Развитие современных методов математической физики: интегрируемые системы и формализм задачи Римана-Гильберта, спектральный анализ дифференциальных и интегральных операторов, задачи рассеяния и их приложения

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00070

НазваниеРазвитие современных методов математической физики: интегрируемые системы и формализм задачи Римана-Гильберта, спектральный анализ дифференциальных и интегральных операторов, задачи рассеяния и их приложения

Руководитель Лялинов Михаил Анатольевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" , г Санкт-Петербург

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова интегрируемые системы, задача Римана-Гильберта, спектральная теория и теория рассеяния, асимптотическая теория ортогональных полиномов

Код ГРНТИ27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект (22_24) в значительной степени продолжает исследования, начатые в рамках предыдущего, 19_21 РНФ гранта. Он преследует ту же общую цель развития новых методов математической физики, основанных на синтезе таких традиционных областей анализа как спектральная теория дифференциальных и интегральных операторов и теория рассеяния и дифракции с идеями и методами современной теории интегрируемых систем. Наряду с исследованиями, продолжающими уже начатые исследования в предыдущий период, в новом проекте существенное место занимает и анализ новых задач, не связанных непосредственно с предыдущим проектом. В рамках этой основной цели в Проекте 22 _ 24 предлагается сконцентрировать усилия на следующих пяти, взаимно связанных направлениях: (I) Исследование асимптотического поведения решения задачи Коши для цилиндрического уравнения Кортевега –де Фриза. Данное уравнение интегрируется методом обратной задачи и имеет соответствующую L-A пару. В отличие от обычного уравнения Кортевега –де Фриза, для цилиндрического уравнения оператором L является оператор Штарка с потенциалом в виде суммы линейной и быстро убывающей функций. Предполагается изучить связь между асимптотиками решения цилиндрического уравнения Кортевега –де Фриза при больших и малых временах. Изучение задач Римана-Гильберта для спектральных обратных задач, связанных с оператором Шредингера на полуоси. Предполагается рассмотреть новые важные для приложений потенциалы, например, суммы кулоновского или отрицательного параболического потенциалов и функции из класса Шварца. (II) Спектральная теория оператора Мёлера M (это интегральный оператор с ядром 1/[\pi(x+y)] на интервале (0,1)) и его возмущений компактными интегральными операторами T с относительно гладкими ядрами. Исследование дискретных и непрерывных спектров интегральных операторов M+T. Условия возникновения дискретного спектра M+T и его конечности. Структура собственных функций непрерывного спектра и теория рассеяния. Асимптотическое поведение решений соответствующего эволюционного уравнения. Исследование связи этой теории со спектральными свойствами функционально-разностных уравнений второго порядка с мероморфными коэффициентами. Ожидается использование этих результатов для описания асимптотики собственных функций оператора Лапласа с сингулярным потенциалом, сосредоточенным на конических или клиновидных поверхностях. Предполагается также дальнейшее развитие метода Фокаса решения задач дифракции для многоугольных плоских областей и выявления его связей с классической теорией Малюжинца. Кроме того, предлагается проанализировать параллели теории Малюжинца и теории точно решаемых моделей квантовой теории поля. Эта часть проекта имеет пересечения в используемых методах с частями (I) и (III). (III) Спектральный анализ операторов Якоби и асимптотическое поведение ортогональных полиномов. Основная цель состоит в изучении случая растущих рекуррентных коэффициентов, содержащем, в частности, классические полиномы Эрмита и Лагерра. Mы планируем также рассмотреть рекуррентные коэффициенты, растущие так быстро, что соответствующее разностное уравнение оказывается в ситуации предельной окружности. (IV) Построение асимптотической теории определителей сумм теплицевых и ганкелевых матриц в случае, когда слагаемые задаются различными символами. Во всех предыдущих исследованиях теплицев и ганкелев символы предполагались или совпадающими, или связанными определенными жесткими соотношениями. Как важное приложение, предполагается вычислить спектральные асимптотики ганкелевых матриц. Предполагается также вычислить асимптотики хвостов функций распределения Трэйси - Видома для произвольного бета ансамбля случайных матриц. Упомянутая функция распределения является одной из основных функций распределения современной теории стохастических процессов. Относительно асимптотики ее хвостов для произвольного бета пока имеются только гипотезы. Эта часть проекта имеет пересечения в рассматриваемых задачах с частью (III); при этом подходы развиваемые в этих частях методологически дополнительны к друг другу. (V) Развитие математической теории рассеяния для системы теории упругости в волноводе с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность. Предполагается, что в каждом выходе характеристики среды стабилизируются с экспоненциальной скоростью к функциям, зависящим от точки на сечении. Схема исследования остается той же, что была использована нашей группой для построения математической теории рассеяния для квантовых, акустических и электромагнитных волноводов. Распространение полученных ранее результатов по теории рассеяния в волноводах на случай, когда коэффициенты задачи стабилизируются на бесконечности со степенной скоростью. В этой ситуации все составные части теории требуют пересмотра. Однако, по сравнению со случаем, когда стабилизация коэффициентов происходит сколь угодно медленно, имеется возможность получить конкретные аналитические результаты. В предлагаемом проекте мы планируем рассмотреть акустические и квантовые волноводы. Эти части проекта пересекаются с частью (II).

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. М. А. Лялинов ОПЕРАТОР ШРЕДИНГЕРА В ПОЛУПЛОСКОСТИ С УСЛОВИЕМ НЕЙМАНА НА ГРАНИЦЕ И СИНГУЛЯРНЫМ δ-ПОТЕНЦИАЛОМ, СОСРЕДОТОЧЕННЫМ НА ДВУХ ЛУЧАХ, И СИСТЕМЫ ФУНКЦИОНАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ Теоретическая и Математическая Физика, н. 2, Том 213, стр. 287-319 (год публикации - 2022)
10.4213/tmf10319

2. Д. Р. Яфаев Spectral analysis of Jacobi operators and asymptotic behavior of orthogonal polynomials Bulletin of Mathematical Sciences (год публикации - 2022)
10.1142/S1664360722500023

3. Б.А. Пламеневский, А.С. Порецкий Система Максвелла в неоднородных анизотропных волноводах с медленной стабилизацией характеристик среды Алгебра и Анализ, н. 4, т. 34, 107–187 (год публикации - 2022)

4. М. А. Лялинов, Н. С. Федоров Собственные функции существенного спектра для оператора Лапласа в угле с краевыми условиями Робена-Неймана сборник "3аписки научных семинаров ПОМИ" Математического института им. В. А. Стеклова Российской академии наук, том 516, серия "Математические вопросы теории распространения волн, 52, т. 516, серия "Математические вопросы теории распространения волн, 52 (год публикации - 2022)

5. М.А. Лялинов О собственных функциях существенного спектра модельной задачи для оператора Шрёдингера с сингулярным потенциалом МАТЕМАТИЧЕСКИЙ СБОРНИК, 214, 10, стр. 4-- 29 (год публикации - 2023)
10.4213/sm9861

6. М.А. Лялинов Localized Waves Propagating Along an Angular Junction of Two Thin Semi-Infinite Elastic Membranes Terminating an Acoustic Medium Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 30, No. 3, pp. 345–359 (год публикации - 2023)
10.1134/S1061920823030068

7. М. А. Лялинов СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ СУЩЕСТВЕННОГО СПЕКТРА В ЗАДАЧЕ ОБ АКУСТИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ В КЛИНОВИДНОЙ ОБЛАСТИ, ОГРАНИЧЕННОЙ УГЛОВЫМ СОЧЛЕНЕНИЕМ ДВУХ ТОНКИХ ПОЛУБЕСКОНЕЧНЫХ УПРУГИХ МЕМБРАН Записки научных семинаров ПОМИ, Том 521, 123-135 стр. (год публикации - 2023)

8. Суханов В.В. Задача Римана-Гильберта для одномерного оператора Шредингера с потенциалом в виде суммы параболы и финитного потенциала. Записки научных семинаров ПОМИ, т.251, с.240-259 (год публикации - 2023)

9. Злобина Е.А. ДИФРАКЦИЯ ВОЛНЫ ШЕПЧУЩЕЙ ГАЛЕРЕИ НА СКАЧКЕ КРИВИЗНЫ. МОДА С БОЛЬШИМ НОМЕРОМ Записки научных семинаров ПОМИ, Том 521, 2023 95--122 (год публикации - 2023)

10. Яфаев Д.Р. SELFADJOINT JACOBI OPERATORS IN THE LIMIT CIRCLE CASE J. OPERATOR THEORY, 89:1(2023), 87–103 (год публикации - 2023)
10.7900/jot.2021apr28.2325

11. Лялинов М.А. Standing waves, localised near the shoreline of a water basin, and asymptotic quasimodes Journal of Fluid Mechanics, (2024), vol. 988, A22 (год публикации - 2024)
doi:10.1017/jfm.2024.438

12. Лялинов М.А. Asymptotic Eigenmodes Localized Near the Edge of a Vessel, with Acoustic Medium, Which Is Covered by a Thin Elastic Membrane Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 31, No. 3, pp. 477–494 (год публикации - 2024)
DOI 10.1134/S1061920824030105

13. Лялинов М.А. О связи решений уравнения Малюжинца и функционально-разностного уравнения шестого порядка с мероморфным коэффициентом в задаче о локализованных волнах, бегущих вдоль углового сочленения тонких упругих мембран Записки научных семинаров ПОМИ, т. 533 стр. 140-152 (год публикации - 2024)

14. Лялинов М.А., Полянская С.В. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ О НАКЛОННОМ ПАДЕНИИ ПОВЕРХНОСТНОЙ ВОЛНЫ НА ПРЯМОЛИНЕЙНЫЙ БЕРЕГ ПРИБРЕЖНОГО ВОДНОГО КЛИНА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА, том 88, № 3, с. 406–421 (год публикации - 2024)
DOI: 10.31857/S0032823524030055 ZAWQKP

15. Пламеневский Б.А., Порецкий А.С., Сарафанов О.В. Математическая теория рассеяния в электромагнитных волноводах Известия Академии Наук (Математика) (год публикации - 2025)

16. Суханов В.В. Коллапс в асимптотике решения комплексного уравнения Кортевега-де-Фриза Записки научных семинаров ПОМИ, т.533 стр. 186-194 (год публикации - 2024)

17. Бархуми А., Лисовый О., Миллер П.Д., Прохоров А. Painlevé-III Monodromy Maps Under the D6→D8 Confluence and Applications to the Large-Parameter Asymptotics of Rational Solutions Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications SIGMA 20 (2024), 019, 77 pages, SIGMA 20 (2024), 019, 77 pages (год публикации - 2024)
ydoi.org/10.3842/SIGMA.2024.019

18. Джино Байк, Прохоров А., Сильва Г.Л.Ф. Differential Equations for the KPZ and Periodic KPZ Fixed Points Communications in Mathematical Physics, Commun. Math. Phys. 401, 1753–1806 (год публикации - 2023)
https://doi.org/10.1007/s00220-023-04683-z

Публикации

10. Яфаев Д.Р. SELFADJOINT JACOBI OPERATORS IN THE LIMIT CIRCLE CASE J. OPERATOR THEORY, 89:1(2023), 87–103 (год публикации - 2023)
10.7900/jot.2021apr28.2325

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Продолжено изучение ранее найденного решения системы Калоджеро – Пенлеве, которое, как ожидается ,описывает распределение Трэйси - Видома с бета = 6. Проблема была сведена к нахождению точного решения системы Калоджеро-Пенлеве, которое обобщает точное решение второго уравнения Пенлеве, выражающееся в терминах функции Эйри. Центральным конкретным результатом в этой части проекта была формулировка гипотезы относительно значений данных задачи Римана отвечающих упомянутому аналогу второго трансцендента Пенлеве. Было проведено строгое вычисление главного члена асимптотики по большому времени решения задачи Коши для уравнения Ландау-Лифшица. Он был явно дан в терминах соответствующих данных задачи Римана-Гильберта. Проект является первым примером успешного асимптотического анализа задачи Римана-Гильберта, поставленной на алгебраической кривой ненулевого рода. Статья, содержащая этот результат, была отправлена для публикации в Nonlinearity. Препринт размещен на arXiv: https://arxiv.org/abs/2405.17662 Продолжено изучение асимптотических свойств решений нелинейного цилиндрического уравнения Кортевега - де Фриза при больших и малых временах. Было полностью завершено распространение нелинейный метода перевала Дэйфта - Жоу на задачу Римана отвечающую цилиндрическому уравнению Кортевега - де Фриза. Метод был применен для вычисления старшего члена асимптотики решения соответствующей задачи Коши при больших временах. Статья, описывающая эту асимптотику представлена к публикации. Кроме того, достигнут значительный прогресс в изучении асимптотики того же решения цилиндрического уравнения КдФ при малых временах в областях где решение либо осциллирует либо экспоненциально убывает. Получены явные формулы, связывающие параметры решения при малых и больших временах, то есть, явным образом описано нелинейное рассеяние в модели цилиндрического уравнения КдФ, охватывающее упомянутые области пространства - времени. Продолжено изучение ТТ*- уравнения Чекотти и Вафа, которое играет важную роль в супер - симметричной кантовой теории поля. Конечная цель этого изучения - полное описание асимптотических решений в нуле и бесконечности и соответствующих формул связи. В отчетный период был рассмотрен слегка модифицированный вариант упомянутого уравнения. Это модификация упрощает анализ и одновременно, в отличие от ранее анализированной модификации ТТ* модели двумерной цепочкой Тода, допускает особые решения. В первом нетривиальном случае, матричной размерности 3х3, было осуществлено полное описание особых на бесконечности и гладких в нуле решений. Явно вычислены соответствующие формулы связи и распределение (логарифмических) особенностей в окрестности бесконечности. Статья представляющая эти результаты готовиться к печати. Изучена разрешимость задачи Римана-Гильберта для оператора Шредингера, с потенциалом в виде суммы кулоновского потенциала и быстро убывающей функции. Изучались волноводы с несколькими цилиндрическими выходами на бесконечность, описываемые краевыми задачами, коэффициенты которых стабилизируются на бесконечности со степенной скоростью. Рассматриваемый класс задач включает краевые задачи для самосопряженных эллиптических систем первого порядка, уравнения акустики и системы Максвелла. Разработан подход к изучению асимптотики волн, учитывающий самосопряженность рассматриваемой задачи, что позволило получить более точную и информативную асимптотику волн (по сравнению с предыдущими этапами проекта). Были построены приходящие и уходящие волны. Было показано, что волны, собственные функции непрерывного спектра, матрица рассеяния и решение задачи с естественными условиями излучения аналитически зависят от спектрального параметра на интервале непрерывного спектра, отделенном от порогов. В линейном приближении гравитационных поверхностных волн малой амплитуды предложены новые интегральные представления для решения классической задачи о набегании из бесконечности поверхностной волны на берег под углом к береговой линии. Изучены формальные коротковолновые асимптотические решения, описывающие собственные акустические колебания в сосуде с твёрдым дном, заполненным акустической средой и покрытым тонкой эластичной мембраной. Построены формальные асимптотические решения задачи для линейных волн на воде в ограниченном бассейне. Решения имеют вид асимптотических квази-мод и используются для описания стоячих волн на воде, локализованных вблизи береговой линии. Установлена связь между решениями функционального разностного уравнения шестого порядка и решениями уравнений Малюжинца. Получено квазиклассическое условие квантования разностного уравнения Шредингера с потенциалом определенного вида. Найдены асимптотики собственных функций при малом параметре сдвига, построена резольвента при малом параметре сдвига. Разрабатывалась теория рассеяния для оператора Лапласа в полупространстве с граничными условиями типа Робина на граничной плоскости. В частности, показано, что в этой задаче, помимо обычных пространственных волн, живущих в конусах и описываемых стандартными волновыми операторами, могут возникать поверхностные волны. Они локализованы в параболических окрестностях границы. Изучена C*-алгебра А(Г,G), порожденная одномерными сингулярными интегральными операторами, где Г — сложный кусочно-гладкий контур, состоящий из конечного числа ляпуновских ограниченных и неограниченных дуг. Коэффициенты сингулярных интегральных операторов допускают разрывы первого рода на контуре Г и стабилизируются к почти-периодическим функциям на каждой дуге, уходящей в бесконечность. Частоты почти-периодических функций принадлежат некоторой фиксированной подгруппе G группы вещественных чисел. Перечислены все примитивные идеалы исходной алгебры А(Г,G) и предъявлены соответствующие неприводимые представления, ядра которых совпадают с этими идеалами. Рассмотрена задача некасательной дифракции на контуре, гладком всюду, за исключением одной точки, при переходе через которую касательная к контуру меняется непрерывно, а кривизна терпит разрыв второго рода. Построена формула для расходящейся из точки негладкости контура дифрагированной волны. Ее диаграмма направленности имеет сингулярность на предельном — геометрически отраженном в точке негладкости — луче. Влияние негладкости контура на волновое поле в узкой окрестности предельного луча на малых расстояниях описано в терминах функции параболического цилиндра. На умеренных расстояниях поле аппроксимируется специальной функцией, напоминающей интеграл Факсена (Faxén integral)

Публикации

10. Яфаев Д.Р. SELFADJOINT JACOBI OPERATORS IN THE LIMIT CIRCLE CASE J. OPERATOR THEORY, 89:1(2023), 87–103 (год публикации - 2023)
10.7900/jot.2021apr28.2325

Возможность практического использования результатов
Теоретические исследования, предпринятые в процессе выполнения работ, позволяют предполагать следующие возможности практического использования наших результатов. 1. При изучении волнового распространения в волноводах найдены способы использования эффекта резонансного туннелирования электронов в квантовом волноводе. Удается теоретически предсказать характеристики локальных сужений волновода (резонатор в волноводе), которые обеспечивают очень узкий диапазон энергий электронов, который пропускается данным волноводом. 2. Изучение взаимодействия волн (э.м. или акустических) с поверхностями, описываемыми условиями типа Робена (условия Леонтовича и их обобщения) позволяют предсказать волновые эффекты (поверхностные волны, поляритоны, клиновые волны), которые могут иметь приложения в в гидро и радиолокации. В моделях идеально рассеивающих поверхностей эти эффекты отсутствуют. К таким эффектам относится локализация волнового поля (и его энергии) вблизи ребер углов или вблизи конических точек. Насколько нам известно, такие эффекты пока широко не использовались, хотя могут иметь прикладное значение.