КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 21-71-00119
НазваниеАдаптивные тензорные методы для дифференциальных уравнений в частных производных
Руководитель Рахуба Максим Владимирович, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва
Конкурс №60 - Конкурс 2021 года «Проведение инициативных исследований молодыми учеными» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-206 - Вычислительная математика
Ключевые слова тензорные разложения, уравнения в частных производных, уравнение Гросса-Питаевского, итерационные методы, риманова оптимизация, предобуславливание, теплицевы матрицы, циркулянтные матрицы
Код ГРНТИ27.41.15
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Дифференциальные уравнения в частных производных позволяют с высокой точностью моделировать сложные явления в науке и технике. При этом, если решение дифференциальных уравнений имеет некоторые особенности, например, точечные сингулярности, пограничные слои или сильно осциллирующие компоненты, то в таком случае для дискретизации задачи необходимо использовать очень мелкие сетки, что приводит к значительным вычислительным затратам. Существуют специальные методы, которые позволяют учитывают особенности решения в каждом конкретном случае для получения оптимальной дискретизации. Однако такие подходы обычно оказываются сложными в реализации и требовательными для конечного пользователя, который должен иметь как представление о самом методе, так и об аналитических свойствах решения задачи.
В предлагаемом проекте рассматривается альтернативный подход, в котором число эффективных степеней свободы для построения решения адаптируется к требуемой точности и особенностям задачи с помощью стандартных алгебраических процедур, таких как сингулярное разложение. Он базируется на современном методе тензорных разложений, которые позволяют приблизить числовые массивы в малопараметрическом виде. В контексте дифференциальных уравнений идея подхода заключается в следующем. Задача дискретизируется на достаточно мелкой сетке, чтобы описать все особенности решения с требуемой точностью. При этом, решение сразу ищется в сжатом тензорном представлении и никогда не формируется в виде полного массива.
Для ряда интересных на практике задач доказано экспоненциально быстрое убывание ошибки относительно эффективного числа степеней свободы в тензорном разложении приближенного решения. Однако задача создания надежных и эффективных алгоритмов поиска решений в тензорных форматах для мелких сеток и высоких точностей все еще является открытой. Таким образом, настоящий проект нацелен на создание устойчивых к ошибкам округлений и одновременно эффективных тензорных методов решения дифференциальных уравнений в частных производных. В частности, в проекте предлагается рассмотреть краевые задачи для уравнения второго порядка типа реакции-диффузии, а также задачи на собственные значения на примере уравнения Гросса-Питаевского.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ