Спектральные и дифракционные задачи на сочленениях областей с различными предельными размерностями

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00046

НазваниеСпектральные и дифракционные задачи на сочленениях областей с различными предельными размерностями

Руководитель Назаров Сергей Александрович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем машиноведения Российской академии наук , г Санкт-Петербург

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-111 - Дифференциальные уравнения с частными производными

Ключевые слова акустические, квантовые и упругие волноводы, спектры, резонансы, асимптотика, сочленения тел с тонкими стержнями и пластинами

Код ГРНТИ27.35.41

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Работы будут проводиться в трех направлениях, объединенных схожими постановками задач и общим математическим аппаратом исследования - спектральным и асимптотическим анализом эллиптических краевых задач. 1) Сочленения акустических и упругих волноводов. Будут рассмотрены массивные полубесконечные волноводы (рукава) различной физической природы, соединенные тонкими перемычками-каналами. Один из примечательных результатов, полученных в рамках предыдущего гранта РНФ участниками проекта, – процедура "настройки" геометрических параметров перемычки, обеспечивающая необычный эффект почти полного прохождения волны из одного рукава в другой через перемычку. При этом без подгонки параметров перемычки приходящая волна почти полностью отражается и возвращается в рукав, из которого она пришла. Эффект аномального прохождения упоминался и ранее, однако только для акустических волноводов в виде полуполос, соединенных тонкими прямоугольниками, и обнаруживалось, что обсуждаемый эффект возникает на каких-то частотах. Разработанная участниками проекта новая процедура позволяет так подогнать параметры перемычки, чтобы эффект происходил на заданной наперед частоте, однако она была реализована опять-таки только для скалярных задач на полуполосах или полуцилиндрах, соединенных прямыми перемычками. В данном проекте предполагается рассмотреть двумерные упругие волноводы прежней упрощенной геометрии и акустические волноводы, состоящие из рукавов достаточно произвольной формы в любой размерности с тонкими изогнутыми перемычками переменного сечения. 1.1) Будут найдены необходимые и достаточные условия возможности соединить полубесконечные массивные рукава в указанных точках их границ тонким каналом так, чтобы на заданной наперед частоте реализовался эффект почти полного прохождения волны. Длина и переменное сечение канала доступны для вариации. Такие условия, выраженные через некоторые интегральные характеристики рукавов, дают возможность формулировать задачи оптимизации форм, годящиеся для практического применения. 1.2) Анализ упругих волноводов осложнен векторным характером волновых полей и множественностью распространяющихся волн. Подобные задачи никогда и никем не исследовались. Планируется обеспечить почти полное прохождение через перемычку продольной и поперечной волн. Существенные различия в процедуре настройки размеров перемычки возникают из-за разного строения поименованных волн. В первую очередь задачи будут рассмотрены для изотропных однородных материалов, но будут предприняты попытки распространить результаты на анизотропные и композиционные материалы, а также на трехмерные волноводы. 2) Квантовые волноводы. В этом направлении будут решены разнообразные по физической постановке задачи. 2.1) Будут рассмотрены периодические сетки тонких квантовых волноводов различных геометрических форм конечного размера с целью усреднения соответствующей спектральной задачи Дирихле для оператора Лапласа. Условия Дирихле (а не привычные в задачах усреднения условия Неймана) привносят серьезные осложнения в асимптотический анализ, на который оказывает влияние положительность точки отсечки и наличие дискретного спектра в модельной задаче о пограничном слое около узлов сетки. Спектр модельной задачи, поставленной на объединении нескольких полубесконечных цилиндров, исследован в полной мере в рамках предыдущего гранта РНФ. Поэтому возможно предсказать, что результатом процедуры усреднения во всех ситуациях оказывается спектральная задача Дирихле для оператора Лапласа в плоской области, однако асимптотическое строение собственных функций на исходной сетке различное: порожденные дискретным спектром собственные функции сугубо локализованы около узлов, но связанные с пороговым резонансом распределены на звеньях сетки оставляют узлы в относительном покое. Обоснование асимптотики также требует разработки новых и сложных технических приемов. 2.2) Будет рассмотрена квантовая задача рассеяния четырех одномерных частиц как для случая короткодействующих, так и для случая кулоновских парных потенциалов взаимодействия. При наличии двух сильно локализованных двухчастичных кластеров в начальном состоянии и при энергии рассеяния ниже порога развала, но с учетом возможной перестройки кластеров такая задача приводит к сочленению областей разной размерности в эффективном конфигурационном пространстве. Для решения задачи предполагается разработка двух наиболее перспективных подходов: дифракционный, являющийся наиболее "прямым" в смысле вычислительных реализаций, и подход, связанный с исследованием асимптотических свойств ядра резольвенты оператора Шредингера и основанный на альтернирующем методе Шварца. 2.3) Будет рассмотрено уравнение Гельмгольца для области: тонкая пластина с входящим в нее конечным числом тонких цилиндров. Для данной волноводной системы с естественными граничными условиями предполагается получить асимптотики решения при упомянутых малых характерных размерах, развивая классическую альтернирующую схему Шварца. 3) Сочленения упругих тел с тонкими стержнями. Во всех рассматриваемых, как спектральных, так и статических, задачах обоснование асимптотики проводится при помощи доказанных ранее, в том числе и в предыдущем гранте РНФ, весовых анизотропных неравенств Корна. 3.1) Сочленения семейств тонких стержней произвольной конфигурации. При помощи анализа явления пограничного слоя будут построены одномерные модели семейств стержней. Особое внимание уделяется условиям сопряжения в узлах, для вывода которых используются конструкции с симметричной положительно определенной матрицей поляризации, позволяющей правильно избрать эффективные длины одномерных изображений стержней и поставить корректные условия сопряжения типа Кирхгофа-Робэна. 3.2) Будет исследовано сочленение тонкой изотропной пластины с несколькими упругими стержнями, закрепленными по внешним концам (стол), требующее применения наиболее сложного асимптотического анализа. Будут построены пограничные слои с логарифмическими сингулярностями, а гибридная 2D-1D модель изучается при помощи техники весовых пространств с отделенной асимптотикой. Основная цель асимптотического анализа - выяснить зависимость деформированного состояния сочленения от количества и конфигурации стержней, а также попытаться решить оптимизационные задачи. 3.3) Путем построения гибридной 2D-1D модели и исследования явления пограничного слоя будет изучено зонное строение спектра периодического упругого анизотропного волновода, который составлен из бесконечного набора идентичных двумерных упругих тел, соединенных тонкими упругими балками. В отличие от скалярных задач для акустических волноводов указанного строения строение спектра существенно зависит от расположения соединительных балок. Цель - выяснить зависимость строения спектра и размеров лакун в нем от количества, расположения точек крепления и углов наклона балок. Актуальность решения планируемых задач обусловлена как развитием математических исследований, так и возможностью применить полученные асимптотические формулы в практических инженерных вопросах. Все ожидаемые результаты и предлагаемые подходы окажутся новыми и сопоставимыми с передовыми разработками мировой науки.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Назаров С.А. Аномальное прохождение упругой волны через тонкую перемычку, соединяющую два плоских изотропных волновода Прикладная математика и механика, том 86, № 6, с. 977–997 (год публикации - 2022)
10.31857/S003282352206011X

2. Будылин А.М., Левин С.Б. Quantum Scattering of the Bound Pair on the Third Particle in One-Dimensional Case Journal of Experimental and Theoretical Physics, V. 135, № 5, с.642--646 (год публикации - 2022)
10.1134/S1063776122110152

3. Назаров С.А. On the one-dimensional asymptotic models of thin neumann lattices Siberian Mathematical Journal, Том. 64, № 2, с. 356–373. (год публикации - 2023)
10.1134/S0037446623020106

4. Назаров С.А. Лакуны в спектре тонкостенного прямоугольного бесконечного короба Дирихле с периодическим семейством перегородок Математический сборник, Том 214, № 7, с. 91-133 (год публикации - 2023)
10.4213/sm9868

5. Назаров С.А. Распределение мод собственных колебаний в пластине, заглубленной в абсолютно жёсткое полупространство Записки научных семинаров ПОМИ, Том 521, с. 154-199 (год публикации - 2023)

6. Будылин А.М., Левин С.Б. Solution of the Quantum Three-Body Problem in a Neighborhood of the Three-Particle Forward Scattering Direction Mathematical Notes, Том 113, № 3, (год публикации - 2023)
10.1134/S0001434623030021

7. Будылин А.М., Левин С.Б. О главном члене асимптотики задачи нескольких заряженных частиц при наличии связанных состояний Записки научных семинаров ПОМИ, Том 521, с. 59-78 (год публикации - 2023)

8. Назаров С.А. Асимптотический анализ спектра квантового волновода с широким “окном” Неймана в свете механики трещин Записки научных семинаров ПОМИ, Том 516, с. 176--237 (год публикации - 2023)

9. Назаров С.А. Лакуны в спектре тонких волноводов с периодически расположенными локальными деформациями стенок Журнал вычислительной математики и математической физики (год публикации - 2024)

10. Назаров С.А., Шенель Л. Spectrum of the Dirichlet Laplacian in a thin cubic lattice ESAIM: Mathematical Modelling and Numerical Analysis, Том 57, №6, стр. 3251-3273 (год публикации - 2023)
10.1051/m2an/2023082

11. Шанель Л., Назаров С.А., Таскинен Я. Spectrum of the Laplacian with mixed boundary conditions in a chamfered quarter of layer Journal of Spectral Theory, том 14, номер 1, страницы 37-57 (год публикации - 2024)
10.4171/JST/493

12. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Homogenization of the scalar boundary value problem in a thin periodically broken cylinder Siberian Mathematical Journal, том 65, номер 2, страницы 363–380. (год публикации - 2024)
10.1134/S0037446624020113

13. Будылин А. М., Левин С. Б. Взаимодействие N заряженных частиц в рамках модифицированного ВВК-приближения: (N−1)-частичный кластер и удаленная частица Алгебра и анализ, том 36, выпуск 6, страницы 1–15 (год публикации - 2024)

14. Багмутов А. С., Левин С. Б., Торопов В. О. Модель эффективного сепарабельного потенциала в задаче трех одномерных квантовых частиц Записки научных семинаров ПОМИ, Том 533, страницы 15-43 (год публикации - 2024)

15. Кардоне Д., Назаров С.А., Таскинен Я. Localization of eigenfunctions in the Dirichlet beaker Bulletin of the London Mathematical Society, том 56, номер 4, страницы 1362-1384 (год публикации - 2024)
10.1112/blms.13000

16. Будылин А. М., Левин С. Б., Юрова Т. С. Об асимптотике решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в полосе с тонкими ответвлениями Математические заметки, том 116, выпуск 3, страницы 355–371 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14202

17. Назаров С.А. Лакуны в спектре тонких волноводов с периодически расположенными локальными деформациями стенок Журнал вычислительной математики и математической физики, том 64, номер 1, страницы 109–128 (год публикации - 2024)
10.31857/S0044466924010098

18. Назаров С.А. Локализация собственных колебаний тонких упругих прокладок Прикладная математика и механика, том 88, номер 1, страницы 104–138 (год публикации - 2024)
10.31857/S0032823524010083

19. Назаров С.А. Разные типы локализации собственных функций скалярных смешанных краевых задач в тонких многогранниках Уфимский математический журнал (год публикации - 2025)

20. Назаров С.А. Асимптотика собственных чисел и функций задачи Дирихле на тонкой пространственной сетке с узелками Известия Российской академии наук. Серия математическая (год публикации - 2025)
10. 4213/im9534

Публикации

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
На основе анализа пограничного слоя около свободной боковой поверхности бесконечной ортотропной прокладки между двумя абсолютно жесткими штампами обнаружен эффект локализации упругих волн около ее свободной кромки. При полностью зафиксированной поверхности волны распределены по всей пластине и описываются двумерной задачей теории упругости, но при локализации – обыкновенным дифференциальным уравнением. Рассчитаны асимптотики точек отсечки непрерывного спектра и проведена классификация "продольные/поперечные" волн на частотах, близких к пороговым. Качество волн зависит от соотношения модулей Юнга, однако для изотропного материала возникают волны обоих типов. При помощи процедуры точной настройки параметров показано, что путем подбора длины тонкой перемычки, соединяющей две изотропные полуполосы можно образовать точку комплексного резонанса, приближенную к вещественной оси и потому вводящую перемычку в резонанс на заданной частоте. Возмущением разных параметров упругого волновода, сохраняющих его затребованную симметрию, удалось поместить точку комплексного резонанса с вещественной осью и образовать истинное собственное число. Введена матрица М упругой поляризации сочленения нескольких полубесконечных цилиндров и изучены ее свойства – показано, что путем сдвига начал локальных координат вдоль осей полуцилиндров удается добиться положительной определенности блоков матрицы. Эти блоки фигурируют в одномерной модели повышенной точности для треноги – сочленения трех тонких стержней, встречающихся в общем узле и закрепленные за другие концы. Модель дает двучленную асимптотику упругих полей, а также энергии и собственных чисел. Она отличается от обычной одномерной модели тем, что условия Кирхгофа в верхнем узле превращаются в условия сопряжения Кирхгофа-Робэна. По упомянутым сдвигам локальных координат находятся "правильные" размеры узлов и укороченных стержней. При использовании поляризационных характеристик узлов произведена осреднение тонкого изломанного акустического цилиндра и выведены асимптотики его осредненных характеристик. При помощи альтернирующего метода Шварца построена асимптотика решения уравнения Лапласа в двумерной области, образованной бесконечной полосой и полубесконечным ответвлением малой толщины. В старшем члене асимптотики нужно учесть парные итерации операторов отражений. Вклады, содержащие тройные итерации оказались малыми. Обнаружен "капиллярный эффект": граничные условия на полосе "перетекают" внутрь тонкого ответвления (но не наоборот!), формируя в нем решение в старшем порядке. Построен старший член асимптотики решения задачи о распространении волны в тонком многомерном волноводе со свободными (или модифицированными кулоновскими) краевыми условиями. Задача является дифракционным аналогом задачи о построении асимптотики собственных функций абсолютно непрерывного спектра квантовой задачи рассеяния (N-1)-частичного кластера (квазикластера), состоящего из трехмерных частиц, и удаленной заряженной частицы (гиперрадиус системы частиц существенно меньше расстояния до удаленной частицы). Предполагается, что парные потенциалы ведут себя на бесконечности кулоновским образом, а также динамика квазикластера, не взаимодействующего с удаленной частицей, полностью известна. Доказана теорема о старшем члене асимптотики – построение анзаца основано на принципе квантования малой локальной координаты подсистемы на фоне большой квазиклассической координаты. Доказательство основано на построении тождеств, порожденных уравнением Шредингера для изолированной (N-1)-частичной подсистемы и обращающих в ноль старший член невязки в уравнении для полной системы N частиц. Построена модель рассеяния приходящей плоской волны на системе трех полупрозрачных волноводов, пересекающихся в точке. Каждый из волноводов поддерживает перенос энергии из окрестности точки пересечения на бесконечность. В рамках дифракционного подхода к задаче трехчастичного рассеяния модель описывает процессы рассеяния 3→2(3) в системе трех одномерных квантовых частиц с финитными парными потенциалами притяжения. Асимптотика была получена при анализе асимптотики ядра резольвенты оператора Шредингера, вычисленной при "посадке" спектрального параметра на абсолютно непрерывный спектр. Произведено осреднение конечных участков сеток тонких квантовых волноводов (задача Дирихле для оператора Лапласа с двумя малыми параметрами – периодом решетки и диаметром сечений). Разработана модификация процедуры осреднения: на каждом шаге строятся асимптотические решения модельной задачи с повышенной точностью, а экспоненциально затухающие волны возмущаются экспоненциально растущими решениями. В итоге получается задача Дирихле для осредненного эллиптического уравнения, собственные числа которой с экспоненциально малыми множителями включаются в формулы для собственных чисел исходной задачи, располагающиеся в экспоненциально малой окрестности нормированного собственного числа бесконечного волновода (такая концентрация спектра проверяется и максиминимальным принципом). Рассмотрены сетки тонких квантовых волноводов с резонаторами, а также плоские (квадратные и гексагональные) и пространственные (кубические) решетки. Построены асимптотики упругих полей, вызванных собственными колебаниями сочленений тонких изотропных стержней и пластины при различных способах крепления конструкции. Обнаружено разнообразие предельных задач. В результате понижения размерности для пластины появляется бигармоническое уравнение для прогибов на сечении с обычными краевыми условиями, но также и с условиями Стеклова в точках присоединения стержней. Стержням отвечают обыкновенные дифференциальные уравнения четвертого порядка на осях для их поперечных колебаний. На верхних концах обычно ставятся условия Дирихле, но в некоторых случаях – матричные условия Стеклова, объединяющие их в спектральную единую задачу. Найдены ситуации, в которых предельная задача порождена самосопряженным расширением дифференциальных операторов. Доказано, что собственные функции для "стакана Дирихле" (тонкостенном гладком цилиндре с тонким донышком) концентрируются в малой окрестности края дна. Эффект вызван наличием точки дискретного спектра в модельной задаче на изломанной полосе (пограничный слой), а предельным служит обыкновенное дифференциальное уравнение на ребре. Получены результаты, относящиеся к спектру "граненого стакана Дирихле": изучены дискретный спектр задачи Дирихле в толстостенном трехгранном угле и разнообразные способы локализации собственных функций в тонких многогранниках.

Публикации

Возможность практического использования результатов
Направление проекта теоретическое и результаты получены при помощи аналитических методов, однако решаются задачи имеющие прикладное значение, а результаты могут быть использованы другими авторами для разработки численного решения задач акустики, теории упругости и других дисциплин.