Динамика, оптимальность и особенности в геометрической теории управления и ее приложениях

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00140

НазваниеДинамика, оптимальность и особенности в геометрической теории управления и ее приложениях

Руководитель Сачков Юрий Леонидович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт программных систем им. А.К. Айламазяна Российской академии наук , Ярославская обл

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-204 - Математические проблемы теории управления

Ключевые слова Геометрическая теория управления, оптимальное управление, субриманова геометрия, динамика геодезического потока, особенности

Код ГРНТИ27.37.17

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на разработку новых методов геометрической теории управления для решения важных открытых задач динамики, оптимального управления и особенностей в нелинейных неголономных системах и их приложениях в мобильной робототехнике, моделях зрения, квантовой механике, интерполяции и нейронных сетях. Теоретическая траектория проекта «динамика-оптимальность-особенности», с одной стороны, соединяет между собой центральные проблемы математической теории управления, а с другой стороны, обозначает ее связи с теорией динамических систем и теорией особенностей. Основное для нас звено этой траектории --- исследование задачи оптимального управления как ключевой задачи геометрической теории управления. Новые задачи, возникающие в теории управления и ее приложениях, требуют разработки новых методов исследования, которые предлагаются в данном проекте. Важный класс рассматриваемых в проекте задач составляют задачи субримановой (СР) геометрии. Актуальность исследования обусловлена тем, что, во-первых, для субримановых задач крайне мало исследованы вопросы динамики. В рамках данного проекта планируется исследование динамики субриманова геодезического потока в нескольких постановках: - динамика нормального субриманова геодезического потока на компактных однородных пространствах трехмерных групп Ли (инвариантные многообразия, эргодичность, характер возвращения --- периодические, всюду плотные, более сложно устроенные геодезические), - динамика регулярного анормального геодезического потока (полнота, интегрируемость, возвращение, инвариантные множества, характер проекций геодезических на плоскость распределения), - геометрия однородных анормальных геодезических (анормальные геодезические, однородные в смысле групп, сохраняющих метрику или только распределение; условия существования и отсутствия однородных геодезических; связь со строгой анормальностью). Во-вторых, планируется глубокое исследование вопросов оптимальности. Будут рассмотрены новые теоретические постановки: - оптимальное управление ансамблями точек, - индекс Морса второй вариации для общих задач оптимального управления с подвижными концами. Также планируется детальное исследование ряда важных левоинвариантных задач, с целью построения оптимального синтеза: - субримановы задачи на компактных трехмерных группах Ли и однородных пространствах, - левоинвариантная субриманова задача общего вида на группе SL(2,R), - левоинвариантная субриманова задача на центральном расширении группы SE(2), - двухступенная несвободная левоинвариантная субриманова задача, - вложение субримановых задач на трехмерных группах Ли в группу PSL(2,C), - финслерова задача на группе SE(2). В-третьих, понадобится привлечение новых методов (теории особенностей, вещественной аналитической геометрии, теории функций нескольких комплексных переменных, теории эллиптических функций и интегралов) для исследования особенностей в ряде нетривиальных субримановых задач: - особенности субримановых сфер и расстояний в задачах Мартине, Энгеля, Картана, - глобальная структура субриманова множества разреза на группе Картана, - особенности анормальных экстремалей в свободной группе Карно ранга 2 глубины 5. Первые две проблемы имеют повышенную сложность в виду наличия анормальных кратчайших и несубаналитичности сфер, а третья --- в виду большой глубины, до сих пор не исследовавшейся в субримановой геометрии. Помимо теоретических направлений, в проекте планируется детальное исследование ряда нетривиальных прикладных задач: - субримановы задачи для общих моделей колёсных роботов с прицепами, - гиперболическая модель цветового пространства, - ловушки в задачах оптимального управления квантовыми системами, - упругие сплайны и интерполяция, - глубокое обучение искусственных нейронных сетей. Точные постановки задач приведены в дополнительном файле, см. п. 4.13. Решение поставленных задач станет существенным развитием геометрической теории управления в направлении создания новых методов исследования трудных теоретических и прикладных проблем.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Сачков Ю.Л., Сачкова Е.Ф. Анормальные траектории в субримановой (2,3,5,8)-задаче Труды Математического института имени В. А. Стеклова (год публикации - 2023)

2. Сачков Ю.Л. Левоинвариантные задачи оптимального управления на группах Ли, интегрируемые в эллиптических функциях Успехи математических наук (год публикации - 2023)

3. Сачков Ю.Л. Субриманова сфера Картана Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления (год публикации - 2022)

4. Сачков Ю.Л., Сачкова Е.Ф. Сублоренцева задача на группе Гейзенберга Математические заметки (год публикации - 2023)

5. Сачков Ю.Л., Сачкова Е.Ф. Sub-Lorentzian distance and spheres on the Heisenberg group Journal of Dynamical and Control Systems, Journal of Dynamical and Control Systems, 29, p. 1129–1159 (2023) (год публикации - 2023)
10.1007/s10883-023-09652-2

6. Сачков Ю.Л. Лоренцева геометрия на плоскости Лобачевского Математические заметки, Математические заметки, т. 114, в. 1, с. 154–157, 2023 (год публикации - 2023)
10.4213/mzm13968

7. Сачков Ю.Л. Существование сублоренцевых длиннейших Дифференциальные уравнения, Дифференциальные уравнения, 59, 12, 2023 (год публикации - 2023)

8. Ардентов А.А., Артемова Е.М. Анормальные экстремали в субримановой задаче для общей модели робота с прицепом Математический сборник, Математический сборник, т. 214, н. 10, с. 3-24, 2023 (год публикации - 2023)
10.4213/sm9829

9. Сачков Ю.Л. Кривизна и изометрии лоренцевой плоскости Лобачевского Успехи математических наук (год публикации - 2024)

10. Маштаков А.П., Сачков Ю.Л. Time-Optimal Problem in the Roto-Translation Group with Admissible Control in a Circular Sector Mathematics, Mathematics 2023, 11, 3931 (год публикации - 2023)
10.3390/math11183931

11. Подобряев А.В. Homogeneous geodesics in sub-Riemannian geometry ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations, ESAIM: Control, Optimisation and Calculus of Variations 29 (2023) 11 (год публикации - 2023)
10.1051/cocv/2022086

12. Сачков Ю.Л. Lorentzian distance on the Lobachevsky plane Nonlinearity, Volume 37, Number 9, 35 pages (год публикации - 2024)
10.1088/1361-6544/ad67a0

13. Петухов В.С., Сачков Ю.Л. The Lorentzian Problem on 2-Dimensional de Sitter Space Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 15 pages (год публикации - 2024)
10.20537/nd241103

14. Галяев И.А., Маштаков А.П. A Cortical-Inspired Contour Completion Model Based on Contour Orientation and Thickness Journal of Imaging, 10(8):185, 16 pages (год публикации - 2024)
10.3390/jimaging10080185

15. Локуциевский Л.В., Подобряев А.В. Existence Theorem for Sub-Lorentzian Problems Journal of Dynamical and Control Systems, Volume 30, article number 10, 12 pages (год публикации - 2024)
10.1007/s10883-024-09694-0

16. Сачков Ю.Л., Сачкова Е.Ф. Оптимальные траектории в \alpha-плоскости Грушина Дифференциальные уравнения, том 61, № 1 (год публикации - 2025)

17. Аграчев А.А. “Good Lie Brackets” for Control Affine Systems Journal of Dynamical and Control Systems, Volume 30, article number 5, 19 pages (год публикации - 2024)
10.1007/s10883-023-09674-w

18. Степанов Д.Н., Подобряев А.В. Numerical Solution of a Left-Invariant Sub-Riemannian Problem on the Group SO(3) Russian Journal of Nonlinear Dynamics, 36 pages (год публикации - 2024)
10.20537/nd241005

19. Сачков Ю.Л. Сублоренцева геометрия на распределении Мартине Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления., Т. 517, №1, C. 38-40. (год публикации - 2024)
10.31857/S2686954324030068

20. Глюцук А.А., Сачков Ю.Л. Субримановы геодезические на трехмерном нильмногообразии Гейзенберга Успехи математических наук (год публикации - 2025)

Публикации

12. Сачков Ю.Л. Lorentzian distance on the Lobachevsky plane Nonlinearity, Volume 37, Number 9, 35 pages (год публикации - 2024)
10.1088/1361-6544/ad67a0

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
(1) Динамика (1.1) Субриманов геодезический поток на компактных однородных пространствах Исследован субриманов геодезический поток на компактных однородных пространствах групп SO(3) и SL(2). Для субриманова геодезического потока на трехмерном нильмногообразии Гейзенберга классифицированы случаи глобального поведения геодезических. Для этого потока доказана неинтегрируемость по Лиувиллю на всем кокасательном расслоении нильмногообразия и интегрируемость в дополнении к нулевой поверхности уровня функции Казимира. (1.3) Однородные анормальные геодезические Для субримановых структур на группах Карно глубины 5 изучались анормальные экстремали, удовлетворяющие условию Гоха. Более подробно исследовались хорошие анормальные экстремали, заданные автономной гамильтоновой системой. Получено условие на такие экстремали в терминах бивектора Пуассона. Доказано, что все хорошие анормальные геодезические не могут быть однородны относительно группы преобразований, сохраняющих распределение. (2) Оптимальность (2.1) Финслерова (риманова) задача на SE(2) Исследована риманова задача на группе SE(2), в которой множество управлений есть эллипсоид (шар). Найдена явная параметризация экстремальных траекторий, описаны дискретные симметрии экспоненциального отображения и соответствующие точки Максвелла. В случае, когда множество управлений есть шар, полностью построен оптимальный синтез. Для случая, когда множество управлений есть октаэдр, получена классификация экстремальных управлений. (2.2) Общая субриманова задача на группе Ли SL(2,R) Для общей субримановой задачи на группе Ли SL(2,R) получены следующие результаты: явный вид кратчайших для специальных граничных условий; алгоритм и программа решения двухточечной граничной задачи управления. На основе анализа оптимальности геодезических для специального класса граничных условий найден явный вид кратчайших. На основе уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана разработан алгоритм и программа поиска кратчайших для общих граничных условий. (2.3) Субриманова задача на центральном расширении группы Ли SE(2) Для субримановой задачи на центральном расширении группы Ли SE(2) получены следующие результаты: оценка времени потери оптимальности геодезических; явный вид кратчайших для специальных граничных условий; алгоритм и программа поиска кратчайших в общем случае. Алгоритм и программа основаны на вязкостном решении системы Гамильтона-Якоби-Беллмана. Исследовано приложение в моделировании зрения человека при восстановлении скрытых контуров. (2.4) Двухступенная несвободная нильпотентная субриманова задача Рассматривалась субриманова задача на двуступенной группе Карно с вектором роста распределения (k+l, k+l+kl). Описаны симметрии экспоненциального отображения. Доказано, что замыкание множества Максвелла для симметрий совпадает со множеством первых сопряженных точек. Получена оценка сверху на время разреза (время потери оптимальности нормальных геодезических). (2.5) Субримановы задачи на компактных трехмерных группах Ли и однородных пространствах Для субримановых геодезических на компактных однородных пространствах групп SO(3) и SL(2) исследована оптимальность. Для субримановой структуры на нильмногообразии Гейзенберга исследованы минимальный радиус субриманова шара, содержащего нильмногообразие Гейзенберга, и максимальный радиус субримановых шаров в группе Гейзенберга с центрами в точках целочисленной группы Гейзенберга, при котором эти шары не пересекаются. (2.6) Субримановы структуры на трехмерных унимодулярных группах Ли и их связи между собой Получен оптимальный синтез в серии левоинвариантных осесимметричных лоренцевых задач на универсальной накрывающей группы Ли SL(2,R), вычислены важные геометрические характеристики соответствующих метрик. В однопараметрическом семействе субримановых задач на группе Ли SO(3) найдены множества разреза. Получен признак существования оптимального решения на множестве достижимости для регулярных (суб-)лоренцевых структур. (4) Приложения (4.1) Упругие сплайны и интерполяция Для задачи построения интерполяционного упругого сплайна в виде оптимальной эластики, проходящей через последовательно заданные пять точек, разработаны алгоритм и программа. После тестирования программы описаны компактные множества допустимых положений для второй и четвертой точки, при которых искомый упругий сплайн корректно строится. (4.2) Гиперболическая модель цветового пространства Для гиперболической модели цветового пространства получены следующие результаты: время потери оптимальности геодезических; явный вид кратчайших для специальных граничных условий; алгоритм и программа решения двухточечной граничной задачи управления в общем случае. Явный вид кратчайших найден путем обращения экспоненциального отображения. Для граничных условий общего вида разработана программа, находящая кратчайшую методом стрельбы. (4.3) Субримановы задачи для общих моделей колёсных роботов с прицепами В субримановой задаче для модели колёсного робота с тремя прицепами изучен анормальный случай принципа максимума Понтрягина, получены уравнения, определяющие анормальные траектории. Исследована управляемость моделей колёсного робота с четырьмя прицепами, найдены условия управляемости в зависимости от начального положения углов прицепов относительно робота и значений параметров, задающих вид сцепки робота с прицепами. (4.4) Ловушки в задачах оптимального управления квантовыми системами Для задачи оптимального управления трехуровневой системой Ландау-Зинера получены: - описание и параметризация экстремальных траекторий, - условия локальной и глобальной оптимальности экстремальных траекторий в терминах сопряженных точек и точек Максвелла, - доказано отсутствие ловушек (локальных экстремумов функционала качества, не являющихся глобальными экстремумами). (4.5) Глубокое обучение искусственных нейронных сетей Для гладкой аффинной по управлениям системы описаны хорошие комбинации скобок Ли и, в частности, все универсальные хорошие комбинации, которые хороши для любой нильпотентной проекции любой системы. Векторные поля называются хорошими, если система может сколь угодно хорошо аппроксимировать движение в направлении любого полинома скобок Ли от этих векторных полей. Информационные ресурсы в сети Интернет, посвященные проекту http://control.botik.ru/?lang=ru

Публикации

12. Сачков Ю.Л. Lorentzian distance on the Lobachevsky plane Nonlinearity, Volume 37, Number 9, 35 pages (год публикации - 2024)
10.1088/1361-6544/ad67a0

Возможность практического использования результатов
Имеются основания считать, что результаты проекта в прикладных направлениях (мобильная робототехника, модели зрения) будут использованы на практике для моделирования систем управления и систем технического зрения в колесных роботах.