Аналитические и геометрические задачи теории меры

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00015

НазваниеАналитические и геометрические задачи теории меры

Руководитель Богачев Владимир Игоревич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова Мера, гауссовская мера, слабая сходимость мер, исчисление Маллявэна, задача Канторовича, задача Монжа, уравнение Фоккера-Планка-Колмогорова

Код ГРНТИ27.25.17

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект посвящен широкому комплексу проблем теории меры аналитического и геометрического характера, в том числе относящихся к геометрии и топологии пространств мер, различным видам сходимости мер и преобразованиям мер, связанным с оптимизационными задачами и уравнениями Фоккера - Планка - Колмогорова для мер. Такое исследование весьма актуально для общей теории меры, бесконечномерного анализа (включая теорию дифференциальных уравнений с частными производными на бесконечномерных пространствах), теории вероятностей и стохастического анализа (как конечномерного, так и бесконечномерного), теории оптимальной транспортировки, а также разнообразных приложений в математической физике, статистике и математической экономике. В проекте речь идет о некоторых конкретизациях этой весьма широкой и многогранной проблематики применительно к комплексу задач аналитической теории меры, связанных с исследованием дифференциальных свойств мер на конечномерных и бесконечномерных пространствах, свойств их образов при нелинейных преобразованиях, связей различных видов сходимости таких мер и возникающих при этой сходимости интересных эффектов, дифференциальных уравнений относительно мер, как обыкновенных, так и уравнений типа Фоккера - Планка - Колмогорова (линейных и нелинейных), а также оптимизационных задач теории меры типа проблем Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки. Масштабность, научная значимость и актуальность этой проблематики видны как из широты спектра задач и приложений, так и из вовлеченности в исследование близких проблем значительного числа квалифицированных исследователей во многих научных центрах мира, публикующихся в ведущих международных журналах. Научная новизна предлагаемых исследований заключается в решении нескольких актуальных уже стоящих задач аналитической теории меры и ее приложений, в том числе в принципиально новых результатах об оптимальной транспортировке с параметрами, в развитии исчисления Маллявэна и его приложений, в постановке и решении новых задач, в существенном продвижении в теории уравнений Фоккера - Планка - Колмогорова. Конкретные ожидаемые результаты перечислены в следующем пункте. Достижимость решения поставленных задач и возможность получения предполагаемых результатов обеспечиваются высоким научным уровнем группы, подтверждаемым успешным выполнением значительного числа предыдущих проектов, в том числе РНФ, опубликованными монографиями (в том числе за последние 5 лет опубликованы 5 монографий) и статьями в ведущих научных журналах (за последние 5 лет участниками проекта опубликовано 14 статей в журналах категории Q1), широко цитируемыми многими исследователями. В проекте участвуют 2 доктора наук, 4 кандидата наук, 2 аспиранта и 2 студента, в том числе 9 молодых ученых (8 участников из МГУ). Восемь участников проекта имеют научные публикации и успешный опыт участия в проектах нескольких фондов (РНФ, РФФИ, Базис, INTAS, DFG). Полученные результаты будут опубликованы в ведущих журналах с заметным превышением установленного норматива по числу публикаций, а также войдут в монографию. Планируется подготовка докторской диссертации.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Богачев В.И. Задача Канторовича оптимальной транспортировки мер: новые направления исследований Успехи математических наук, т. 77, N 5, с. 3-52 (год публикации - 2022)
10.4213/rm10074

2. Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников С.В. Применения преобразования Звонкина к стационарным уравнениям Колмогорова Доклады Академии наук. Математика., т. 506, с. 20-24 (год публикации - 2022)
10.31857/S2686954322050046

3. Красовицкий Т. И., Шапошников С. В. Принцип суперпозиции для уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова с неограниченными коэффициентами Функциональный анализ и его приложения, т. 56, N 4, с. 59-79 (год публикации - 2022)
10.4213/faa4035

Публикации

1. Богачев В.И. Классы Соболева и Бесова на бесконечномерных пространствах Труды Математического института имени В. А. Стеклова (год публикации - 2023)

2. Афонин К.А., Богачев В.И. Kantorovich type topologies on spaces of measures and convergence of barycenters Communications on Pure and Applied Analysis, V. 22, N 2, P. 597-612. (год публикации - 2023)
10.3934/cpaa.2023002

3. Богачев В.И., Рёкнер М., Шапошников С.В. Zvonkin’s transform and the regularity of solutions to double divergence form elliptic equations Communications in Partial Differential Equations, V. 48, N 1, P. 119-149 (год публикации - 2023)
10.1080/03605302.2022.2139724

4. Афонин К.А. Нелинейная задача Канторовича оптимальной транспортировки мер с невыпуклыми функциями стоимости Функциональный анализ и его приложения, Т. 57, N 4, С. 3-16 (год публикации - 2023)
10.4213/faa412

5. Богачев В. И., Рёкнер М., Шапошников С.В. Задачи Колмогорова об уравнениях для стационарных и переходных вероятностей диффузионных процессов Теория вероятностей и ее применения, Т. 68, N 3, С. 420-455 (год публикации - 2023)
10.4213/tvp5631

6. Богачев В.И., Попова С.Н. О задаче Канторовича с параметром Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, Т. 57, N 1, С. 26-28 (год публикации - 2023)
10.31857/S2686954322600380

7. Косов Е.Д. Регулярность распределений соболевских отображений в абстрактных постановках Математические заметки, пространство Соболева, производная по Фомину, модуль непрерывности (год публикации - 2023)

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1. Проведено исследование различных компактификаций пространства радоновских вероятностных мер на тихоновском топологическом пространстве при наделении пространства мер слабой топологией. Доказано, что совпадение компактификации Стоуна-Чеха пространства вероятностных мер P(X) на X с пространством вероятностных мер P(bX) на стоун-чеховской компактификации самого X влечет псевдокомпактность как самого пространства X, так и пространства мер P(X) на нем. В частности, такого совпадения нет для некомпактного метрического пространства X. 2. Доказано, что псевдокомпактность пространства вероятностных мер P(X) со слабой топологией влечет псевдокомпактность пространства X. 3. Доказано совпадение пространства P(sX) радоновских вероятностных мер на компактификации Самюэля (равномерной компактификации) вполне регулярного топологического пространства X с компактификацией Самюэля sP(X) пространства P(X) радоновских вероятностных мер на исходном пространстве X при наделении пространств мер слабыми топологиями. 4. Найдены достаточные условия справедливости принципа суперпозиции Амброзио-Фигалли-Тревизана для решений уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова с потенциальным слагаемым, т.е. условия для представление решений таких уравнений посредством решений соответствующих мартингальных задач. 5. Получены новые условия регулярности решений параболических уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова с помощью преобразования Звонкина коэффициента сноса. Получены новые достаточные условия разрешимости нелинейных эллиптических и параболических уравнений Фоккера-Планка-Колмогорова. 6. В задачах Монжа и Канторовича оптимальной транспортировки мер с данными, зависящими от параметра, построены приближенные оптимальные решения и доказано существование непрерывной выборки приближенных решений Монжа. 7. Проведено изучение задачи Канторовича оптимальной транспортировки мер для нелинейных функций стоимости, зависящих от условных мер транспортных планов. Рассмотрен ряд нелинейных задач Канторовича для функций стоимости специального вида. Получены широкие условия существования оптимальных решений. Построены контрпримеры, когда оптимальное решение не существует. Также установлена связь между нелинейной задачей Канторовича с функцией стоимости некоторого специального вида и задачей Монжа с выпуклым доминированием. 8. Изучены задачи оптимальной транспортировки мер с ограничениями на плотности транспортных планов. Получены точные условия единственности оптимального решения задачи Канторовича с ограничениями на плотности, а именно следующее ограничение на борелевскую функцию стоимости h(x,y): эта функция не должна выражаться в виде суммы функций u(x) + v(y) одного аргумента на множестве положительной меры. 9. Получены новые верхние оценки для расстояния по вариации между распределениями многочленов специального вида от случайных векторов, удовлетворяющих условию типа Деблина. Эти результаты улучшают оценки известных французских специалистов Нурдина-Поли и Балли-Карамелино. Результаты наших исследований доложены на нескольких конференциях и опубликованы в 10 работах в ведущих отечественных и международных журналах: Успехи математических наук, Математический сборник, Алгебра и анализ, Сибирский математический журнал, Функциональный анализ и его приложения, International Mathematics Research Notices, Journal d'Analyse Mathematique, Stochastic Processes and Their Applications.

Публикации

1. Попова С.Н. On uniqueness of an optimal solution to the Kantorovich problem with density constraints International Mathematics Research Notices , N 18, p. 12645–12662 (год публикации - 2024)
10.1093/imrn/rnae178

2. Косов Е.Д., Жукова А.Н. Improved bounds for the total variation distance between stochastic polynomials Stochastic Processes and their Applications, том 170, p. 1-15 (год публикации - 2024)
10.1016/j.spa.2023.104279

3. Богачев В. И., Шапошников С. В. Нелинейные уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова Успехи математических наук , N 5, том 79, с. 3-60 (год публикации - 2024)
10.4213/rm10202

4. Богачев В.И. О компактификации пространств мер Функциональный анализ и его приложения , N 1, том 58, с. 4-21 (год публикации - 2024)

5. Богачев В. И., Шапошников С. В. Уравнения Колмогорова для вырожденных операторов Орнштейна — Уленбека Сибирский математический журнал, N 1, том 65, с. 27-37 (год публикации - 2024)
10.33048/smzh.2024.65.103

6. Богачевa В. И., Попова С. Н. Расстояния Хаусдорфа между каплингами и оптимальная транспортировка с параметром Математический сборник , N 1, том 215, с. 33-58 (год публикации - 2024)
10.4213/sm9920

7. Афонин К.А. Двойственность в задаче Канторовича с фиксированным барицентром и барицентры функционалов Функциональный анализ и его приложения , N 2, том 58, с. 5-22 (год публикации - 2024)
10.4213/faa4206

8. Попова С.Н. Непрерывная выборка приближенных решений Монжа в задаче Канторовича с параметром Функциональный анализ и его приложения , N 2, том 58, с. 137–156 (год публикации - 2024)
10.4213/faa4106

9. Попова С.Н. О нелинейных задачах Канторовича для функций стоимости специального вида Алгебра и Анализ, N 4, том 36, с. 165–194 (год публикации - 2024)

10. Горев В.А., Косов Е.Д. Functional analogs of the Shephard, Busemann-Petty, and Milman problems Journal d’Analyse Mathematique (год публикации - 2025)