Аппроксимация аналитическими функциями, интерполяция и сэмплинг, свойства L-емкостей

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00071

НазваниеАппроксимация аналитическими функциями, интерполяция и сэмплинг, свойства L-емкостей

Руководитель Федоровский Константин Юрьевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет" , г Санкт-Петербург

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-108 - Комплексный анализ

Ключевые слова Аппроксимация, эллиптическое уравнение, L-емкость, сингулярный интегральный оператор, неванлинновская область, задача Дирихле, канонические системы, неделимые интервалы, инвариантные подпространства, теория потенциала, меры Карлесона

Код ГРНТИ27.27.15

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на исследование широкого спектра актуальных задач современного математического анализа, относящихся к различным аспектам теории приближений аналитическими функциями, и состоит из нескольких направлений, объединенных близкими методами и идеями. Основные направления проекта: А) Исследование задач аппроксимации функций полиномиальными решениями однородных эллиптических уравнений с постоянными комплексными коэффициентами и систем таких уравнений, а также элементами полиномиальных и рациональных модулей полианалитического типа в нормах пространств непрерывных и гладких функций на компактах на плоскости и в пространстве. Это классическое направление, восходящее к работам К. Вейерштрасса и К. Рунге и получившее свое развитие в середине 20-го столетия в исследованиях Д. Уолша, М.В. Келдыша, С.Н. Мергеляна, А.Г. Витушкина, посвященных задачам аппроксимации голоморфными и гармоническими функциями и многочленами. В последние десятилетия активно исследуется тематика аппроксимации функций решениями общих однородных эллиптических уравнений и систем с постоянными коэффициентами. Отметим работы А. Буаве, Д. Вердеры, С. Гардинера, П.М. Готье, А.Б. Зайцева, Д. Кармоны, М.Я. Мазалова (участник проекта), А.Г. О'Фаррела, П.В. Парамонова (участник проекта), Н.Н. Тарханова, К.Ю. Федоровского (руководитель проекта), В.П. Хавина и Н.А. Широкова. При этом остается большое число важных нерешенных проблем, среди которых можно выделить получение критериев равномерной аппроксимации функций полиномиальными решениями систем эллиптических уравнений второго порядка. Нужно отметить также задачу об описании генераторов рациональных модулей, для которых выполнено утверждение о тривиальности условий приближаемости для классов функций. Эта задача – естественное развитие известной проблемы Д. Вердеры об аппроксимации бианалитическими функциями, недавно решенной М.Я. Мазаловым. Важное место в данной проблематике занимают задачи, связанные со специальными аналитическими классами плоских односвязных областей, которые возникают в критериях равномерной полиномиальной аппроксимации (неванлинновские и L-специальные области). Недавно возникло новое направление исследований, связанное с изучением условий приближаемости функций решениями эллиптических уравнений порядка выше двух в пространствах Гельдера с показателями между 0 и 1. Б) Другое направление проекта, тесно связанное с предыдущим, – это изучение свойств L-емкостей множеств в пространствах R^N, N>1, определяемых эллиптическими дифференциальными операторами L второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами. Решения уравнения Lf=0 мы будем называть L-аналитическими функциями. Такие емкости возникают в задачах равномерной аппроксимации L-аналитическими функциями: в этих терминах формулируются критерии приближаемости. Интересными, важными и трудными задачами являются описание CL-емкостей (L-емкостей, определяемых непрерывными L-аналитическими функциями) в метрических терминах, вопрос о соизмеримости CL-емкостей с классическими гармоническими емкостями, вопросы о полуаддитивности CL-емкостей. Исследования по этой тематике естественно рассматривать как развитие исследований о свойствах аналитической и C^1-гармонической емкостей, которые активно велись и ведутся в течении последних пятидесяти лет и которые привели к таким прорывным результатам, как недавнее решение Х. Толсой проблем полуаддитивности аналитической и C^1-гармонической емкостей. Эти вопросы были открыты с середины 1960-х годов. В) Еще одно направление – получить описание (вещественных) множеств интерполяции и сэмплинга для подпространств L^2 на вещественной оси, инвариантных относительно целочисленных сдвигов. Такие подпространства порождены целочисленными сдвигами одной фиксированной функции (генератора подпространства). Предполагается изучить как новые аналитические генераторы, так и бесконечно дифференцируемые генераторы из класса Шварца. Еще одна задача – это описание резонансов для оператора Шредингера на конечном интервале. Хорошо известно, что все резонансы лежат вне некоторой логарифмической полосы. В ходе выполнения проекта планируется найти другие ограничения на расположение резонансов. В частности, планируется получить описание множества резонансов в угле Штольца и охарактеризовать соответствующие порождающие функции из класса Эрмита-Билера. Выделим еще одну задачу проекта: найти количественные ограничения на расположение неделимых интервалов для канонических систем с целочисленным спектром. Недавно участник проекта Ю.С. Белов (совместно с А.А. Боричевым) установили следующий качественный результат: если каноническая система на конечном интервале имеет целочисленный спектр (один из двух спектров совпадает с множеством целых чисел), то соответствующий гамильтониан может содержать неделимый интервал, но не может содержать двух неделимых интервалов подряд. В рамках запланированных исследований предполагается найти ограничения на возможное расположение неделимого интервала. В частности, найти верхнюю оценку на возможную длину неделимого интервала в естественной параметризации системы с единичным следом гамильтониана. Г) Следующее направление работы по проекту связано с теоремами вложения для различных гильбертовых пространств аналитических и гармонических функций в диске, в шаре и в полидиске. Естественно возникает целая группа задач, которая включает в себя получение конформно-инвариантной версии теоремы вложения для аналитического пространства Дирихле в диске, описание карлесоновых мер для пространства Друри-Арвесона на шаре с помощью дискретизации и построения подходящего аналога этого пространства на графах, а также получение двухвесовых оценок для оператора Харди в трехмерном пространстве в линейном случае. Д) Кроме этих направлений в рамках проекта планируется исследование вопроса о вейлевской или квази-вейлевской асимптотике спектра канонических систем, решить задачу характеризации систем с вейлевской асимптотикой. Будут изучены вопросы об интерпретации формул суммирования типа Пуассона и Вороного в терминах спектральной теории и выводе новых формул такого типа, а также об их приложениях в аналитической теории чисел. Большинство участников проекта – ключевые исполнители успешно завершенного проекта РНФ 17-11-01064 (с продлением) «Аппроксимация аналитическими функциями». Ряд задач нового проекта возникли в результате развития проведенных исследований. Среди таких задач необходимо отметить задачи о свойствах L-емкостей. Также в ходе выполнения названного проекта были разработаны новые методы и подходы, которые составляют основу научного задела для предлагаемых исследований. Кроме того, была сформирована активно работающая научная группа, имеющая на данный момент значительный успешный опыт совместной работы (доказательство гипотезы Ньюмана-Шапиро – участник проекта Ю.С. Белов совместно с А.А. Боричевым, Journal of the European Mathematical Society, Q1; решение задачи о размерности границ неванлинновских областей – участники проекта Ю.С. Белов и К.Ю. Федоровский совместно с А.А. Боричевым, Journal of Functional Analysis, Q1; Lip^m-непрерывность оператора гармонического отражения – участники проекта П.В. Парамонов и К.Ю. Федоровский, журнал Analysis and Mathematical Physics, Q1). Два молодых участника группы проекта 17-11-01064 – И.А. Бочков и А.И. Куликов, – входящие также в число исполнителей данной заявки, получили в 2020 и 2021 гг. медали РАН и премии для молодых ученых (И.А. Бочков за доказательство гипотезы Валента, а А.И. Куликов – за работы по интерполяции Фурье). В 2021 году они оба стали лауреатами премии молодым математикам России, учрежденной Образовательным центром «Сириус».

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. Явный вид фундаментальных решений некоторых эллиптических уравнений и связанные с ними B- и C-емкости Математический сборник / Sbornik Mathematics, Том 214, выпуск 4, стр. 114–131 (год публикации - 2023)
10.4213/sm9807

2. Федоровский К.Ю. Nevanlinna domains and uniform approximation by polyanalytic polynomial modules Fields Institute Monographs, Fields Institute Communications, vol 87. Springer, Cham., 2023, pp. 207-227 (год публикации - 2023)
10.1007/978-3-031-39270-2_6

3. Багапш А.О. Perturbation method for strongly elliptic second order systems with constant coefficients Ufa Mathematical Journal, Vol. 15, No. 4, Pp. 21-30 (год публикации - 2023)
10.13108/2023-15-4-21

4. Багапш А.О., Федоровский К.Ю., Мазалов М.Я. On Dirichlet problem and uniform approximation by solutions of second-order elliptic systems in R^2 Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol. 531,Issue 1, Part 2, 127896 (год публикации - 2024)
10.1016/j.jmaa.2023.127896

5. Федоровский К.Ю. Uniform approximation by polynomial solutions of elliptic systems on boundaries of Caratheodory domains in R^2 Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 44, No. 4, Pp.1299-1310 (год публикации - 2023)
10.1134/S199508022304008X

6. Мазалов М.Я. О \gamma_L-емкостях канторовых множеств Алгебра и Анализ (переводная версия, индексируемая в базах данных: St. Petersburg Mathematical Journal), Том 35, No. 5, С.171-182 (год публикации - 2023)

7. Мазалов М.Я. О соизмеримости некоторых емкостей с гармоническими Успехи математических наук (переводная версия, индексируемая в базах данных: Russian Mathematical Surveys), Том 78, вып. 5, С.183-184 (год публикации - 2023)
10.4213/rm10104

8. Кармона Д.Д., Федоровский К.Ю. Caratheodory sets in the plane Memoirs of the European Mathematical Society, Vol. 14, pp. i-viii and 1-138 (год публикации - 2024)
10.4171/MEMS/14

9. Н. Аркоцци, П.А. Мозоляко, К.-М. Перфект, Д. Сарфатти Bi-parameter potential theory and Carleson measures for the Dirichlet space on the bidisc Discrete Analysis, 2023:22, 58 pp. (год публикации - 2024)
10.19086/da.91187

10. Белов Ю.С., Семенов А.В. Frame set for shifted sinc-function Applied and Computational Harmonic Analysis, vol. 71, id. 101654 (год публикации - 2024)
10.1016/j.acha.2024.101654

11. Бочков И.А. Локализация тригонометрических полиномов и лемма Лева-Целищева Алгебра и Анализ (переводная версия, котороя учитывается международными базами данных St. Petersburg Mathematical Journal) (год публикации - 2025)

12. Романов Р.В. Functional Description of a Class of Quasi-Invariant Determinantal Processes Annales Henri Poincare, Annales Henri Poincare, Online First, https://doi.org/10.1007/s00023-024-01510-6 (год публикации - 2024)
10.1007/s00023-024-01510-6

13. Мазалов М.Я. О емкостях, соизмеримых с гармоническими Математический сборник / Sbornik: Mathematics, том 215, номер 2, стр. 120–146 (год публикации - 2024)
10.4213/sm9904

14. Белов Ю.С., Боричев А.А., Кузнецов А.C. Exponential approximation and meromorphic interpolation Алгебра и Анализ (переводная версия, котороая учитывается зарубежными базами данных St. Petersburg Mathematical Journal) (год публикации - 2025)

15. Мазалов М.Я., Парамонов П.В., Федоровский К.Ю. Критерии C^m-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R^N и связанные с ними емкости Успехи математических наук / Russian Mathematical Surveys, том 79, выпуск 5(479), стр. 101–177. (год публикации - 2024)
10.4213/rm10177

Публикации

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В 2024 году в рамках проекта 22-11-00071 «Аппроксимация аналитическими функциями, интерполяция и сэмплинг, свойства L-емкостей» изучались вопросы аппроксимации функций решениями однородных эллиптических уравнений Lf=0 второго порядка на компактах в R^N, N>1, и связанная с ними задача о свойствах BL- и CL-емкостей. Эти емкости определяются классами ограниченных и непрерывных решений таких уравнений, соответственно, а терминах этих емкостей описываются устранимые особенности решений однородных эллиптических уравнений второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами и формулируются критерии равномерной приближаемости функций решениями таких уравнений. В 2024 году завершена и опубликована работа в которой для всех рассматриваемых дифференциальных операторов L установлена соизмеримость указанных емкостей между собой и с классической гармонической емкостью (с точностью до положительной постоянной, зависящей только от дифференциального оператора). Из этого результата, в частности, вытекает счетная субаддитивность рассматриваемых емкостей. Также в 2024 году была подготовлена и опубликована работа, в которой критерии C^m-приближаемости функций решениями однородных эллиптических уравнений второго порядка на компактах в R^N, N>1, были систематизированы и единым образом изложены для всех размерностей N и порядков гладкости m при m<2 (для больших значений порядка гладкости соответствующие критерии были известны ранее). Эти две работы завершили значительный этап развития теории приближений аналитическими функциями, причем результат о соизмеримости BL- и CL-емкостей с гармонической емкостью является существенным прорывом в рассматриваемой тематике. Получены новые необходимые и достаточные условия равномерной приближаемости функций элементами рациональных модулей полианалитического типа, порожденных генераторами достаточно общего вида (в этой задаче речь идет об аппроксимации функциями вида fg+h, где f и h – рациональные функции с полюсами, лежащими вне компактов, на которых рассматривается аппроксимация, а g – функция генератор соответствующего модуля). Доказано, что на любом компакте X в комплексной плоскости всякая функция, непрерывная на X и голоморфная во внутренних точках X может быть равномерно на X с любой точностью приближена функциями fg+h рассматриваемого вида для достаточно широкого класса генераторов g (включающего, в частности, все антиголоморфные целые функции). Получены новые важные результаты в частотно-временном анализе. Установлено, что для некоторого класса оконных функций g с компактным носителем для всех решеток с иррациональной плотностью большей чем 1 соответствующая система из частотно-временных сдвигов — фрейм Габора. Также получены новые критерии фреймовости для рациональных плотностей и оконных функций данного вида. В отчетном периоде исследовались операторы типа Харди, порожденные весовыми потенциалами на решетках размерности два и три, и на произведении двух деревьев. Изучалась ограниченность действия такого оператора на пространстве функций на ребрах, суммируемых с квадратом (то есть оценка нормы квадрата второй или третьей производной потенциала через энергию меры), описание пар мер и весов, которые обеспечивают ограниченность такого вложения. Была получена переформулировка известных условий (три теста на потомках/предках ребра/вершины) в терминах емкостей, порожденных мерой и весом соответственно. Получены оценки для энергии меры на произведении двух деревьев в нелинейном случае. Рассмотрена задача о построении функции Грина для кососимметрической сильно эллиптической системы второго порядка с постоянными коэффициентами в областях, ограниченных аналитическими кривыми. Изучаемая система тесно связана с плоским уравнением Ламе для анизотропной среды, описывающим деформацию в упругом теле. С помощью модификации известного метода функции Шварца, применяемого при решении задачи Дирихле для уравнения Лапласа, дано представление функции Грина для кососимметрической системы через функции Шварца граничных кривых. В качестве примеров найдена функция Грина для угла, полосы и областей, ограниченных кривыми второго порядка. Дано описание пространства целых функций фоковского типа с нулями в половине половине целочисленной решетки, в терминах известного в физике твердого тела преобразования Зака и соответствующих тета-функций Якоби. Установлена граница применимости подхода, основанного на локализации тригонометрических полиномов, в важной для теории передачи сигналов и частотно-временном анализе задаче о построении квази-базисов из сдвигов одной и той же функции в пространствах суммируемых функций.

Публикации

Возможность практического использования результатов
Найденный новый класс оконных функций (сдвинутая sinc-функция и сумма спектральных сдвигов ядра Коши) для которых фрейм-множество для соответствующей системы из частотно-временных сдвигов максимально возможно (пересечение гиперболы и полуплоскости) может быть использован в задачах анализа сигналов, имеющих прикладное значение. Результат опубликован в престижном прикладном журнале (Applied and Computational Harmonic Analysis, Q1). Полученные результаты о соизмеримости емкостей, определяемых общими однородными эллиптическими дифференциальными операторами второго порядка с постоянными комплексными коэффициентами, и развитые при их доказательстве новые методы работы с четными ядрами, могут быть востребованы в дальнейших исследованиях по комплексному и гармоническому анализу и теории потенциала и, в будущем, могут быть полезны для разработки или обоснования новых методов анализа и синтеза сигналов. Эти результаты опубликованы в авторитетных российский математических журналах «Успехи математических наук» (Q1) и «Математический сборник» (Q2).