизмом.
Пусть X -- аффинное многообразие. В работе Аржанцева-Зайденберга-Калимана-Кучебауха-Фленера (2012) введён ставший популярным класс гибких многообразий. Это многообразия, для которых подгруппа специальных автоморфизмов действует транзитивно на гладких точках многообразия. Гибкими, например, являются нормальные торические многообразия, многообразий флагов (Аржанцев-Зайденберг-Куюмжиян), орисферические многообразияя сложности ноль, гладкие квазиоднородные многообразия редуктивной группы (Гайфуллин-Шафаревич). Получается, что для гибких многообразий задача описания орбит группы автоморфизмов сводится к задаче описания тех орбит, которые состоят из особых точек.
Данный подход был реализован для нормальных торических многообразий в работах Бажова (2012) для полных многообразий и Аржанцева-Бажова (2012) для аффинного случая. В этих работах описаны орбиты связной компоненты группы автоморфизмов. В работе А.А. Шафаревича (2019) было получено описание орбит связной компоненты группы автоморфизмов аффинного торического многообразия в геометрических терминах.
В рамках данного проекта планируется получение описания орбит групп автоморфизмов нескольких типов G-многообразий. Это нормальные аффинные орисферические многообразия сложности ноль, m-надстройки, многообразия с действием тора сложности один. В случае, когда на гладких точках группа автоморфизмов не действует транзитивно прежде всего будет исследован вопрос, каковы типичные орбиты группы автоморфизмов, какими рациональными инвариантами они разделяются и разделяются ли они регулярными инвариантами.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ