Классификация интегрируемых дифференциально-разностных уравнений в 3D

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 21-11-00006

НазваниеКлассификация интегрируемых дифференциально-разностных уравнений в 3D

Руководитель Хабибуллин Исмагил Талгатович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное научное учреждение Уфимский федеральный исследовательский центр Российской академии наук , Республика Башкортостан

Конкурс №55 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова Симметрия, законы сохранения, пара Лакса, характеристические алгебры Ли, интегрируемость по Дарбу, геометрия Эйнштейна-Вейля, бездисперсионные уравнения, редукции гидродинамического типа

Код ГРНТИ27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен разработке новых подходов к задаче классификации интегрируемых уравнений с тремя независимыми переменными. Интегрируемые системы представляют собой замечательный класс уравнений, которые до некоторой степени могут быть решены явно. Эта ''точная разрешимость'' обычно обусловлена некоторой ''внутренней симметрией'', которая делает интегрируемые системы математически богатыми и интересными объектами, имеющими глубокие связи с различными областями математики, такими, как алгебра, анализ и геометрия. Кроме того, интегрируемые системы появляются как приближения к более сложным системам физического происхождения, что позволяет рассматривать интегрируемые системы как новые нелинейные специальные функции математической физики. Поэтому задача классификации интегрируемых систем является одной из важнейших проблем естествознания, оказывающая решающее влияние как на чистую, так и на прикладную математику. В размерности 1 + 1 проблема классификации интегрируемых систем была успешно решена на основе симметрийного подхода (Шабат, Ибрагимов, Михайлов, Соколов, Адлер, Ямилов, и это лишь некоторые ключевые авторы), что привело к обширным спискам интегрируемых систем в рамках особо интересных классов. Эта часть теории к настоящему времени хорошо обоснована. Напротив, результаты классификации многомерных интегрируемых систем немногочисленны. Это в первую очередь связано с нелокальностью высших симметрий многомерных уравнений, что затрудняет их нахождение. Таким образом, разработка альтернативных подходов к классификации, которые были бы эффективны в измерениях 2 + 1, имеет первостепенное значение: каждая интегрируемая система - это ``жемчужина'' с красивой и богатой математической структурой и потенциально важными физическими приложениями. В течение многих лет интегрируемые системы играли объединяющую роль, связывая воедино различные и, казалось бы, разрозненные области математики и физики, тем самым поддерживая целостность нашей дисциплины. Участники настоящего проекта недавно предложили три новых подхода к трехмерной интегрируемости, которые уже доказали свою эффективность. А именно: (а) Метод гидродинамических редукций и их дисперсионных деформаций. (б) Метод интегрируемой конформной геометрии. (в) Метод характеристических алгебр Ли, основанный на концепции интегрируемости по Дарбу. Основная цель нашего проекта заключается в развитии этих методов, в поиске взаимосвязей между ними и приведении их к единообразию. Ожидается, что это прольет новый свет на интегрируемость в размерности 2 + 1. Кратко остановимся на конкретных задачах. Предполагается развитие подхода к классификации трехмерных дифференциально-разностных интегрируемых уравнений на основе метода гидродинамических редукций и их дисперсионных деформаций. Классификация уравнений второго порядка характеристическая конформная структура которых удовлетворяет условию Эйнштейна-Вейля. Теоретическое обоснование метода дисперсионных деформаций. В качестве иллюстрации этого подхода будут классифицированы трехмерные системы с нелокальностью типа ''intermediate long wave'', важным примером которых является многослойная система Бенни с завихренностью в каждом слое. Классификация дисперсионных редукций слабо нелинейных бездисперсионных интегрируемых уравнений в 3D. Установление взаимосвязей между различными подходами, разрабатываемыми в рамках проекта. Недавняя совместная работа участников проекта [E. V. Ferapontov, I. T. Habibullin, M. N. Kuznetsova, V. S. Novikov, “On a class of 2D integrable lattice equations”, J. Math. Phys., 61:7 (2020), 073505, 15 pp] показала, что комбинация алгебраического и геометрического подходов чрезвычайно эффективна и позволяет решать классификационные задачи, которые не могли быть решены ранее при помощи существующих методов. Планируется разработка алгоритма классификации нелинейных интегрируемых дифференциально-разностных уравнений с тремя независимыми переменными одна из которых непрерывна, а две дискретные. Интегрируемость предполагает существование бесконечной серии редукций в виде конечно-полевых систем уравнений ''гиперболического типа'' с двумя независимыми переменными, одна из которых непрерывна, а другая дискретна. Эта ситуация в корне отличается от той, которая изучалась в нашем предыдущем проекте РНФ (№ 15-11-20007, 2015-2019), где рассматривалось трехмерное уравнение типа Тоды и используемые редукции были гиперболическими системами обычных уравнений в частных производных. Теория таких уравнений, восходящая к классическим работам Дарбу и Гурса была окончательно сформирована усилиями Шабата, Лезнова, Смирнова, Ямилова, Жибера и Мукминова 1979-1991гг. Работа по перенесению этой теории на случай дискретных гиперболических систем с двумя дискретными или одной дискретной и одной непрерывной переменными находится на начальной стадии. Понятие характеристической алгебры дискретного уравнения гиперболического типа было введено в работе руководителя проекта [I. T. Habibullin, Characteristic Algebras of Fully Discrete Hyperbolic Type Equations, SIGMA, 1 (2005), 23]. Структура этой алгебры чрезвычайно сложна даже для скалярного уравнения [I. Habibullin, N. Zheltukhina, A. Sakieva, On Darboux-integrable semi-discrete chains, J. Phys. A: Math. Theor., 43:43 (2010), 434017]. В рамках проекта предполагается создание дискретной версии теории интегрируемых по Дарбу систем гиперболического типа и на ее основе разработка методов классификации интегрируемых уравнений в 3D с двумя дискретными и одной непрерывной независимыми переменными. Предполагается разработка алгоритма построения решений интегрируемых по Дарбу систем дифференциально-разностных уравнений гиперболического типа с демонстрацией эффективности алгоритма на примерах систем малой размерности. Будет решена задача классификации интегрируемых дифференциально-разностных гиперболических уравнений на основе симметрийного подхода. Уравнения такого типа изучались только в частных случаях, как преобразования Бэклунда для эволюционных и гиперболических уравнений. Известны лишь отдельные интегрируемые примеры такого типа [Р. И. Ямилов, Обратимые замены переменных, порожденные преобразованиями Беклунда, ТМФ, 85:3 (1990), 368–375]. Трудность задачи при поиске симметрии проявляется в возникновении сложных функциональных уравнений. В рамках настоящего проекта предполагается разработать алгоритм решения таких уравнений на основе характеристических алгебр Ли. Это связывает алгебраический и симметрийный подходы к проблеме интегрируемой классификации. В результате выполнения проекта будут получены списки интегрируемых уравнений в 3D и 2D из определенных классов. Развиты методы построения решений этих уравнений. Создаваемые в рамках проекта классификационные алгоритмы могут быть использованы в дальнейшем при изучении более сложных уравнений и систем. Поскольку объектом исследования являются классы нелинейных уравнений в частных производных и дискретных аналогов, содержащие в качестве основных представителей известные модели физики, биологии и информационных технологий, такие, как системы типа Тоды, уравнение Хироты-Мивы, уравнение Бойера-Финли (Boyer-Finley), дискретное уравнение Кадомцева-Петвиашвили и др., наши исследования являются востребованными.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Гарифуллин Р.Н. On integrability of semi-discrete Tzitzeica equation Ufa Mathematical Journal, 13:2, 15-21 p. (год публикации - 2021)
10.13108/2021-13-2-15

2. Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. Characteristic Lie algebras of integrable differential-difference equations in 3D Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 54, 295202, 34pp. (год публикации - 2021)
10.1088/1751-8121/ac070c

3. Жибер А.В., Кузнецова М.Н. Integrals and characteristic Lie rings of semi-discrete systems of equations Ufa Mathematical Journal, 13:2, 22-32 p. (год публикации - 2021)
10.13108/2021-13-2-22

4. Хабибуллин И.Т., Кузнецова М.Н. An algebraic criterion of the Darboux integrability of differential-difference equations and systems Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 54, 505201, 20pp. (год публикации - 2021)
10.1088/1751-8121/ac37e8

Публикации

1. Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. Интегралы и характеристические алгебры систем дискретных уравнений на прямоугольном графе Теоретическая и математическая физика, том 213, номер 2, страницы 320-346 (год публикации - 2022)
10.4213/tmf10296

2. Гормли Б., Ферапонтов Е.В., Новиков В.С., Павлов М.В. Integrable systems of the intermediate long wave type in 2+1 dimensions Physica D: Nonlinear Phenomena, Volume 435, number 133310, 9 pp. (год публикации - 2022)
10.1016/j.physd.2022.133310

3. Ферапонтов Е.В., Павлов М.В. Kinetic equation for soliton gas: integrable reductions Journal of Nonlinear Science, volume 32, issue 2, number 26, 22 pp. (год публикации - 2022)
10.1007/s00332-022-09782-0

4. Берджави С., Ферапонтов Е.В., Кругликов Б., Новиков В.С. Second-Order PDEs in 3D with Einstein–Weyl Conformal Structure Annales Henri Poincaré, Volume 23, issue 7, pp. 2579 - 2609 (год публикации - 2022)
10.1007/s00023-021-01140-2

5. Адлер В.Э., Колесников М.П. Non-Abelian Toda lattice and analogs of Painlevé III equation Journal of Mathematical Physics, Volume 63, issue 101, number 103504, 12 pp. (год публикации - 2022)
10.1063/5.0091939

6. Сулейманов Б.И., Шавлуков А.М. О наследовании решениями уравнений движения изоэнтропического газа типичных особенностей решений линейного волнового уравнения Математические заметки, том 112, выпуск 4, страницы 625-640 (год публикации - 2022)
10.4213/mzm13583

Публикации

1. Кузнецова М.Н., Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. К задаче о классификации интегрируемых цепочек с тремя независимыми переменными Теоретическая и математическая физика, том 215, номер 2, страницы 242–268 (год публикации - 2023)
10.4213/tmf10403

2. Хабибуллин И.Т., Хакимова А.Р. О классификации нелинейных интегрируемых трехмерных цепочек при помощи характеристических алгебр Ли Теоретическая и математическая физика, том 217, номер 1, страницы 142–178 (год публикации - 2023)
10.4213/tmf10513

3. Ферапонтов Е.В., Опанасенко С. Linearizable Abel equations and theGurevich–Pitaevskii problem Studies in Applied Mathematics, Volume 150, Issue 3, Pages 607–628 (год публикации - 2023)
10.1111/sapm.12552

4. Гарифуллин Р.Н. Классификация полудискретных уравнений гиперболического типа. Случай симметрий третьего порядка Теоретическая и математическая физика, том 217, номер 2, страницы 404–415 (год публикации - 2023)
10.4213/tmf10512

5. Кузнецова М.Н. Построение локализованных частных решений цепочек с тремя независимыми переменными Теоретическая и математическая физика, том 216, номер 2, страницы 291–301 (год публикации - 2023)
10.4213/tmf10496

6. Адлер В.Э., Колесников М.П. Non-autonomous reductions of the KdV equation and multi-component analogs of the Painleve equations P_34 and P_3 Journal of Mathematical Physics, volume 64, paper 101505 (год публикации - 2023)
10.1063/5.0156409

7. Адлер В.Э. Negative flows and non-autonomous reductions of the Volterra lattice Open Communications in Nonlinear Mathematical Physics, Special Issue 1, pp 1–17 (год публикации - 2024)
10.46298/ocnmp.11597

8. Адлер В. Э. Bogoyavlensky Lattices and Generalized Catalan Numbers Russian Journal of Mathematical Physics, N 1, Vol. 31, pp 1-23 (год публикации - 2024)
10.1134/S106192084010011