КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 21-71-10070
НазваниеПрямые и обратные задачи позиционного управления наследственными системами
Руководитель Гомоюнов Михаил Игоревич, Кандидат физико-математических наук
Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики и механики им.Н.Н.Красовского Уральского отделения Российской академии наук , Свердловская обл
Конкурс №61 - Конкурс 2021 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем
Ключевые слова Оптимальное управление, дифференциальные игры, динамическая реконструкция, позиционные стратегии управления, наследственные системы, функционально-дифференциальные уравнения нейтрального типа, дифференциальные уравнения с производными дробного порядка, уравнения Гамильтона - Якоби, обобщенные решения.
Код ГРНТИ27.37.17
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Характерным свойством динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, является то, что их поведение в будущем однозначно определяется их текущим состоянием и никак не зависит от их поведения в прошлом, то есть от того, каким именно образом сложилось текущее состояние. Однако многие реальные процессы протекают согласно более сложным закономерностям, когда будущее зависит не только от настоящего, но и от прошлого. Математическое моделирование таких процессов приводит к понятию наследственных динамических систем. Основное внимание в проекте уделяется исследованию задач управления наследственными системами, эволюция которых описывается дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка и функционально-дифференциальными уравнениями нейтрального типа. Большинство работ в рамках данного направления, привлекающего в настоящее время интерес многих исследователей, сосредоточены на задачах стабилизации и оптимального управления с уклоном на разработку численных методов построения решений. Однако на практике процессы управления протекают обычно в условиях неопределенности, неконтролируемых помех со стороны окружающей среды или же под влиянием сознательного противодействия. В этой связи актуальными становятся, с одной стороны, (прямые) задачи об управлении с оптимальной гарантией результата, которые могут быть формализованы как дифференциальные игры, а с другой стороны, (обратные) задачи о динамическом восстановлении как траекторий системы, так и действующих в системе возмущений. Такие задачи для рассматриваемых классов наследственных динамических систем представляют собой относительно новую и практически не изученную область. Именно их исследованию и посвящен проект.
Отличительной особенностью проекта является использование в качестве общей базы для проведения исследований подходов и методов, разработанных в научной школе Н.Н. Красовского в рамках теории позиционных дифференциальных игр. В настоящее время основные элементы этой теории в наиболее полной мере развиты для обыкновенных дифференциальных систем и функционально-дифференциальных систем запаздывающего типа. Анализ этих исследований показывает, что привлечение и должная модификация методов конструирования позиционного управления, с одной стороны, позволяют получать фундаментальные теоретические результаты, а с другой – разрабатывать универсальные и эффективные методы решения задач, допускающие численную реализацию. Проект направлен на развитие позиционного подхода для новых и более общих классов наследственных систем – систем дробного порядка и систем нейтрального типа. Как и в случае систем запаздывающего типа, основная сложность здесь заключается в необходимости учета при формировании управления всей истории движения, сформировавшейся к текущему моменту времени. При этом особые свойства систем нейтрального типа и систем дробного порядка, существенно отличающие эти системы от систем запаздывающего типа, вносят ряд дополнительных сложностей как технического, так и принципиального характера.
При построении оптимальных позиционных стратегий в дифференциальных играх важную роль играют свойства величины цены игры (оптимального гарантированного результата управления). В дифференциальных играх для систем нейтрального типа и систем дробного порядка эта величина является функционалом, обладающим свойством неупреждаемости и определенным на некотором функциональном пространстве историй движения системы. Исследование инфинитезимальных свойств функционала цены игры приводит к уравнениям типа Гамильтона – Якоби особого вида. Такие уравнения относятся к классу наследственных уравнений Гамильтона – Якоби (в литературе также используются термины "функциональные" и "неупреждающие", в англоязычной литературе распространен термин "path-dependent Hamilton - Jacobi equations"). За последние годы интерес к таким уравнениям существенно возрос. При этом, поскольку такие уравнения, как правило, не имеют решения в классическом смысле, особое внимание уделяется изучению их обобщенных решений. Исторически первым для наследственных уравнений Гамильтона – Якоби был развит минимаксный подход к понятию обобщенного решения, однако сейчас исследования в этой области посвящены в основном изучению вязкостных решений. В рамках проекта планируется развить технику вязкостных решений для новых и более общих классов наследственных уравнений Гамильтона – Якоби, возникающих в задачах оптимального управления и дифференциальных играх для систем дробного порядка и для систем нейтрального типа. Такие уравнения являются мало изученными, имеют свои характерные особенности, требующие детального анализа и разработки принципиально новых подходов.
Естественным обобщением дифференциальных игр двух лиц являются дифференциальные игры со многими участниками. В проекте будут изучаться задачи конфликтного взаимодействия группы преследователей с одним или несколькими убегающими, в том числе с дополнительными фазовыми ограничениями, в случае, когда динамика каждого из участников описывается дифференциальными уравнениями с производными дробного порядка. Наилучшее решение задач сближения-уклонения доставляют стабильные предельно широкие мосты в фазовом пространстве. Однако эффективное построение таких максимальных стабильных мостов для исследования реальных управляемых процессов весьма затруднительно. В этой связи актуальной задачей становится построение мостов, не являющихся максимальными, но при этом обладающих свойством стабильности и дающих эффективно реализуемые позиционные процедуры управления. Проект направлен на разработку методов построения таких мостов для указанного класса конфликтно-управляемых процессов. При этом акцент будет сделан на получение достаточных условий разрешимости рассматриваемых задач в различных классах стратегий (позиционные, импульсные, кусочно-программные).
На практике использование позиционных законов управления осложняется тем, что численные характеристики отслеживаемых процессов всегда доступны с некоторой погрешностью или не все из них доступны для наблюдения. Эти обстоятельства в совокупности с возросшим в последнее время интересом исследователей к системам дробного порядка обуславливают важность и актуальность планируемых в рамках проекта исследований по созданию эффективных, работающих в темпе реального времени алгоритмов восстановления возмущений и неизвестных характеристик таких систем. Указанные задачи реконструкции формализуются в рамках теории динамического обращения. Методы этой теории, базирующиеся на конструкциях теории позиционного управления и методах решения некорректных задач, в настоящее время хорошо разработаны для детерминированных и стохастических обыкновенных дифференциальных систем, систем запаздывающего типа, систем с распределенными параметрами. В рамках проекта область применения методов динамического обращения будет расширена на системы дробного порядка.
Кроме того, в последнее время большое число сложных (многомерных, нелинейных, с неполной информацией) задач управления удается эффективно решать при помощи алгоритмов теории обучения с подкреплением с использованием искусственных нейронных сетей. При этом было экспериментально замечено, что зачастую такие задачи решаются более эффективно, если при позиционном управлении учитывать всю историю движения системы, а не только ее состояние в текущий момент времени. В проекте на базе полученных теоретических результатов планируется исследовать и развить современные алгоритмы обучения с подкреплением в приложении к рассматриваемым задачам позиционного управления для систем со сложной нелинейной и наследственной динамикой.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ