Структура неавтономных векторных полей, возмущения систем с дополнительными структурами, топологические инварианты гиперболических динамических систем

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00027

НазваниеСтруктура неавтономных векторных полей, возмущения систем с дополнительными структурами, топологические инварианты гиперболических динамических систем

Руководитель Лерман Лев Михайлович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем

Ключевые слова неавтономные векторные поля, системы с дополнительными структурами, топологические инварианты, гиперболическая динамика

Код ГРНТИ27.29.17

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В рамках проекта исследования будут проводиться в трех направлениях: I. неавтономные векторные поля, их структура и топологическая классификация; II. динамика гамильтоновых систем и сценарии возникновения сложной динамики при возмущении систем с дополнительными структурами (включая разработку программного комплекса для работы с гамильтоновыми и диссипативными системами); III. топологические инварианты гиперболических динамических систем. Все описанные ниже результаты являются актуальными и новыми. I. Исследование неавтономных градиентно-подобных систем на гладких замкнутых многообразиях относительно равномерной эквивалентности было начато Л.М. Лерманом и Л.П. Шильниковым. В развитии этого Л.М. Лерманом были найдены инварианты равномерной эквивалентности таких систем на двумерных многообразиях. В рамках проекта предполагается - получить полную классификацию неавтономных градиентно-подобных векторных полей на двумерных многообразиях. - найти новые инварианты равномерной классификации для случая неавтономных градиентно-подобных систем на трехмерных многообразиях. II. Известно, что структура неинтегрируемой гамильтоновой системы (ГС) очень сложна. Классическим случаем простых ГС являются интегрируемые ГС, структура которых достаточно хорошо изучена в размерности четыре (Лерман-Уманский, Фоменко-Цишанг, Болсинов, Зунг и др.). Их естественно использовать как объект при диссипативном возмущении. Именно, в проекте предполагается - изучить новые сценарии появления вполне устойчивых периодических траекторий в гамильтоновых системах в окрестности гомоклинической траектории к состоянию равновесия эллиптико-гиперболического типа; - для 4-мерных векторных полей, инвариантных относительно действия гладкой инволюции и одновременного обращения времени, содержащих гетероклинические контуры с симметричными и несимметричными седло-фокусами, планируется доказать существование инвариантных частично-гиперболических множеств и изучить основные бифуркации вдоль семейств симметричных периодических траекторий. Для визуализации, изучения параметрической зависимости и вычисления инвариантов гамильтоновых и диссипативных систем предполагается - создать программный комплекс для работы с гамильтоновыми и диссипативными системами. Следует отметить, что имеются содержательные классы симплектических диффеоморфизмов – дискретных аналогов ГС -- со сложной динамикой и достаточно простым описанием, например, частично гиперболические симплектические автоморфизмы торов, классификация которых в размерности 4 была получена Л.М. Лерманом и К.Н. Трифоновым. Эти результаты предполагается обобщить на размерности 6 и выше, именно, предполагается - получить классификацию симплектических частично-гиперболических автоморфизмов многомерных торов при различных соотношениях размерностей центральных и неустойчивых (устойчивых) подрасслоений. III. Из результатов Брауна 2010 года следует, что любое двумерное базисное множество 3-диффеоморфизма является либо растягивающимся аттрактором (сжимающимся репеллером), либо поверхностным аттрактором (поверхностным репеллером). В.З. Гринес, Е.В. Жужома и О.В. Починка сформулировали гипотезу, утверждающую, что базисное множество коразмерности один диффеоморфизма на многообразии размерности большей трех, индекс Морса которого либо минимально возможный, либо максимально возможный, гомеоморфно соответственно либо тору коразмерности один (и ограничение диффеоморфизма в этом случае на базисное множество топологически сопряжено диффеоморфизму Аносова), либо является растягивающимся аттрактором. В проекте предполагается - доказать вышеупомянутую гипотезу, а также - получить топологическую классификацию струтурно устойчивых систем с базисными коразмерности один с минимальным индексом Морса. С рассмотренным выше классом структурно устойчивых систем контрастирует класс т.н. омега-устойчивых систем (не являющихся структурно устойчивыми), неблуждающие множества которых состоят из ориентируемых растягивающихся аттракторов и сжимающихся репеллеров коразмерности один. В проекте будет - получена топологическая классификация многообразий, допускающих диффеоморфизмы, неблуждающие множества которых состоят из ориентируемых аттракторов и репеллеров коразмерности один а также будет - получена топологическая классификация ограничений таких диффеоморфизмов на неблуждающие множества. Из результатов А.Ю. Жирова и Р.В. Плыкина следует, что посредством обобщенной хирургической операции Смейла псевдоаносовские гомеоморфизмы приводятся к структурно устойчивому диффеоморфизму поверхности, неблуждающее множество которого состоит из единственного одномерного совершенного аттрактора и конечного числа источников. Недавно В.З. Гринесом и Е.Д. Куренковым была получена топологическая классификация таких диффеоморфизмов. Полученные результаты и методы позволят - получить топологическую классификацию диффеоморфизмов трехмерных многообразий с двумерными аттракторами и репеллерами, расположенными на поверхностях отрицательной эйлеровой характеристики. В. З. Гринесом, Е. В. Жужомой и Е. Д. Куренковым было также доказано, что в каждом гомотопическом классе непрерывных отображений двумерного тора, индуцирующих гиперболическое действие в фундаментальной группе и не содержащих растягивающих отображений, существует А-эндоморфизм $f$, неблуждающее множество которого состоит из гиперболического стока и одномерного строго инвариантного сжимающегося репеллера, с однозначно определенным неустойчивым $Df$-инвариантным подрасслоением касательного пространства к репеллеру. Этот результат был распространен В.З. Гринесом и Е.В. Жужомой на случай двумерной сферы и была доказана невозможность существования A-эндоморфизмов, неблуждающие множества которых содержат одномерный репеллер (с теми же свойствами), на замкнутых ориентируемых поверхностях рода большего единицы. В рамках проекта предполагается - получить топологическую классификацию эндоморфизмов двумерного тора и двумерной сферы, неблуждающее множество каждого из которых состоит из единственного строго инвариантного одномерного репеллера с однозначно определенным неустойчивым подрасслоением и конечного числа стоковых орбит. В проекте также предполагается: - получить топологическую классификацию вертикально-гиперболических гладких косых произведений над транзитивными сдвигами окружности и тора. Понятие устойчивой дуги в пространстве диффеоморфизмов было введено в работах Ш. Ньюхауса, Дж. Палиса, Ф. Такенса. В любой размерности известны примеры изотопных диффеоморфизмов, не соединяемых устойчивой дугой. В рамках проекта предполагается - доказать, что класс устойчивой изотопической связности диффеоморфизма тора с растягивающимся аттрактором полностью определяется его действием в фундаментальной группе. Из результатов В.З. Гринеса, Е.В. Жужомы, В.С. Медведева, О.В. Починки, Хр. Бонатти, Ф. Лауденбаха, Е. Пеку следует, что полным топологическим инвариантом для 3-диффеоморфизмов Морса-Смейла является класс вложения трансверсально пересекающихся двумерных ламинаций в некоторое простое 3-многообразие, фундаментальная группа которого допускает эпиморфизм в группу целых чисел Z. В силу отсутствия классификации 3-многообразий, возникают естественные сложности на этапе проверки эквивалентности ламинаций. В случае "малого" неблуждающего множества зачастую удается найти инварианты, связанные с более изученными объектами трехмерной топологии, такими, как узлы и зацепления. Хорошо известный пример такого подхода является это классификация трехмерных систем в точности с одной седловой орбитой (Хр. Бонатти и В.З. Гринес). В рамках проекта предполагается - доказать, что полным инвариантом 3-диффеоморфизма с четырьмя неподвижными точками, две из которых седловые, является класс эквивалентности гомотопически нетривиального узла в многообразии S^2xS^1. В.З. Гринесом, Е.В. Жужомой и В.С. Медведевым доказано, что неблуждающее множество диффеоморфизмов 3-сферы с четырьмя неподвижными точками, две из которых седловые, всегда содержит некомпактные гетероклинические кривые. Процесс изменения числа таких кривых имеет непосредственное отношение к процессам перезамыкания в короне Солнца. В рамках проекта предполагается - построить устойчивую дугу в пространстве диффеоморфизмов, вдоль которой меняется число гетероклинических кривых.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Гринес В.З., Минц Д.И. Об одномерных сжимающихся репеллерах А-эндоморфизмов двумерного тора Математические заметки (год публикации - 2023)

2. Кулагин Н.Е. Динамическая трансформация доменных стенок в киральных ферримагнетиках ЖУРНАЛ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ И ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ (год публикации - 2023)

3. Гринес В.З., Медведев В.С., Жужома Е.В. On the Topological Structure of Manifolds Supporting Axiom A Systems Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 27, No. 6, pp. 613–628 (год публикации - 2022)
10.1134/S1560354722060028

4. О.В. Починка, В.И. Шмуклер, Е.А. Таланова Bifurcation of a disappearance of a non-compact heteroclinic curve Selecta Mathematica, New Series, 29 (4), 60 (год публикации - 2023)
10.1007/s00029-023-00863-w

5. Д.А.Баранов, Е.С.Косолапов, О.В.Починка KNOT AS A COMPLETE INVARIANT OF THE DIFFEOMORPHISM OF SURFACES WITH THREE PERIODIC ORBITS Siberian Mathematical Journal, 64 (4), рр.807-818 (год публикации - 2023)
10.1134/S0037446623040031

6. О.В.Починка, Е.А.Таланова MINIMIZING THE NUMBER OF HETEROCLINIC CURVES OF A 3-DIFFEOMORPHISM WITH FIXED POINTS WITH PAIRWISE DIFFERENT MORSE INDICES Theoretical and Mathematical Physics(Russian Federation), 215 (2), pp.729-734 (год публикации - 2023)
10.1134/S0040577923050112

7. В.З.Гринес, Л.М.Лерман GRADIENT-LIKE DIFFEOMORPHISMS AND PERIODIC VECTOR FIELDS MOSCOW MATHEMATICAL JOURNAL, Volume 23, Number 3, July–September 2023, Pages 1–13 (год публикации - 2023)
10.17323/1609-4514-2023-23-3-1-13

8. В.З. Гринес, О.В. Починка, Е.Е. Чилина DYNAMICS OF 3-HOMEOMORPHISMS WITH TWO-DIMENSIONAL ATTRACTORS AND REPELLERS Journal of Mathematical Sciences, Vol. 270, No. 5. (год публикации - 2023)
10.1007/s10958-023-06380-7

9. М.К. Баринова, О.В. Починка, Е.И. Яковлев ON A STRUCTURE OF NON-WANDERING SET OF AN Ω-STABLE 3-DIFFEOMORPHISM POSSESSING A HYPERBOLIC ATTRACTOR Discrete and Continuous Dynamical Systems, Vol. 44, No. 1 (год публикации - 2023)
10.3934/dcds.2023094

10. Гринес В.З., Лерман Л.М. НЕАВТОНОМНАЯ ДИНАМИКА: КЛАССИФИКАЦИЯ, ИНВАРИАНТЫ, РЕАЛИЗАЦИЯ Современная математика. Фундаментальные направления (год публикации - 2022)

11. Баринова М.К., Гринес В.З., Починка О.В., Жужома Е.В. Hyperbolic Attractors Which are Anosov Tori Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 2, pp. 369–375 (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354723540018

12. Гринес В.З., Медведев Т.М., Жужома Е.В. Classifcation of Axiom A Difeomorphisms with Orientable Codimension One Expanding Attractors and Contracting Repellers Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 1, pp. 143–155. (год публикации - 2024)
10.1134/S156035472401009X

13. Баринова M. K., Кольчурина О. А., Яковлев Е. И. О 3-диффеоморфизмах с обобщенным аттрактором Плыкина Математический сборник, Том 215, № 9 (год публикации - 2024)
10.4213/sm10048

14. МЕЩЕРЯКОВ М. В. КРИТИЧЕСКИЕ РАДИУСЫ ОРБИТ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ИЗОТРОПИИ РИМАНОВЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Алгебра и анализ, Том 36 (2024), №6 (год публикации - 2024)

15. Гринес В.З., Лерман Л.М. NONAUTONOMOUS DYNAMICS: CLASSIFICATION, INVARIANTS, AND IMPLEMENTATION Journal of Mathematical Sciences, Том 283, страницы 40–62, (2024) (перевод статьи Sovremennaya Matematika. Fundamental’nye Napravleniya (Contemporary Mathematics. Fundamental Directions), Vol. 68, No. 4, Differential and Functional Differential Equations, 2022) (год публикации - 2024)
10.1007/s10958-024-07238-2

16. Гринес В.З., Починка О.В., Чилина Е.Е. On Homeomorphisms of Three-Dimensional Manifolds with Pseudo-Anosov Attractors and Repellers Regular and Chaotic Dynamics, Vol. 29, No. 1, pp. 156–173 (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724010106

17. Кулагин Н.Е., Лерман Л.М., Трифонов К.Н. Twin Heteroclinic Connections of Reversible Systems REGULAR AND CHAOTIC DYNAMICS, Vol. 29, No. 1, pp. 40–64 (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724010040

18. Кулагин Н. Е., Лерман Л. М. Пространственная динамика в семействе дифференциальных уравнений шестого порядка из теории структурообразования Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, Т. 32, № 6 (год публикации - 2024)
10.18500/0869-6632-003137

19. Починка О.В., Таланова Е.А., Шубин Д.Д. Knot as a complete invariant of a Morse-Smale 3-diffeomorphism with four fixed points Sbornik: Mathematics, Volume 214, Issue 8, Pages 1140–1152 (год публикации - 2023)
10.4213/sm9814e

20. Лерман Л.М., Трифонов К.Н. Symplectic partially hyperbolic automorphisms of 6- torus Journal of Geometry and Physics, Volume 195, 105038 (год публикации - 2024)
10.1016/j.geomphys.2023.105038

21. Починка О.В., Таланова Е.А. Quasi-Energy Function for Morse–Smale 3- Difeomorphisms with Fixed Points with Pairwise Distinct Indices Matematicheskie Zametki, Vol. 114, No. 4, pp. 597–609. (год публикации - 2023)
10.1134/S0001434624030301

Публикации

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1. Получена оценка снизу числа критических точек функции Ляпунова для 3-диффеоморфизмов Морса–Смейла, имеющих неподвижные точки попарно различных индексов. Множество критических точек любой функции Ляпунова диффеоморфизма 𝑓 с нестандартным хопфовским узлом строго больше цепно-рекуррентного множества диффеоморфизма. Для диффеоморфизмов, определенных обобщенными узлами Мазура, построена квази-энергетическая функция – функция Ляпунова с минимальным числом критических точек. 2. Получена топологическая классификация градиентно-подобных 3-диффеоморфизмов с двумя седловыми точками разных индексов Морса и единственной гетероклинической кривой. 3. Исследованы сохраняющие ориентацию 3-гомеоморфизмы с неблуждающим множеством, состоящим из конечного числа поверхностных аттракторов и репеллеров при условии, что ограничение отображения на связную компоненту неблуждающего множества топологически сопряжено с сохраняющим ориентацию псевдо-аносовским гомеоморфизмом. Доказана локальная объемлющая Ω-сопряженность гомеоморфизма прямому произведению псевдо-аносовского гомеоморфизма и грубого преобразования окружности. 4. Предложена комбинаторная модель для вычисления критических радиусов и множеств раздела орбит представлений изотропии римановых симметрических пространств. Получены явные формулы для вычисления критических радиусов с помощью систем корней симметрических пространств. 5. Построен пример 3-диффеоморфизма с обобщенным двумерным растягивающимся неориентируемым аттрактором Плыкина. Доказано существование энергетической функции у построенного диффеоморфизма. 6. Изучались траектории в окрестностях симметричных гетероклинических контуров двух типов, включающих седло-фокусы, четырехмерных обратимых систем, не являющихся гамильтоновыми. Доказано существование однопараметрических семейств симметричных периодических траекторий, многообходных контуров такого же типа, пар несимметричных гомоклинических траекторий к каждому седло-фокусу для счетного множества значений параметра – при рассмотрении общего семейства обратимых систем. Для контуров второго типа доказано существование счетных семейств многообходных симметричных гомоклинических траекторий для каждого седло-фокуса и связанных с ними однопараметрических семейств симметричных периодических траекторий. Для общих однопараметрических семейств обратимых систем, имеющих при некотором значении параметра контур второго типа доказывается существование двухобходных контуров второго типа на счетном множестве параметров, накапливающихся к критическому. 7. Изучены ограниченные решения нелинейного ДУ 6-го порядка типа уравнения Эйлера-Лагранжа-Пуассона. Соответствующая ему гамильтонова система исследовалась комбинацией методов теории динамических систем и численных методов в окрестности симметричного гетероклинического контура, показано существование как простых траекторий (периодических), так и траекторий со сложным поведением. Для существующего симметричного седло-фокус-центра в начале координат показано существование гомоклинических траекторий этого состояния равновесия. 8. Получена топологическая классификация частично гиперболических симплектических автоморфизмов тора Т6 , как транзитивных, так и разложимых, построены примеры автоморфизмов всех типов. 9. Классифицированы аксиомы A 3-диффеоморфизмы, с неблуждающее множество из k>2 ориентируемых связных коразмерности 1 растягивающихся аттракторов и сжимающихся репеллеров, описана топология несущего многообразия. Показано, что диффеоморфизм является Ω-устойчивым и не является структурно устойчивым. 10. Доказано, что области Ньюхауса существуют в окрестности любого отображения, имеющего гомоклиническое касание к бифокусной периодической орбите и в этих областях отображения с гомоклиническими касаниями коранга два произвольно высоких порядков плотны, а отображения, обладающие универсальной двумерной динамикой, типичны. 11. Продолжены исследования стационарных решений обобщенного уравнения Свифта-Хоенберга, заданного на всей плоскости или в пространстве. Для получения таких решений, инвариантных относительно различных групп симметрии, использовались вариационные методы теории уравнений с частными производными. Решения сначала строятся в конечной области с граничными условиями полу-неймановского типа, а затем продолжаются на всю плоскость (пространство), используя гомотетии областей, равномерные оценки на рост решений и свойства симметрии. При этом находятся решения различного типа, определенные на всей плоскости или во всем пространстве. 12. В работах Кулагина Н.Е. численное моделирование различных гамильтоновых и обратимых систем осуществлялось с использованием разработанного программного комплекса.

Публикации

Возможность практического использования результатов
Не очевидно