Нелинейная динамика: регулярные, сингулярные и численно-аналитические методы исследования распределенных систем

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 21-71-30011

НазваниеНелинейная динамика: регулярные, сингулярные и численно-аналитические методы исследования распределенных систем

Руководитель Кащенко Сергей Александрович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова" , Ярославская обл

Конкурс №53 - Конкурс 2021 года по мероприятию «Проведение исследований научными лабораториями мирового уровня в рамках реализации приоритетов научно-технологического развития Российской Федерации» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем

Ключевые слова нелинейная динамика, бифуркация, квазинормальные формы, гамильтоновы системы, аттрактор, сингулярные возмущения, мультистабильность, хаос

Код ГРНТИ27.29.23

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен разработке оригинальных методов исследования сложной динамики в нелинейных гамильтоновых системах, а также в нелинейных системах с запаздыванием, в системах параболического и гиперболического типов, системах с дискретным временем и применению соответствующих результатов для решения фундаментальных проблем важных классов прикладных задач лазерной физики, биофизики, синергетики и др. Разрабатываются новые эффективные методы аналитического и численно-аналитического изучения нерегулярных колебаний, мультистабильности и хаоса для систем с бесконечномерным фазовым пространством. В ходе работ по проекту ожидаются следующие результаты: 1) Асимптотические методы исследования локальной динамики нелинейных систем с большим запаздыванием, включая модели оптических информационных систем, радиофизических и оптоэлектронных систем. 2) Будут классифицированы основные бесконечномерные критические случаи и построены для них универсальные нормализованные эволюционные уравнения. 3) Методы локального анализа контрастных структур. 4) Будет изучена динамика задач с большим коэффициентом управления запаздывающего и пространственно распределенного типов. 5) Асимптотические методы исследования нелокальных релаксационных режимов сингулярно возмущенных параболических систем и систем с запаздыванием. 6) Будет исследовано явление сверхпередачи в физических системах, моделируемых одномерными и двумерными гамильтонианами, состоящими из большого числа частиц с локальными потенциалами и глобальными (дальнодействующими) взаимодействиями. 7) Новые эффективные методы для прогнозирования распространения длинных волн в водоеме, в том числе волн цунами. 8) Будут подготовлены высококвалифицированные специалисты, владеющие современными методами математического моделирования, включая решение сложных вычислительных задач на суперкомпьютерах. Важность исследования сингулярно возмущенных задач с большим запаздыванием, волновых уравнений с большой пространственной областью определения, либо малой диффузией обусловлена такими современными задачами, как использование био- и нанотехнологий; поиск инновационных методов хранения, передачи и обработки информации в динамическом виде; моделирование когнитивных процессов человеческого мозга; задачи искусственного интеллекта и т.д.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Бунтис Т., Жунусова Ж., Досмагулова К., Канеллопулос Г. Integrable and non-integrable Lotka-Volterra systems Physics Letters A, Volume 402, 127360 (год публикации - 2021)
10.1016/j.physleta.2021.127360

2. Кащенко С.А., Толбей А.О. New Irregular Solutions in the Spatially Distributed Fermi–Pasta–Ulam Problem Mathematics, 9(22), 2872 (год публикации - 2021)
10.3390/math9222872

3. Глызин С. Д., Колесов А. Ю. О некоторых модификациях отображения «кот Арнольда» Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления., № 5. Т. 500. С. 26–30. (год публикации - 2021)
10.31857/S2686954321050064

4. Козлов В.В. Integrals of Circulatory Systems Which are Quadratic in Momenta Regular and Chaotic Dynamics, vol. 26, no. 6, pp. 647-657 (год публикации - 2021)
10.1134/S1560354721060046

5. Козлов В.В. СИМПЛЕКТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ ОПЕРАТОРА КУПМАНА Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, T. 499, № 1, стр. 20-25 (год публикации - 2021)
10.31857/S268695432104010X

6. Козлов В.В. К ЗАДАЧЕ О РАЗДЕЛЕНИИ ПЕРЕМЕННЫХ В СИСТЕМАХ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ Дифференциальные уравнения, Т. 57, № 10, с. 1325-1332 (год публикации - 2021)
10.31857/S0374064121100046

7. Кащенко С.А. Dynamics of Spatially Distributed Chains of Coupled Systems of Equations in a Two-Dimensional Domain Mathematical Notes, Vol. 110, No. 5, pp. 715–725 (год публикации - 2021)
10.1134/S0001434621110079.

8. Кащенко С.А. LOCAL DYNAMICS OF A CHAIN OF COUPLED VAN DER POL EQUATIONS Radiophysics and Quantum Electronics, Vol. 63, No. 9–10, P. 776-785 (год публикации - 2021)
10.1007/s11141-021-10095-7

9. Бунтис Тассос, Калудис К., Шена Дж., Скокос Х. и Спитас Х. Energy Transport in 1-Dimensional Oscillator Arrays With Hysteretic Damping European Physical Journal. Special Topics (год публикации - 2022)

10. Доброхотов С.Ю., Миненков Д.С., Назайкинский В.Е. Об асимптотических решениях задачи Коши для нелинейной системы уравнений мелкой воды в бассейне с пологими берегами Russian Journal of Mathematical Physics (год публикации - 2022)

11. Ишбулатов Ю.М., Симонян М.А., Караваев А.С., Киселев А.Р., Гриднев В.И. Уменьшение спектральной плотности интервалов сердечных сокращений в низкочастотном диапазоне у пациентов с артериальной гипертензией в математической модели кровообращения Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия: Физика, Т. 21, вып. 4. С. 363–371 (год публикации - 2021)
10.18500/1817-3020-2021-21-4-363-371

12. Кащенко С.А. Local Dynamics of Two-Component Parabolic Systems of Schroedinger Type Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 28, No. 4, pp. 501–513 (год публикации - 2021)
10.1134/S1061920821040087

13. Преображенская М.М. Antiphase mode in a Pair of Mackey–Glass Type Generators with Two Delays IFAC-PapersOnLine, 54-17, 145-148 (год публикации - 2021)
10.1016/j.ifacol.2021.11.040

14. Кащенко А.А. ЗАВИСИМОСТЬ ДИНАМИКИ МОДЕЛИ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ ОТ ЧИСЛА ОСЦИЛЛЯТОРОВ Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, Т. 501, стр. 46–51 (год публикации - 2021)
10.31857/S2686954321060096

15. Голубенец В.О., Кащенко И.С. Локальная динамика сингулярно возмущенного уравнения второго порядка с запаздыванием, зависящим от состояния Математические заметки (год публикации - 2022)

16. Кащенко С.А. Dynamics of a Chain of Logistic Equations with Delay and Antidiffusive Coupling Doklady Mathematics, Vol. 105, no. 1, P. 18–22 (год публикации - 2022)
10.1134/S1064562422010069

17. Кащенко С.А. Infinite-Dimensional Bifurcations in Spatially Distributed Delay Logistic Equation Mathematics, Vol. 10, no. 5. P. 775 (год публикации - 2022)
10.3390/math10050775

18. Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Локальная динамика модели цепочки лазеров с оптоэлектронной запаздывающей однонаправленной связью Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, Т. 30, № 2, С. 189-207 (год публикации - 2022)
10.18500/0869-6632-2022-30-2-189-207

19. Григорьева Е. В., Кащенко С. А. Quasi-Normal Form for a Ring Model of Pump-Coupled Lasers Nonlinear Phenomena in Complex Systems, Vol. 25, no. 1, P. 58-66 (год публикации - 2022)
10.33581/1561-4085-2021-25-1-58-66

20. Кащенко С.А., Плышевская С.П., Толбей А.О. On the Question of Hunting Optimization Nonlinear Phenomena in Complex Systems, Vol. 25, no. 2. P. 197-202 (год публикации - 2022)
10.33581/1561-4085-2022-25-2-197-202

21. Кащенко С.А. Quasinormal Forms for Chains of Coupled Logistic Equations with Delay Mathematics, Vol. 10, no. 15, P. 2648 (год публикации - 2022)
10.3390/math10152648

22. Кащенко С.А. Asymptotics of the Relaxation Cycle in the Modified Logistic Equation with Delay Mathematical Notes, Vol. 112, no. 1, P. 154–158 (год публикации - 2022)
10.1134/S0001434622070173

23. Назайкинский В.Е. Об эллиптическом операторе, вырождающемся на границе области Функциональный анализ и его приложения, том 56, выпуск 4, 109–112 (год публикации - 2022)
10.4213/faa3984

24. Константину Ризос Сотириос Noncommutative solutions to Zamolodchikov’s tetrahedron equation and matrix six-factorisation problems Physica D: Nonlinear Phenomena, 440, 133466 (год публикации - 2022)
10.1016/j.physd.2022.133466

25. Аникин А.Ю., Доброхотов С.Ю., Носиков И.А. Либрации с большими периодами в туннелировании: эффективное вычисление и приложение к тригональным димерам Теоретическая и математическая физика, 213:1, 163-190 (год публикации - 2022)
10.4213/tmf10332

26. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Критерий гиперболичности одного класса диффеоморфизмов на бесконечномерном торе Матем. сб., том 213, номер 2, 50–95 (год публикации - 2022)
10.4213/sm9535

27. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Элементы гиперболической теории на бесконечномерном торе УМН, том 77, выпуск 3(465), 3–72 (год публикации - 2022)
10.4213/rm10058

28. Глызин Д.С., Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Охота на химер в полносвязных сетях нелинейных осцилляторов Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, том 30, выпуск 2, 152–175 (год публикации - 2022)
10.18500/0869-6632-2022-30-2-152-175

29. Ковалёв И.А., Сатин Я.А., Синицина А.В., Зейфман А.И. Об одном подходе к оцениванию скорости сходимости нестационарных марковских моделей систем обслуживания Информатика и её применения, Т. 16, вып. 3, с. 75-82 (год публикации - 2022)
10.14357/19922264220310

30. Козлов В.В. On the Integrability of Circulatory Systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 27, No. 1, pp. 11-17. (год публикации - 2022)
10.1134/S1560354722010038

31. Нестеров П.Н. On oscillation of solutions of scalar delay differential equation in critical case Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations, No. 59, 1–31 (год публикации - 2022)
10.14232/ejqtde.2022.1.59

32. Масиас-Диас Х.Э., Бунтис Т. An Efficient Dissipation-Preserving Numerical Scheme to Solve a Caputo–Riesz Time-Space-Fractional Nonlinear Wave Equation Fractal and Fractional, 6, 500 (год публикации - 2022)
10.3390/fractalfract6090500

33. Бунтис Т., Брениг Л. Comparison between the QP formalism and the Painleve property in integrable dynamical systems Theoretical and Mathematical Physics, 212(2): 1033–1043 (год публикации - 2022)
10.1134/S0040577922080013

34. Игонин С., Константину-Ризос С. Algebraic and differential-geometric constructions of set-theoretical solutions to the Zamolodchikov tetrahedron equation Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 55 (2022), 405205 (29pp) (год публикации - 2022)
10.1088/1751-8121/ac90ff

35. Игонин С.А. Set-theoretical solutions of the Zamolodchikov tetrahedron equation on associative rings and Liouville integrability Theoretical and Mathematical Physics, 212(2), 1116–1124 (год публикации - 2022)
10.1134/S0040577922080074

36. Кащенко С.А. Infinite Turing Bifurcations in Chains of Van der Pol Systems Mathematics, 10(20), 3769 (год публикации - 2022)
10.3390/math10203769

37. Кащенко С.А. Квазинормальные формы в задаче о колебаниях пешеходных мостов Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, Т. 506, с. 49-53 (год публикации - 2022)
10.31857/S2686954322050113

38. Кащенко С.А., Толбей А.О. Relaxation cycles in the generalized logistic equation with delay Nonlinear Phenomena in Complex Systems (год публикации - 2022)

39. Глызин С.Д., Марушкина Е.Д. Алгоритмы асимптотического и численного построения колебательных режимов в простейшем кольце генераторов с несимметричной нелинейностью Моделирование и анализ информационных систем (год публикации - 2023)

40. Кащенко И.С. Endless Process of Bifurcations in Delay Differential Equations International Journal of Bifurcation and Chaos, Vol. 32, No. 13, 2250193 (год публикации - 2022)
10.1142/S0218127422501930

41. Кащенко И.С., Глушевский Е.М. Локальная динамика уравнения с периодически распределенным запаздыванием Теоретическая и математическая физика, Том 212, № 2 (год публикации - 2022)
10.4213/tmf10274

42. Тассос Бунтис, Хорхе Э. Масиас-Диас The Effect of On-Site Potentials on Supratransmission in One-Dimensional Hamiltonian Lattices Entropy, 25, 423 (год публикации - 2023)
10.3390/e25030423

43. Кащенко А.А., Кащенко С.А. Relaxation Oscillations in the Logistic Equation with Delay and Modified Nonlinearity Mathematics, 11, 1699 (год публикации - 2023)
10.3390/math11071699

44. Кащенко И.С., Кащенко С.А. LOCAL DYNAMICS OF THE MODEL OF A SEMICONDUCTOR LASER WITH DELAY Theoretical and Mathematical Physics, 2, 215, 658–666 (год публикации - 2023)

45. Кащенко С.А. Asymptotics of Relaxation Cycles in the Generalized Logistic Delay Equation Differential Equations, 59, 4, 572–575 (год публикации - 2023)
10.1134/S0012266123040122

46. Кащенко С.А. Asymptotics of Regular and Irregular Solutions in Chains of Coupled van der Pol Equations Mathematics, 11, 2047 (год публикации - 2023)
10.3390/math11092047

47. Кащенко С.А., Толбей А.О. Bifurcations in the Logistic Equation with Diffusion and Delay in the Boundary Condition Mathematical Notes, No. 6, Vol. 113, pp. 869–873 (год публикации - 2023)
10.1134/S0001434623050292

48. Кащенко С.А. Dynamics of Chains of Many Oscillators with Unidirectional and Bidirectional Delay Coupling Computational Mathematics and Mathematical Physics, Vol. 63, No. 10, pp. 1817–1836 (год публикации - 2023)
10.1134/S0965542523090105

49. Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Bifurcations in the Logistic Equation with Diffusion and Delay in the Boundary Condition Optics Communications, Vol. 545, p. 129688 (год публикации - 2023)
10.1016/j.optcom.2023.129688

50. Кащенко С.А. Динамика полносвязных цепочек из большого количества осцилляторов с большим запаздыванием в связях Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, Т. 31, № 4, с. 523-542 (год публикации - 2023)
10.18500/0869-6632-003054

51. Козлов В.В. Неустойчивость равновесий в соленоидальном силовом поле Математические заметки, Т. 113, вып. 2, с. 207-216 (год публикации - 2023)
10.4213/mzm13884

52. Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А., Толбей А.О. Bifurcations in a Distributed Logistic Equation with Delay and a Degenerate Diffusion Operator Nonlinear Phenomena in Complex Systems, vol. 26, no. 1, pp. 68-71 (год публикации - 2023)
10.33581/1561-4085-2023-26-1-68-71

53. Константину-Ризос Сотириос Birational solutions to the set-theoretical 4-simplex equation Physica D: Nonlinear Phenomena, Vol. 448, p. 133696 (год публикации - 2023)
10.1016/j.physd.2023.133696

54. Ротос В.М., Милонас И.К., Бунтис Т. DISSIPATIVE SOLITON DYNAMICS OF THE LANDAU–LIFSHITZ–GILBERT EQUATION Theoretical and Mathematical Physics, Vol. 215, No. 2, pp. 622–635 (год публикации - 2023)
10.1134/S0040577923050033

55. Бунтис Т., Калудис К., Христодулиди Х. Dynamics and Statistics of Weak Chaos in a 4-D Symplectic Map Chaos, Fractals and Complexity, Springer Proceedings in Complexity, Springer, Chaos, Fractals and Complexity, pp. 109–121 (год публикации - 2023)
10.1007/978-3-031-37404-3_7

56. Клековкин А.В., Караваев Ю.Л., Килин А.А., Назаров А.В. Влияние хвостовых плавников на скорость водного робота, приводимого в движение внутренними подвижными массами Компьютерные исследования и моделирование (год публикации - 2023)

57. Глызин С. Д., Колесов А. Ю. О топологически перемешивающих диффеоморфизмах на бесконечномерном торе Математические заметки, Математические заметки, Т. 113, № 6, С. 929--934 (год публикации - 2023)
10.4213/mzm13895

58. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОТОБРАЖЕНИЯ СДВИГА НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНОМ ТОРЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, Т. 59, № 7, 2023, с. 876-880 (год публикации - 2023)
10.31857/S0374064123070014

59. Полехин И.Ю. Тополого-аналитический метод доказательства теорем об усреднении на бесконечном интервале времени в вырожденном случае Труды МИАН, T. 322, c. 195–205 (год публикации - 2023)
10.4213/tm4345

60. Доброхотов С.Ю., Назайкинский В.Е., Цветкова А.В. Нелинейные эффекты и заплеск береговых волн, порожденных бильярдами с полужесткими стенками, в рамках теории мелкой воды Труды МИАН, Т. 322, с. 111–123 (год публикации - 2023)
10.4213/tm4330

61. Козлов В.В. О неустойчивости в системах с интегральным инвариантом Дифференциальные уравнения, Т. 58, № 10, с. 1431-1435 (год публикации - 2022)
10.31857/S0374064122100119

62. Клековкин А.В., Караваев Ю.Л., Мамаев И.С. The control of an aquatic robot by a periodic rotation of the internal flywheel Russian Journal of Nonlinear Dynamics (год публикации - 2023)

63. Носиков И.А., Толченников А.А., Клименко М.В. Краевая задача о расчете лучевых характеристик океанических волн, отраженных от береговой линии Журнал вычислительной математики и математической физики (год публикации - 2023)

64. Алексеев В.В., Преображенская М.М. Анализ асимптотической сходимости периодического решения уравнения Мэки–Гласса к решению предельного релейного уравнения Теоретическая и математическая физика, Том 220, № 2 август, 2024 (год публикации - 2024)
10.4213/tmf10690

65. Игонин С.А. Simplifications of Lax pairs for differential–difference equations by gauge transformations and (doubly) modified integrable equations Partial Differential Equations in Applied Mathematics, Vol. 11, 100821 (год публикации - 2024)
10.1016/j.padiff.2024.100821

66. Погребняк M.А. Моделирование движения транспортного потока на участках с различными скоростными режимами Теоретическая и математическая физика, Том 220, № 2 (год публикации - 2024)
10.4213/tmf10683

67. Григорьева Е.В., Кащенко С.А. Antiphase and in-phase dynamics in laser chain models with delayed bidirectional couplings Physica D: Nonlinear Phenomena, 467, 134223 (год публикации - 2024)
10.1016/j.physd.2024.134223

68. Козлов В.В. Solvable algebras and integrable systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 5, pp. 717–727 (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724520022

69. Нестеров П.Н., Ставрулакис Д.И. Triple equivalence of oscillatory behavior for scalar delay differential equations Theoretical and Mathematical Physics, 220(1): 1157–1177 (год публикации - 2024)
10.1134/S0040577924070080

70. Кащенко С.А. Chains with Diffusion-Type Couplings Contaning a Large Delay Mathematical Notes, Vol. 115, No. 3, pp. 323–335 (год публикации - 2024)
10.1134/S0001434624030040

71. Кащенко И.С., Кащенко С.А., Маслеников И.Н. Stability of Solutions to the Logistic Equation with Delay, Diffusion, and Nonclassical Boundary Conditions Doklady Mathematics, Volume 109, pages 275–281 (год публикации - 2024)
10.1134/S1064562424702132

72. Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А. Wave propagation in the Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov–Fischer equation with time delay and spatial deviation Partial Differential Equations in Applied Mathematics, Volume 11, 100855 (год публикации - 2024)
10.1016/j.padiff.2024.100855

73. Алексеев В.В. Two-cluster synchronization in a fully coupled network of Mackey–Glass generators Partial Differential Equations in Applied Mathematics, Vol. 12, 100930 (год публикации - 2024)
10.1016/j.padiff.2024.100930

74. Доброхотов С.Ю., Носиков И.А., Толченников А.А. вычислении в окрестности береговой линии амплитуд длинных нелинейных волн, порожденных локализованным источником, на основе вариационного принципа Ферма Russian Journal of Mathematical Physics (год публикации - 2025)

75. Кащенко С.А., Толбей А.О. Квазинормальные формы для систем двух уравнений с большим запаздыванием Известия вузов. ПНД, T. 32, № 6. С. 781–795 (год публикации - 2024)
10.18500/0869-6632-003135

76. Кащенко С.А. Asymptotics of Self-Oscillations in Chains of Systems of Nonlinear Equations Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 1, pp. 218–240. (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724010143

77. Кащенко С.А. Chains with Connections of Diffusion and Advective Types Mathematics, 12, 790 (год публикации - 2024)
10.3390/math12060790

78. Кащенко С.А. Logistic Equation with Long Delay Feedback Differential Equations, Vol. 60, No. 2, pp. 145–151 (год публикации - 2024)
10.1134/S0012266124020010

79. Константину-Ризос Сотириос Electric network and Hirota type 4-simplex maps Journal of High Energy Physics, Volume 2024, article number 94 (год публикации - 2024)
10.1007/JHEP06(2024)094

80. Полехин И.Ю. Замечания о вынужденных колебаниях на многообразиях Труды Математического института им. В.А. Стеклова (год публикации - 2024)

81. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Критерий конусов на бесконечномерном торе Известия Российской академии наук. Серия математическая, Том 88, № 6, стр. 82–117 (год публикации - 2024)
10.4213/im9548

82. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Симметричная гиперболическая ловушка Математические заметки, том 116, выпуск 3, страницы 372–387 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14189

Публикации

30. Козлов В.В. On the Integrability of Circulatory Systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 27, No. 1, pp. 11-17. (год публикации - 2022)
10.1134/S1560354722010038

36. Кащенко С.А. Infinite Turing Bifurcations in Chains of Van der Pol Systems Mathematics, 10(20), 3769 (год публикации - 2022)
10.3390/math10203769

38. Кащенко С.А., Толбей А.О. Relaxation cycles in the generalized logistic equation with delay Nonlinear Phenomena in Complex Systems (год публикации - 2022)

68. Козлов В.В. Solvable algebras and integrable systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 5, pp. 717–727 (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724520022

77. Кащенко С.А. Chains with Connections of Diffusion and Advective Types Mathematics, 12, 790 (год публикации - 2024)
10.3390/math12060790

78. Кащенко С.А. Logistic Equation with Long Delay Feedback Differential Equations, Vol. 60, No. 2, pp. 145–151 (год публикации - 2024)
10.1134/S0012266124020010

Публикации

30. Козлов В.В. On the Integrability of Circulatory Systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 27, No. 1, pp. 11-17. (год публикации - 2022)
10.1134/S1560354722010038

36. Кащенко С.А. Infinite Turing Bifurcations in Chains of Van der Pol Systems Mathematics, 10(20), 3769 (год публикации - 2022)
10.3390/math10203769

38. Кащенко С.А., Толбей А.О. Relaxation cycles in the generalized logistic equation with delay Nonlinear Phenomena in Complex Systems (год публикации - 2022)

68. Козлов В.В. Solvable algebras and integrable systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 5, pp. 717–727 (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724520022

77. Кащенко С.А. Chains with Connections of Diffusion and Advective Types Mathematics, 12, 790 (год публикации - 2024)
10.3390/math12060790

78. Кащенко С.А. Logistic Equation with Long Delay Feedback Differential Equations, Vol. 60, No. 2, pp. 145–151 (год публикации - 2024)
10.1134/S0012266124020010

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Представлен класс модернизированных уравнений Камасса-Холма, который существенно обобщает классическое уравнение Камасса-Холма и сохраняет ряд его основополагающих свойств. Рассмотрено поведение так называемых регулярных решений в малых окрестностях состояний равновесия. Приведены асимптотические формулы для семейств периодических по времени решений и конечномерных торов. Исследован вопрос о построении в окрестности состояний равновесия нормализованных уравнений, играющих роль нормальных форм. Решена задача о компактной записи таких бесконечномерных систем в виде нелинейного уравнений в частных производных. Для системы из двух уравнений с запаздыванием выделены критические случаи в задаче об устойчивости состояния равновесия. Показано, что эти критические случаи имеют бесконечную размерность. В каждом из них построены квазинормальные формы, нелокальная динамика которых определяет асимптотическое поведение решений исходной системы в окрестности состояния равновесия. Квазинормальными формами являются краевые задачи типа Гинзбурга–Ландау. Структура решений в полученных квазинормальных формах, а значит, и в исходной системе, может быть достаточно сложной. Во многих случаях квазинормальные формы содержат “внутренний” параметр, который бесконечно много раз пробегает значения от 0 до 1 при стремлении к нулю малого параметра. Это говорит о высокой чувствительности динамических свойств исходной системы к изменению ее параметров. Для логистического уравнения с запаздыванием и диффузией выделены критические случаи в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия. В случаях близких к критическим исследовано поведение решений из малой окрестности нулевого решения. Построены специальные нелинейные комплексные уравнения, которые играют роль нормальных форм. Их решения позволили определить функции, удовлетворяющие исходной краевой задаче с высокой степенью точности. Исследована зависимость параметров нормальной формы от коэффициентов, содержащихся в граничных условиях. В пространственно распределенных интегро-дифференциальных системах уравнений с периодическими граничными условиями рассмотрены простейшие критические случаи нулевых и чисто мнимых собственных значений в задаче об устойчивости нулевого состояния равновесия. Построены квазинормальные формы, для которых найдены условия существования и устойчивости кусочно-постоянных решений. На бесконечномерном торе, введенном авторами, рассмотрен специальный класс диффеоморфизмов. Этот класс состоит из отображений на торе, для которых дифференциалы прямого и обратного отображений равномерно ограничены и равномерно непрерывны. Для данных диффеоморфизмов устанавливается справедливость классического результата конечномерной гиперболической теории, так называемого критерия конусов. Решена задача о так называемой гиперболической ловушке. Авторами найдены достаточные условия, при выполнении которых некоторая область инвариантная относительно диффеоморфизма $f$ представляет собой гиперболическую ловушку. Это означает, что любое подмножество $A$ из $U$, такое, что $f(A)=A,$ автоматически является гиперболическим множеством диффеоморфизма $f$. Доказана теорема о приведении n независимых векторных полей, порождающих n-мерную разрешимую алгебру Ли, к каноническому виду, с помощью которого интегрируются в явной форме n дифференциальных уравнений, которые задаются этими полями. Доказана общая теорема об интегрируемости в квадратурах n гамильтоновых систем с гамильтонианами H_1,..., H_n, порождающими разрешимую алгебру Ли относительно скобки Пуассона, при условии, что известны еще n независимых функций. Разработан тополого-аналитический метод, обобщающий классический метод малого параметра, используемый, например, для доказательства существования периодических решений. Тополого-аналитический подход к таким задачам позволяет доказывать утверждения в существенно вырожденных случаях, когда использование теоремы о неявной функции становится невозможным. Рассмотрена задача о малом периодическом возмущении геодезического потока на римановом многообразии. Если возмущение отсутствует, то система обладает целым многообразием неизолированных положений равновесия (нулевое сечение касательного расслоения). Показано, что на любом компактном многообразии с ненулевой эйлеровой характеристикой малое периодическое возмущение порождает вынужденное колебание того же периода. С помощью принципа Мопертюи-Якоби и вариационного принципа Ферма построен быстрый алгоритм численно и графически реализующий аналитические формулы для асимптотические решений уравнений Гельмгольца с локализованной правой частью, учитывающий в задачах наличие области тени, фокальных точек и каустик. Представления Лакса (включая пары Лакса) и преобразования Дарбу на основе матриц Дарбу принадлежат к числу основных инструментов в теории интегрируемых систем. Семейство уравнений n-симплексов (для натурального n>1) относится к ряду фундаментальных объектов математической физики. В рамках проекта разработаны методы построения теоретико-множественных решений уравнений n-симплексов, получены новые решения такого типа. Также разработан метод упрощения матричных дифференциально-разностных пар Лакса с помощью калибровочных преобразований для систем уравнений на вектор-функцию, имеющую любое (конечное) число компонент, и исследован вопрос о том, как из таких пар Лакса получать новые нелинейные интегрируемые системы на вектор-функцию, имеющую более одной компоненты, с помощью дискретных подстановок. Исследованы локальные и нелокальные периодические решения систем двух нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием, регулярно зависящих от малого параметра. Ключевым предположением исследования являлось то, что нелинейность в системах финитная. Локальная динамика в окрестности состояний равновесия изучена стандартными бифуркационными методами. С помощью специального метода большого параметра вопрос о существовании нелокальных циклов исходных бесконечномерных систем сведен к изучению динамики специальных построенных одномерных отображений. Исследовано поведение решений построенных отображений. В результате построена асимптотика нелокальных циклов исходных систем. Изучена устойчивость всех исследуемых периодических решений. Показано сосуществование устойчивых локальных и нелокальных циклов. Кроме того, показано, что для различных определений финитности у нелинейных функций обратной связи, динамические свойства исследуемых систем будут различными. Разработана модель, учитывающая предсказание движения впередиидущего автомобиля. Программный комплекс был усовершенствован за счет добавления новых сценариев моделирования транспортных ситуаций.

Публикации

30. Козлов В.В. On the Integrability of Circulatory Systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 27, No. 1, pp. 11-17. (год публикации - 2022)
10.1134/S1560354722010038

36. Кащенко С.А. Infinite Turing Bifurcations in Chains of Van der Pol Systems Mathematics, 10(20), 3769 (год публикации - 2022)
10.3390/math10203769

38. Кащенко С.А., Толбей А.О. Relaxation cycles in the generalized logistic equation with delay Nonlinear Phenomena in Complex Systems (год публикации - 2022)

68. Козлов В.В. Solvable algebras and integrable systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 5, pp. 717–727 (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724520022

77. Кащенко С.А. Chains with Connections of Diffusion and Advective Types Mathematics, 12, 790 (год публикации - 2024)
10.3390/math12060790

78. Кащенко С.А. Logistic Equation with Long Delay Feedback Differential Equations, Vol. 60, No. 2, pp. 145–151 (год публикации - 2024)
10.1134/S0012266124020010

Возможность практического использования результатов
1. Изучение конструкций мобильных роботов, которые движутся в жидкой среде исключительно за счет перемещения своих внутренних элементов, а также разработка и поиск новых методов управления такими устройствами создают научную и технологическую базу для решения ряда задач, среди которых могут быть: мониторинг различных параметров в агрессивных жидких средах (например, в условиях техногенных катастроф), исследование глубоководных характеристик окружающей среды, а также использование в биологических средах, где стандартные подводные аппараты с гребными винтами могут нанести вред. Благодаря тому, что такие роботы создают значительно меньший гидроакустический след по сравнению с традиционными винтовыми устройствами, их можно применять в задачах, где это является важным. 2. Разработанный алгоритм оценки старшего показателя Ляпунова, обеспечивающий минимальную дисперсию в случаях анализа кардиологических данных, развивает методы диагностики социально-значимых заболеваний, в том числе артериальной гипертензии, по неинвазивным данным вариабельности ритма сердца, регистрация которых может осуществляться, в том числе, широко доступными, носимыми коммерческими устройствами (смарт-часы, фитнес-браслеты). Полученные результаты формируют научный задел, необходимый для создания цифровых двойников системы кровообращения, перехода к персонализированной медицине и высокотехнологичному здравоохранению.