КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 21-11-00131
НазваниеЭкстремальные задачи в теории ортогональных рядов, теории аппроксимации и комплексном анализе
Руководитель Кашин Борис Сергеевич, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва
Конкурс №55 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ
Ключевые слова поперечник, подматрица, операторная норма, дискретизация, ортонормированная система, тригонометрические ряды, суммы Вейля, преобразование Фурье, обобщенная монотонность, модули непрерывности, голоморфные отображения, неподвижные точки, области однолистности, жадные приближения
Код ГРНТИ27.25.00, 27.27.00, 27.39.00
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Первые постановки экстремальных задач относились еще к периоду зарождения математики как науки и были непосредственно связаны с практической деятельностью человека. Однако позднее вопросы об экстремальных значениях различных количественных характеристик или о достаточно точных их оценках возникают в большинстве областей математики, причем нередко относятся к наиболее естественным вопросам, удовлетворяющим общепринятым критериям красоты и значимости.
Настоящий проект посвящен решению некоторых экстремальных задач теории функций и функционального анализа. При этом значительное внимание планируется уделить возможным приложениям полученных результатов. Важно отметить, что в последние 10-15 лет прикладное значение ряда направлений в теории функций и функциональном анализе значительно возросло. Результаты, которые ранее оценивались как чисто теоретические, оказались востребованы практикой. Причиной этого было бурное развитие информатики и необходимость построения оптимальных алгоритмов способных обрабатывать сверхбольшие объемы информации.
Яркий пример здесь, непосредственно связанный с настоящим проектом, — «сжатые измерения» («compressed sensing»), быстро развивающееся направление в работе с данными, математической основой которого являются результаты из теории аппроксимации об оценках колмогоровских поперечников, полученные в Советском Союзе еще в 70-80 годы прошлого века. Сегодня этой теме посвящены десятки тысяч публикаций, а алгоритмы, основанные на «сжатых измерениях», широко внедрены в практику (к сожалению, не в России). Одну из важных составляющих для части этих алгоритмов — так называемые «жадные приближения», также планируется исследовать в рамках проекта.
Другой темой, важной как для теоретических вопросов, так и для приложений, является исследование подматриц с определенными экстремальными свойствами данной матрицы высокого порядка. Это направление, также возникшее в Советском Союзе в связи с не имеющими отношения к практике задачами о сходимости почти всюду ортогональных рядов, развилось в самостоятельную область функционального анализа. Результаты, полученные здесь, оказались востребованными в информатике при решении важных для практики задач о «спарсификации» графов (т.е. о замене большого графа его малым подграфом со сходными спектральными свойствами). Также они позволяют обеспечить ускорение классических алгоритмов решения систем линейных уравнений большой размерности. Участниками проекта в последние годы получен ряд важных результатов о подматрицах с экстремальными свойствами. Одна из задач проекта — всестороннее изучение этой темы.
Исследование свойств подматриц данной матрицы, описанное выше, непосредственно связано с еще одной темой, запланированной для изучения в рамках проекта, — дискретизацией функциональных систем. Классические результаты из теории тригонометрических рядов утверждают эквивалентность нормы тригонометрического многочлена степени N (в важнейших для теории и практики пространствах) и соответствующего дискретного аналога, вычисленного по значениям многочлена на равномерной сетке с числом узлов порядка N. В случае, когда вместо пространства тригонометрических многочленов рассматриваются другие важные конечномерные пространства функций, задача о нахождении сетки с возможно малым числом элементов по значениям функции, на которой можно достаточно точно оценить ее исходную норму, возникает в различных теоретических и прикладных вопросах, но оказывается гораздо сложнее.
Следующий круг экстремальных задач, планируемый для изучения в рамках проекта, относится к классической проблематике о сходимости одномерных и кратных тригонометрических рядов. Здесь требуется, используя аналитические методы, получить точные оценки одномерных и кратных тригонометрических многочленов но основе информации об их спектре и коэффициентах. В важном для приложений случае одномерных многочленов с полиномиальным спектром близкие к окончательным результаты были недавно получены участниками проекта.
Еще одно важное направление, планируемое для изучения в ходе проекта, относится к задачам, связанным с нахождением областей однолистности аналитических функций. Условия однолистности и области однолистности аналитических функций относятся к традиционно важным темам геометрической теории функций. Однолистность влечет целый ряд других геометрических и аналитических свойств функции. В приложениях однолистность часто связана с физической реализуемостью математической модели. Поэтому эта тема является актуальной и значимой как с теоретической, так и с практической точки зрения. В исследованиях по этой теме особую роль играют такие инварианты, как неподвижные точки отображения. Первые результаты о точной области однолистности на классе функций, отображающих единичный круг в себя и имеющих внутреннюю неподвижную точку, относятся к 20-м годам прошлого века. В дальнейшем было обнаружено, что у голоморфного отображения единичного круга в себя с двумя неподвижными точками (хотя бы одна из которых в нетривиальном случае должна быть на границе) возникают области однолистности при определенных значениях угловой производной в граничной неподвижной точке. Недавно участникам проекта удалось расширить область однолистности на классе функций с внутренней и граничной неподвижными точками и изучить вопрос о точности границ полученных областей однолистности.
Успех в решении этой задачи связан с обнаруженным участниками проекта эффективным проникновением методов действительного анализа в задачи теории функций комплексного переменного. В ходе проекта планируется получить окончательное решение экстремальной задачи о поиске области однолистности на указанном классе функций. Тем самым будет подведен определенный итог в современных исследованиях об областях однолистности и в то же время будут уточнены классические результаты.
Методы, которые необходимо привлечь для продвижения в задачах, запланированных для изучения в рамках настоящего проекта, весьма разнообразны. Помимо классического аппарата теории функций необходимо привлечение новейших методов из многомерной геометрии, теории вероятностей, комбинаторики, теории чисел, комплексного анализа. При этом использование готовых результатов недостаточно для достижения целей проекта. От участников проекта потребуется получить продвижение в задачах из указанных областей.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Публикации
1.
Солодов А.П.
The exact domain of univalence on the class of holomorphic maps of a disc into itself with an interior and a boundary fixed points
Izvestiya: Mathematics, Volume 85, Issue 5, Page 1008-1035 (год публикации - 2021)
10.1070/IM9053
2.
Кудрявцева О., Солодов А.
On the Boundary Dieudonne–Pick Lemma
Mathematics, Volume 9, Issue 10, Article Number 1108 (год публикации - 2021)
10.3390/math9101108
3.
Кудрявцева О.С.
Inequality of Schwarz Type for Holomorphic Self-Maps of a Disk with Fixed Points
Russian Mathematics, Volume 65, Issue 7, Page 35-42 (год публикации - 2021)
10.3103/S1066369X21070057
4.
Лимонова И.В.
Exact Discretization of the L2-Norm with Negative Weight
Mathematical Notes, Volume 110, Issue 3-4, Page 458-462 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621090157
5.
Солодов А.
Asymptotics of the Sum of a Sine Series with a Convex Slowly Varying Sequence of Coefficients
Mathematics, Volume 9, Issue 18, Article Number 2252 (год публикации - 2021)
10.3390/math9182252
6.
Дьяченко М.И.
Асимптотика сумм косинус-рядов с коэффициентами дробной монотонности
Математические заметки, Том 110, выпуск 6, страницы 865–874 (год публикации - 2021)
10.4213/mzm13180
7.
Кашин Б.С.
Об оценках снизу m-членных приближений в метрике дискретного пространства L^0_n
Успехи математических наук, Том 76, выпуск 5 (461), страницы 199–200 (год публикации - 2021)
10.4213/rm10026
8.
Белов А.С., Дьяченко М.И., Тихонов С.Ю.
Функции с обобщенно монотонными коэффициентами Фурье
Успехи математических наук, Том 76, выпуск 6 (462), страницы 3–70 (год публикации - 2021)
10.4213/rm10003
Публикации
1.
Кашин Б.С.
An observation on the Gram matrices of systems of uniformly bounded functions and a problem of Olevskii
Russian Mathematical Surveys, Volume 77, Issue 1, Pages 171-173 (год публикации - 2022)
10.1070/RM10045
2.
Кудрявцева О.С., Солодов А.П.
Теорема об обратных функциях на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя неподвижными точками
Успехи математических наук, Том 77, выпуск 1(463), страницы 187-188 (год публикации - 2022)
10.4213/rm10042
3.
Лимонова И., Темляков В.
On sampling discretization in L_2
Journal of Mathematical Analysis and Applications, Volume 515, Issue 2, Article Number 126457 (год публикации - 2022)
10.1016/j.jmaa.2022.126457
4.
Лимонова И.В.
О существовании плотных подсистем со свойством лакунарности в ортогональных системах
Успехи математических наук, Том 77, выпуск 5(467), страницы 191-192 (год публикации - 2022)
10.4213/rm10071
5.
Попов А.Ю., Солодов А.П.
Optimal Two-Sided Estimates on the Interval [π/2, π] of the Sum of the Sine Series with Convex Coefficient Sequence
Mathematical Notes, Vol. 112, Issue 2, Pages 328-331 (год публикации - 2022)
10.1134/S0001434622070380
6.
Кудрявцева О.С., Солодов А.П.
Generalization of the Landau and Becker–Pommerenke Inequalities
Doklady Mathematics, Vol. 106, Issue 1, Pages 251-253 (год публикации - 2022)
10.1134/S1064562422040111
7.
Валиуллин Ар.Р., Валиуллин Ал.Р., Солодов А.П.
Sharp sufficient condition for the convergence of greedy expansions with errors in coefficient computation
Demonstratio Mathematica, Vol. 55, Issue 1, Pages 254-264 (год публикации - 2022)
10.1515/dema-2022-0019
8.
Шкляев К.С.
Плотность полугруппы, порожденной проходящими че- рез нуль кривыми в банаховом пространстве
Математические заметки, Том 111, выпуск 2, страницы 316-320 (год публикации - 2022)
10.4213/mzm13364
9.
Горяйнов В.В., Кудрявцева О.С., Солодов А.П.
Итерации голоморфных отображений, неподвижные точки и области однолистности
Успехи математических наук, Том 77, выпуск 6(468), страницы 3-68 (год публикации - 2022)
10.4213/rm10072
Публикации
1.
Зайцева Т.И.
Multivariate tile B-splines
Izvestiya: Mathematics, Volume 87, Issue 2, Pages 284–325 (год публикации - 2023)
10.4213/im9296e
2.
Дьяченко М.И., Солодов А.П.
Asymptotics of Sums of Sine Series with Fractional Monotonicity Coefficients
Analysis Mathematica, Volume 49, Issue 1, Pages 67-77 (год публикации - 2023)
10.1007/s10476-023-0186-6
3.
Кудрявцева О.С., Солодов А.П.
Estimate of the Second Coefficient of Holomorphic Mappings of a Disk into Itself with Two Fixed Points
Mathematical Notes, Volume 113, Issue 5, Pages 694-699 (год публикации - 2023)
10.1134/S0001434623050085
4.
Дьяченко М.И., Оганесян К.А.
Counterexamples to the Hardy–Littlewood Theorem for Generalized Monotone Sequences
Mathematical Notes, Volume 113, Issue 3, Pages 458-463 (год публикации - 2023)
10.1134/S0001434623030161
5.
Дьяченко М.И., Тихонов С.Ю.
Piecewise General Monotone Functions and the Hardy–Littlewood Theorem
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, Volume 319, Pages 110–123 (год публикации - 2023)
10.1134/S0081543822050108
6.
Горяйнов В.В., Кудрявцева О.С., Солодов А.П.
Estimate for the Domain of Univalence in the Class of Holomorphic Self-Maps of a Disk with Two Boundary Fixed Points
Doklady Mathematics, Volume 108, Issue 1, Pages 326-330 (год публикации - 2023)
10.1134/S1064562423700874
7. Кудрявцева О.С., Солодов А.П. Точная область однолистного покрытия на классе голоморфных отображений круга в себя с внутренней и граничной неподвижными точками Математический сборник (год публикации - 2024)
8.
Кашин Б.С., Ромский Д.Г.
Эффективный алгоритм разложения вектора на два вектора с малой равномерной нормой
Математические заметки, Том 114, выпуск 6, страницы 945-948 (год публикации - 2023)
10.4213/mzm14132
9.
Кудрявцева О.С., Солодов А.П.
Область однолистности на классе голоморфных отображений круга в себя с двумя граничными неподвижными точками
Успехи математических наук, Том 78, выпуск 6, страницы 185–186 (год публикации - 2023)
10.4213/rm10152
10.
Оганесян К.А.
Bounds for the number of multidimensional partitions
European Journal of Combinatorics, V. 120, 103982 (год публикации - 2024)
10.1016/j.ejc.2024.103982