КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 21-11-00331

НазваниеГеометрические методы в гамильтоновой теории интегрируемых и почти интегрируемых систем

Руководитель Гриневич Петр Георгиевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №55 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова аномальные волны, интегрируемые системы, гамильтоновы возмущения, конечнозонное интегрирование, динамические системы на поверхностях Ферми, гамильтонова геометрия, уравнения ассоциативности, системы гидродинамического типа, алгебро-геометрические методы

Код ГРНТИ27.35.00

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
В настоящее время большое внимание привлекает задача исследования аномальных волн в нелинейных средах с использованием как аналитических, так и численных методов. В случае, когда мы имеем малые возмущения интегрируемых систем, сохраняется возможность использования аналитических методов, при этом существенно, является ли возмущение гамильтоновым и следовательно, консервативным, или нет. В последние годы был достигнут серьезный прогресс в построении аналитической теории аномальных волн в фокусирующем Нелинейном уравнении Шредингера, однако в физических приложения используются также и другие модели. Мы планируем распространение развитой теории как на другие физически важные интегрируемые модели, включая системы Манакова, систему Абловица-Ладика, уравнение Дэви-Стюардсона, так и на неинтегрируемые возмущения, в особенности гамильтоновы. Геометрия и топология поверхности Ферми является одной из ключевых характеристик электронного спектра и играет важнейшую роль при изучении огромного множества явлений в проводниках. Одной из важнейших задач при описании транспортных и термодинамических явлений в присутствии внешних полей является описание динамики электронов на поверхности Ферми в присутствии внешнего магнитного поля. Как можно показать, такая динамика может быть действительно крайне нетривиальной на поверхностях Ферми достаточной сложности, а геометрия траекторий соответствующей динамической системы может влиять самым существенным образом на наблюдаемые явления. При этом, хотя изучение соответствующих явлений представляет собой классическую область математики и физики, наиболее серьезные топологические результаты, относящиеся к описанию структуры динамических систем такого типа, были получены сравнительно недавно в топологической школе С.П. Новикова (С.П. Новиков, А.В. Зорич, С.П. Царев, И.А. Дынников и др.). В частности, в настоящее время получена полная классификация всех типов незамкнутых траекторий для описанных систем на поверхностях Ферми сколь угодно сложной формы, среди которых наиболее важную роль играет тип, соответствующий ``топологически интегрируемым'' случаям. Полная структура рассматриваемой системы (на диаграмме направлений внешнего поля или в более общем пространстве параметров) может быть при этом, однако, крайне нетривиальной и содержать крайне интересные множества, на которых происходит неограниченное усложнение топологически интегрируемых ситуаций, дающее в пределе хаотическое поведение траекторий. Как было показано в недавних работах соискателей, изучение множества изменений структуры описанных систем может являться, в частности, удобным инструментом восстановления дисперсионных соотношений в проводящих кристаллах. Надо сказать, однако, что дальнейшее изучение связи таких систем с аналитическим описанием дисперсионного соотношения несомненно должно привести к выявлению целого ряда новых закономерностей, поскольку возникающие структуры содержат огромное множество крайне интересных особенностей. Рассматриваемая задача является при этом крайне актуальной как с точки зрения развития новых математических методов, так и с прикладной точки зрения, в силу огромного разнообразия получаемых в настоящее время материалов, обладающих проводящими свойствами. Уравнения ассоциативности двумерных топологических квантовых теорий поля (уравнения Виттена-Дейкграфа-Верлинде-Верлинде или уравнения ВДВВ) являются областью активных современных исследований. Эти уравнения возникли в начале 90-х годов в работах по двумерной квантовой гравитации и двумерным топологическим квантовым теориям поля и в настоящее время играют фундаментальную роль не только в современной математической и теоретической физике, но и в современной математике, в частности, в теории фробениусовых многообразий, теории инвариантов Громова-Виттена, теории квантовых когомологий, в классических задачах исчислительной геометрии, теории подмногообразий, теории интегрируемых систем гидродинамического типа, теории особенностей, аналитической теории дифференциальных уравнений и в других областях математики. Теория уравнений ВДВВ активно разрабатывается начиная с замечательных работ Б.А.Дубровина начала 90-х годов, получено много важных результатов. Подход к уравнениям ассоциативности как к системам гидродинамического типа был предложен О.И.Моховым в 1994 году. В рамках проекта планируется изучить задачу о представлении уравнений ассоциативности в виде систем гидродинамического типа. В случае трех примарных полей уравнения ассоциативности представляются в виде интегрируемой трехкомпонентной недиагонализируемой системы гидродинамического типа с очень интересной и нетривиальной гамильтоновой геометрией, которая полностью пока не изучена. В случае четырех примарных полей уравнения ассоциативности представляются в виде двух коммутирующих интегрируемых шестикомпонентных недиагонализируемых систем гидродинамического типа, гамильтонова геометрия которых также очень интересна и изучена не полностью. В случае большего числа примарных полей такие представления не построены вообще, имеются только некоторые гипотезы о том, что такие представления должны быть и как они должны быть устроены. Мы планируем развить теорию представлений уравнений ассоциативности в виде коммутирующих одномерных интегрируемых систем гидродинамического типа для большего числа примарных полей и исследовать геометрию этих нелинейных интегрируемых систем. Это позволит развивать гамильтонову теорию уравнений ассоциативности для числа примарных полей больше четырех. Мы планируем также получить новые результаты о гамильтоновых и бигамильтоновых структурах уравнений ассоциативности, их дифференциальной геометрии, изучить новые гамильтоновы редукции уравнений ассоциативности. Кроме того, мы планируем развить алгебро-геометрические методы построения дифференциально-геометрических гамильтоновых структур и гамильтоновых уравнений гидродинамического типа.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---