Теоретические и практические задачи теории приближений и гармонического анализа

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00129

НазваниеТеоретические и практические задачи теории приближений и гармонического анализа

Руководитель Алимов Алексей Ростиславович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-109 - Вещественный и функциональный анализ

Ключевые слова многомерный тригонометрический ряд Фурье, солнце, чебышёвский центр, суммы характеров, квадратичные вычеты, параметр стохастичности, ряды по синусам, монотонные коэффициенты, ядро Дирихле, экстремальные задачи, ридж функции, колмогоровский поперечник, универсальная функция, большие данные, жадный алгоритм

Код ГРНТИ27.25.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на решение ряда актуальных задач теории приближений и гармонического анализа и получение различных приложений в теории поперечников, теории чисел, жадных приближениях, теории ридж-функций и вычислительной математике. Ридж-функции (``плоские волны'') играют важнейшую роль в задачах математической физики, компьютерной томографии, исследованиях нейронных сетей, теории обучения и в ряде других прикладных и теоретических вопросов. Ярким примером является решение уравнения колебаний струны, которое фактически представляет собой сумму ридж-функций. Одной из задач настоящего исследования является представление функций в виде конечной суммы ридж-функций и аппроксимация функций такими суммами. Эта тематика широка и многообразна, но мы надеемся обнаружить некоторые ранее неизвестные свойства конечных сумм ридж-функций и использовать эти свойства в задачах представления и аппроксимации. Следующий круг задач в рамках проекта относится к изучению тригонометрических рядов с коэффициентами из специальных классов. Систематические исследования тригонометрических рядов восходят к Ж.-Б. Фурье (1807), который предложил метод разложения в ряды по синусам решения краевой задачи для уравнения теплопроводности. С тех пор ряды по синусам и общие тригонометрические ряды стали мощным инструментом при решении задач математической физики и задач теории приближения функций. Важную роль в теории тригонометрических рядов играет исследование рядов по синусам (по косинусам) с монотонными стремящимися к нулю коэффициентами. Интерес к таким рядам связан, в первую очередь, с тем, что многие специальные ряды, возникающие в приложениях, имеют монотонные коэффициенты. Кроме того, поскольку такие ряды сходятся в каждой точке, то возникает возможность провести довольно полное их исследование. Несмотря на то, что ряды по синусам с монотонными коэффициентами с качественной точки зрения хорошо изучены, в последнее время активно исследуются задачи, связанные с уточнением асимптотики сумм таких рядов, поиском точных постоянных в классических оценках и их дифференциальным свойствами. Ряд таких вопросов планируется рассмотреть в проекте. Также будут рассмотрены задачи, связанные многомерными тригонометрическими рядами. В частности, будет исследован вопрос о существовании интегрируемой периодической функции многих переменных с универсальным рядом Фурье. Используя современный аппарат гармонического анализа и, в частности, оценки тригонометрических сумм, в проекте планируется изучить параметр стохастичности множества квадратичных вычетов по заданному модулю. Данная задача была поставлена В.И. Арнольдом и представляет большой интерес, в частности, для специалистов по теории чисел и аддитивной комбинаторике. Изучение этого вопроса требует одновременного рассмотрения аддитивной и мультипликативной структур целых чисел (колец вычетов, полей), что присуще многим современным задачам теории чисел. Другой задачей проекта является исследование структурных свойств солнц, чебышёвских множеств и близких к ним множеств в банаховых и несимметрично нормированных пространствах, причем как в классическом случае наилучшего приближения, так и в менее исследованном случае max-аппроксимации. Теоремы теории приближений и max-приближений отвечают на классические вопросы существования, единственности, устойчивости наилучшего min- и max-приближения. В частности, будут получены прямые и обратные теоремы теории приближений для случая солнц. ``Солнца'' (множества Колмогорова) обладают важными характеристическими признаками и свойствами отделимости и имеют ряд новых приложений в задаче описания решений уравнения эйконала. В проекте особое внимание будет уделяться свойству монотонной линейной связности множеств. Это свойство было введено руководителем проекта А.Р. Алимовым (2005 г.) и показало свою значимость при исследовании аппроксимативно-геометрических свойств множеств, особенно в пространствах с равномерной нормой и в ряде других пространств. Также важную роль будут играть задачи теории приближений в несимметрично нормированных пространствах. Задачи, относящиеся к несимметричным приближениям, имеют давнюю историю, но в связи с новыми междисциплинарными постановками выходят на новый уровень. В частности, будут рассмотрены вопросы единственности чебышёвских и относительных чебышёвских центров в несимметрично нормированных пространствах, и ряд задач геометрической теории приближений. Жадные алгоритмы восстановления данных относятся к итерационным методам восстановления данных, в которых на каждой итерации выбирается локально оптимальное решение для построения приближения, и этот процесс повторяется достаточное количество раз, пока не будет получено почти оптимальное решение. Жадные алгоритмы универсальны и могут быть достаточно естественно сформулированы в самых разных ситуациях; в ряде случаев известны их эффективные реализации (как в смысле теоретической обоснованности, так и смысле скорости практической работы). В настоящее время теория жадных алгоритмов активно развивается и имеет многочисленные приложения, в частности, в вычислительной математике. В проекте будут изучаться различные жадные алгоритмы для ситуаций с неполной информацией о приближаемом векторе, а также будет исследован новый подход, связанный в коррекцией жадного алгоритма для обеспечения его сходимости в широком классе пространств Ефимова--Стечкина. Кроме того, планируется развивать некоторые другие направления исследований, находящиеся на стыке теории приближений, гармонического анализа и теории восстановления функций многих переменных по данным измерений. Последнее представляется особенно актуальным в связи с тем огромным значением, которое в данный момент приобрела работа с большими данными. Упомянем две конкретные задачи в рамках проекта: изучение возможности построения эффективных алгоритмов восстановления ридж-функций по зашумленным измерениям (преодоление так называемого проклятия размерностей) и получение оценок наилучшего приближения данной (конечной) системы функций конечномерным подпространством невысокой размерности (т.е.\ исследование величины поперечника по Колмогорову октаэдра, порожденного этой системой). Данные исследования вызваны к жизни работами последних лет в области многомерной теории приближений и рядом ярких результатов в теории сложности вычислений, связанных с так называемой жесткостью матриц. В проекте получат развитие новые методы и приемы как в самой теории приближения и гармоническом анализе, так и в теории функций, экстремальных задачах, теории чисел, теории поперечников, и вычислительной математике. Помимо фундаментальной значимости полученные результаты будут иметь приложения в вычислительной математике, теории сложности, машинном обучении и задачах, связанных с большими данными.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. А.Р. Алимов Universality theorems for asymmetric spaces Infinite Dimensional Analysis, Quantum Probability and Related Topics, Art No 2250017, P.11 (год публикации - 2022)
10.1142/S0219025722500175

2. С.В. Конягин О сходимости подпоследовательности частных сумм тригонометрического ряда Фурье по Прингсхейму Труды Института математики и механики УрО РАН, Том 28 № 4 2022 (год публикации - 2022)
10.21538/0134-4889-2022-28-4-121-127

3. Ю.В. Малыхин Полное описание относительных поперечников классов Соболева в равномерной метрике Труды Института математики и механики УрО РАН (год публикации - 2022)
10.21538/0134-4889-2022-28-4-137-142

4. А.Р. Алмиов Томографические характеризационные теоремы для солнц в трехмерных пространствах Труды Института математики и механики УрО РАН, Т. 28(2), C.45-55 (год публикации - 2022)
10.21538/0134-4889-2022-28-2-45-55

5. А.Р.Алимов, И.Г.Царьков Classical Problems of Rational Approximation Doklady Mathematics,, 2022, T. 506, № 1, стр. 5-8 (год публикации - 2022)
10.1134/S1064562422050040

6. О.С.Кудрявцева Точные области взаимного изменения коэффициентов голоморфных отображений круга в себя с неподвижными точками Известия высших учебных заведений. Математика (год публикации - 2022)

7. А.Ю.Попов, В.Б.Шерстюков Lower bound for minimum of modulus of entire function of genus zero with positive roots in terms of degree of maximal modulus at frequent sequence of points Ufa Mathematical Journal, Vol. 14. No 3 P. 76-95. (год публикации - 2022)
10.13108/2022-14-3-76

8. В. В. Горяйнов, О. С. Кудрявцева, А. П. Солодов Итерации голоморфных отображений, неподвижные точки и области однолистности Успехи математических наук, УМН, 2022, том 77, выпуск 6(468), страницы 3–68 ( (год публикации - 2022)
10.4213/rm10072

9. А.Ю. Попов О научных контактах с Сергеем Александровичем Теляковским Труды Института математики и механики УрО РАН, Том 28 № 4 2022 (год публикации - 2022)
10.21538/0134-4889-2022-28-4-164-176

Публикации

1. М. Д. Ковалёв, А. А. Кулешов О некоторых свойствах непрерывных монотонных функций Математические заметки, Т. 113:6 (2023), 945–949 (год публикации - 2023)
10.4213/mzm13947

2. А. Р. Алимов, К. С. Рютин, И. Г. Царьков Вопросы существования, единственности и устойчивости наилучших и почти наилучших приближений Успехи математических наук, Т.78:3(471) (2023), 3–52 (год публикации - 2023)
10.4213/rm10113

3. А. Р. Алимов Strict Protosuns in Asymmetric Spaces of Continuous Functions Results in Mathematics, 78, 95 (2023). (год публикации - 2023)
10.1007/s00025-023-01876-9

4. А. Р. Алимов On local properties of spaces implying monotone path-connectedness of suns Journal of Analysis, 31 (2023), 2287–2295 (год публикации - 2023)
10.1007/s41478-023-00564-9

5. М. Г. Григорян, С. В. Конягин О рядах Фурье по кратной тригонометрической системе Успехи математических наук, 78:4(472) (2023), 201–202Успехи математических наук (год публикации - 2023)
10.4213/rm10112

6. С.В. Конягин О сходимости подпоследовательности частных сумм многомерного тригонометрического ряда Фурье по Принсхейму Труды Математического института имени В. А. Стеклова, т. 323, с. 1–14 (год публикации - 2023)
10.4213/tm4357

7. Е. А. Савинова Множества в $\mathbb {R}^n$, монотонно линейно связные в некоторой норме Вестник Московского университета. Серия 1: Математика. Механика, номер 1, страницы 53–55 (год публикации - 2023)
10.55959/MSU0579-9368-1-2023-1-53-55

8. А. Ю. Попов, Т. Ю. Семенова Уточнение оценки скорости равномерной сходимости ряда Фурье непрерывной периодической функции ограниченной вариации Математические заметки, 113:4 (2023), 544–559 (год публикации - 2023)
10.4213/mzm13743

9. Алимов А.Р. Approximative Solar Properties of Sets and Local Geometry of the Unit Sphere Lobachevskii Journal of Mathematics (год публикации - 2023)

10. А. М. Мусаева Построение инвариантных норм Ляпунова планарных динамических систем Математический сборник, 2023, том 214, номер 9, страницы 27–57 (год публикации - 2023)
10.4213/sm9821

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Даны оценки модуля производной суммы произвольного синус-ряда с выпуклой последовательностью коэффициентов. Оценка сверху асимптотически точна, а снизу – точна по порядку. Полученные результаты дают хорошую оценку вариации суммы синус-ряда с выпуклой последовательностью коэффициентов на отрезках малой длины. Исследованы планарные линейные непрерывные системы с ограничениями на время переключения, для планарных систем из двух матриц найден алгоритм построения инвариантной мультинормы. Изучено асимптотическое поведение последовательности тригонометрических функций, возникшей недавно в теории эллиптических функционально-дифференциальных уравнений. Предложен элементарный подход к нахождению точных значений соответствующей предельной функции в последовательности точек, образованной степенями двойки. Показано, что произвольный тригонометрический полином со спектром во множестве $\{n^3: N\leq n\leq N+N^{2/3-\epsilon} \}$ ("во множестве кубов на коротком интервале") имеет экстремально малую L_4-норму. Построен новый жадный алгоритм по биортогональным системам в сепарабельных банаховых пространствах, для такого алгоритма показана сходимость к исходному элементу в пространствах Ефимова—Стечкина (рефлексивных пространствах Кадеца-Кли). Получены обобщения на случай несимметричных пространств таких классических понятий теории приближений, как аппроксимативная компактность и устойчивость метрической проекции, изучены взаимосвязи между этими понятиями. Дается следующий частичный ответ на известную проблему Ефимова--Стечкина--Кли о выпуклости чебышёвских множеств: в гильбертовом пространстве не более, чем счетное объединение (аффинных) плоскостей является чебышёвским множеством, если и только если это объединение само является чебышёвской плоскостью. Полностью изучен вопрос о чебышёвских свойствах множеств, составленных из плоскостей. Получены достаточные условия жесткости в слабых метриках. Представлен подход к доказательству жесткости функций, основанный на свойстве дополняемости. Даны явные конструкции жестких множеств. Доказана жёсткость в l_q, q из (1,2], для множеств матриц, инвариантных относительно перестановок строк, перестановок столбцов, а также изменения знака целиком во всей строке или столбце.

Публикации

1. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Chebyshev unions of planes, and their approximative and geometric properties Journal of Approximation Theory, J. Approx. Theory, 298 (2024), 106009 , 12 pp (год публикации - 2024)
10.1016/j.jat.2023.106009

2. Алферова Е.Д., Шерстюков В.Б. О вычислении предела специальной последовательности тригонометрических функций Математические заметки, 2024, том 115, выпуск 2, страницы 298–303 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14160

3. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Чебышёвские множества, составленные из объединения подпространств в несимметрично нормированных пространствах Известия Российской академии наук. Серия математическая, Изв. РАН. Сер. матем., 88:6 (2024), 23–43 (год публикации - 2024)
10.4213/im9570

4. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Классические понятия теории приближений в несимметричных CLUR-пространствах Математические заметки, Математические заметки, 2024, том 116, выпуск 3, страницы 339–354 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14266

5. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Монотонно линейно связные множества в геометрической теории приближения и ее приложениях Математика и теоретические компьютерные науки, 2:2 (2024), 30-46 (год публикации - 2024)
10.26907/2949-3919.2024.2.30-46

6. Алимов А.Р., Строгие солнца, составленные из плоскостей Труды Института математики и механики УрО РАН, 2024. Т. 30, № 4. С. 27-36 (год публикации - 2024)
10.21538/0134-4889-2024-30-4-27-36

7. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Чебышёвские множества, являющиеся объединением плоскостей Успехи математических наук, УМН, 79:2(476) (2024), 183–184 (год публикации - 2024)
10.4213/rm10167

8. Габдуллин М.Р., Конягин С.В. Trigonometric Polynomials with Frequencies in the Set of Cubes Математические заметки, 115:3 (2024), 336–340 (год публикации - 2024)
10.1134/S0001434624030052

9. Малыхин Ю.В. Поперечники и жесткость Математический сборник, 215:4 (2024), 117–148 (год публикации - 2024)
10.4213/sm9958

10. Светлов Ю.П. Сходимость регуляризованных жадных аппроксимаций Известия Российской академии наук. Серия математическая, т.89, №2 (год публикации - 2025)

11. Алимов А.Р., Царьков И.Г. Connectedness and approximative properties of sets in asymmetric spaces Filomat, Filomat, 38:9 (2024), 3243–3259 (год публикации - 2024)
10.2298/FIL2409243A

12. Алимов А.Р. Balayage theorems for connectedness problems in uniformly convex spaces Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, Volume 50, Number 1, 2024, Pages 53–61 (год публикации - 2024)
10.30546/2409-4994.2024.50.1.53

13. Габдуллин М.Р. Trigonometric polynomials with frequencies in the set of squares and divisors in a short interval Journal of Fourier Analysis and Applications, (2024) 30:2 (год публикации - 2024)
10.1007/s00041-023-10064-w

14. Малыхин Ю.В., Рютин К.С. Polynomial approximation on disjoint segments and amplification of approximation Journal of Approximation Theory, Volume 298, March 2024, 106010 (год публикации - 2024)
10.1016/j.jat.2023.106010

15. Попов А.Ю. Двусторонняя оценка производной суммы ряда по синусам с выпуклой последовательностью коэффициентов Математический сборник, 2024, том 215, номер 10, страницы 114–145 (год публикации - 2024)
10.4213/sm10032

16. Попов А.Ю. Оценка снизу в среднем минимума модуля на окружностях для целой функции нулевого рода Современная математика. Фундаментальные направления, 2024, том 70, выпуск 1, страницы 150–162 (год публикации - 2024)
10.22363/2413-3639-2024-70-1-150-162

17. Алферова Е.Д., Попов А.Ю. Экстремальная задача о положительности интегралов от синус-рядов с монотонными коэффициентами Математические заметки, 2024, том 116, выпуск 2, страницы 316–320 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14309