Исследование и создание численных методов для интегральных и интегро-алгебраических уравнений с приложением к задачам энергетики

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00173

НазваниеИсследование и создание численных методов для интегральных и интегро-алгебраических уравнений с приложением к задачам энергетики

Руководитель Булатов Михаил Валерьянович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт динамики систем и теории управления имени В.М. Матросова Сибирского отделения Российской академии наук , Иркутская обл

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-206 - Вычислительная математика

Ключевые слова численные методы, интегральные уравнения первого рода, интегро-алгебраические уравнения, переменные пределы интегрирования, математические модели электроэнергетических систем, некорректные задачи

Код ГРНТИ27.41.19

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
К настоящему времени проблемы энергосбережения являются одними из ключевых в российской и мировой экономике. Для решения таких задач широко применяются методы математического моделирования. Существующие подходы в недостаточном объеме учитывают специфику технических объектов в энергетике, которая включает, в том числе, требования к быстродействию и эффективности вычислительных алгоритмов. Заявленные в проекте математические модели описывают целый ряд тепло- и электроэнергетических систем и включают в себя различные классы интегральных уравнений типа Вольтерра первого рода с переменными верхним и нижним пределами интегрирования; уравнений, связанных с использованием рядов Вольтерра; системы взаимосвязанных интегральных уравнений Вольтерра первого и второго родов, в том числе с двумя переменными пределами интегрирования и различными особенностями в ядре. Последний тип таких задач можно записать в виде системы интегральных уравнений с тождественно вырожденной матрицей перед главной частью. Такие постановки задач принципиально отличаются от классических задач второго рода: они являются некорректными, т.е. могут либо не иметь решения, либо иметь множество решений, и нет непрерывной зависимости от возмущения входных данных. Здесь под решением понимается классическое решение или обобщенное решение. К настоящему времени для задач, обозначенных в проекте, качественная теория - вопросы существования, единственности решения - являются малоизученными, а численные методы для такого типа задач практически не развиты. Исключение составляют только некоторые виды интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Основное направление проекта - это формулировка условий существования (существования и единственности) решения заявленных задач в различных классах функций и создание численных методов приближенного их решения с учетом специфики. Полученные теоретические результаты предполагается применить для идентификации и моделирования динамических (развивающихся) систем в тепло- и электроэнергетике.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Булатов М.В., Солодуша С.В. Об одном классе нелинейных интегро-алгебраических уравнений Вольтерра I рода Материалы Междунар. конф. "Теория оптимального управления и приложения"(OCTA-2022), Екатеринбург: ИММ УрО РАН, Изд-во УМЦ УПИ, с. 35-38 (год публикации - 2022)

2. Антипина Е.Д., Булатов М.В., Бирюков В.В. Блочные методы для численного решения интегрального уравнения Вольтерра I род Proceedings of the 7th International Conference on Nonlinear Analysis and Extremal Problems (NLA-2022), Irkutsk: ISDCT SB RAS, с. 4-6 (год публикации - 2022)

3. Булатов М.В., Ботороева М.Н. Построение и исследование неклассических разностных схем для интегральных уравнений Вольтерра II рода Неустойчивые задачи вычислительной математики : тезисы докладов семинара с международным участием. Иркутск, 15–19 августа 2022 г., с.14 (год публикации - 2022)

4. Булатов М. В., Будникова О. С. О построении многошаговых методов для дифференциально-алгебраических уравнений второго порядка Неустойчивые задачи вычислительной математики: тезисы докладов семинара с международным участием. Иркутск, 15–19 августа 2022 г., с.15 (год публикации - 2022)

5. Булатов М.В. Дифференциально-алгебраические уравнения как класс некорректных задач Неустойчивые задачи вычислительной математики : тезисы докладов семинара с международным участием. Иркутск, 15–19 августа 2022 г., с.13 (год публикации - 2022)

6. Булатов М. В., Ботороева М. Н. О существовании и единственности непрерывного решения интегро-алгебраических уравнений с переменными пределами интегрирования Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: Сборник материалов X Международной научной молодежной школы-семинар имени Е. В. Воскресенского (Саранск, 14-18 июля 2022 г.), с.49-54 (год публикации - 2022)

7. Солодуша С.В. О новом классе двумерных интегральных уравнений I рода типа Вольтерра с переменными пределами интегрирования Труды Института математики и механики УрО РАН, № 4. Т. 28. C. 216–225 (год публикации - 2022)
10.21538/0134-4889-2022-28-4-216-225

8. Будникова О.С., Ботороева М.Н., Соколова Г.К. Построение областей устойчивости неявного метода для численного решения интегро-алгебраического уравнения типа Абеля Сибирский журнал вычислительной математики (год публикации - 2023)

9. Солодуша С.В., Коконова Ю.И. Simulation of Nonlinear Dynamic Processes with Volterra Polynomials and Continued Fractions Proceedings - 2023 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), Publisher: IEEE, 2023 International Conference on Industrial Engineering, Applications and Manufacturing (ICIEAM), pp. 967–971 (год публикации - 2023)
10.1109/ICIEAM57311.2023.10139168

10. Солодуша С.В. On a System of Linear Volterra Integral Equations with Variable Integration Limits Lobachevskii Journal of Mathematics, т. 44, № 3, с. 1229–1235 (год публикации - 2023)
10.1134/S1995080223030320

11. Солодуша С.В., Коконова Ю.И., Дударева О.В. Integral Models in the Form of Volterra Polynomials and Continued Fractions in the Problem of Identifying Input Signals Mathematics, № 23, T. 11, P. 4724-4734 (год публикации - 2023)
10.3390/math11234724

12. Солодуша С.В., Коконова Ю.И. Задача идентификации входного сигнала нестационарных динамических систем Материалы 5-й Международной конференции "Динамические системы и компьютерные науки: теория и приложения (DYSC 2023)", Иркутск: Изд-во ИГУ, с. 63-65 (год публикации - 2023)

13. Булатов М.В. On an Algorithm for the Numerical Solution of Integral-Algebraic Equations Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 44. pp. 542–547 (год публикации - 2023)
10.1134/S1995080223020129

14. Ботороева М.Н., Булатов М.В. Исследование устойчивости неклассических разностных схем для нелинейных интегральных уравнений Вольтерра II рода Журнал вычислительной математики и математической физики, Т. 63, №6. С. 881-890 (год публикации - 2023)
10.31857/S0044466923060054

15. Булатов М.В., Индуцкая Т.С. Численное решение дифференциально-алгебраических уравнений произвольного индекса с производной Римана-Лиувилля Вестник российских университетов. Математика, Т. 28, №141. С. 13-25 (год публикации - 2023)
10.20310/2686-9667-2023-28-141-13-25

16. Ботороева М.Н., Булатов М.В. О численном решении интегро-алгебраических уравнений, оба предела интегрирования которых переменные Материалы VIII Междунар. конф. «Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО23, Улан-Удэ, 26 июня – 01 июля 2023 г.), С. 23-25 (год публикации - 2023)
10.53980/9785907599970_23

17. Будникова О.С., Булатов М.В. О конструировании двухстадийных методов для численного решения интегро-алгебраических уравнений Материалы VIII Междунар. конф. «Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО23, Улан-Удэ, 26 июня – 01 июля 2023 г.), С. 26-28 (год публикации - 2023)
10.53980/9785907599970_26

18. Булатов М.В. О методах численного решения интегро-алгебраических уравнений Материалы VIII Междунар. конф. «Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО23, Улан-Удэ, 26 июня – 01 июля 2023 г.), С. 29-31 (год публикации - 2023)
10.53980/9785907599970_29

19. Булатов М.В., Соловарова Л.С. О разрешимости квазилинейных интегро-алгебраических уравнений Материалы VIII Междунар. конф. «Математика, ее приложения и математическое образование (МПМО23, Улан-Удэ, 26 июня – 01 июля 2023 г.), С. 32-34 (год публикации - 2023)
10.53980/9785907599970_32

20. Ботороева М.Н., Булатов М.В. Исследование интегро-алгебраических уравнений типа Вольтерра с переменным нижним пределом интегрирования at Понтрягинские чтения-XXXIV: Материалы Международной Воронежской весенней математической школы (Воронеж, 3-9 мая), С.83-84 (год публикации - 2023)

21. Будникова О.С., Булатов М.В. О построении экстраполяционных двухстадийных многошаговых методах для численного решения интегро-алгебраических уравнений Понтрягинские чтения-XXXIV: Материалы Международной Воронежской весенней математической школы (Воронеж, 3-9 мая), С.84-85 (год публикации - 2023)

22. Индуцкая Т.С. Численное решение систем дифференциальных уравнений дробного порядка произвольного индекса Понтрягинские чтения-XXXIV: Материалы Международной Воронежской весенней математической школы (Воронеж, 3-9 мая), С.189-191 (год публикации - 2023)

23. Булатов М.В., Соловарова Л.С., Индуцкая Т.С. О блочных методах для интегро-алгебраических уравнений Понтрягинские чтения-XXXIV: Материалы Международной Воронежской весенней математической школы (Воронеж, 3-9 мая), С.89-90. (год публикации - 2023)

24. Булатов М.В., Соловарова Л.С. On Numerical Solution of Quasilinear Integral–Algebraic Equations Proceedings of ATSF 2024 Conference, Approximation Theory and Special Functions, September 4-7, 2024, Ankara - Türkiye (год публикации - 2024)

25. Булатов М.В., Будникова О.С. Об одном классе блочных методов для численного решения интегро-алгебраических уравнений Неустойчивые задачи вычислительной математики : материалы семинара с между- народным участием им. А. С. Апарцина. Иркутск, 29 июля – 2 августа 2024 г. / Ин-т систем энергетики им. Л. А. Мелентьева, Иркут. гос. ун-т. — Иркутск : Издательство ИГУ, 2024, с.17-19 (год публикации - 2024)

26. Солодуша С.В. Об одной экстремальной задаче, связанной с полиномами Вольтерра «Динамические системы: устойчивость, управление, дифференциальные игры», (SCDG2024) Материалы Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского, Екатеринбург, 9–13 сентября 2024 г., c.288-291 (год публикации - 2024)

27. Антипина Е.Д. Некоторый класс интегральных уравнений I рода в задаче идентификации ядер Вольтерра Математическое и компьютерное моделирование естественно-научных и социальных проблем (МКМ-2024) : сб. ст. по материалам XVIII Всерос. с междунар. участием науч.-техн. конф. молодых специалистов, аспирантов и студентов (Россия, г. Пенза, 4–7 июня 2024 г.) / под ред. канд. физ.-мат. наук, доц. А. Н. Тынды. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2024. – 342 с., c.73-79 (год публикации - 2024)

28. Солодуша С.В.,Маркова Е.В., Коконова Ю.И. Volterra Series Models for Nonlinear Automatic Control Systems 2024 International Russian Automation Conference (RusAutoCon), September 8-14 (год публикации - 2024)
10.1109/RusAutoCon61949.2024.10694336

29. Булатов М.В., Соловарова Л.С. Solvability of Quasilinear Integral–Algebraic Equations Journal of Mathematical Sciences, №279, c. 756–762. (год публикации - 2024)
10.1007/s10958-024-07057-5

30. Булатов М.В., Ботороева М.Н. Integral-algebraic equations with variable limits of integration. The case when the lower limit is at Applied Numerical Mathematics, Том 203, с. 225-234 (год публикации - 2024)
10.1016/j.apnum.2024.05.005

31. Солодуша С.В. Итерационный подход к решению полиномиальных интегральных уравнений Вольтерра I рода Proceedings of the 8th International School-Seminar on Nonlinear Analysis and Extremal Problems (NLA-2024). Irkutsk, Russia, June 24–28, 2024. Irkutsk : ISDCT SB RAS, 2024, 313 p., c. 265 (год публикации - 2024)

32. Солодуша С.В., Булатов М.В. Модели на основе рядов Вольтерра для управления нелинейными системами XIV ВСЕРОССИЙСКОЕ СОВЕЩАНИЕ ПО ПРОБЛЕМАМ УПРАВЛЕНИЯ (ВСПУ-2024) : сборник научных трудов, 17-20 июня 2024 г., Москва / Под общ. ред. Д.А. Новикова; Ин-т Проблем упр. им. В.А. Трапезникова Рос. акад. наук. – Электрон. текстовые дан. (824 файла: 433 МБ). – М.: ИПУ РАН, 2024. – 4160 с., c.988-990 (год публикации - 2024)

33. Солодуша С.В., Коконова Ю.И. Задача идентификации входного сигнала динамических систем, моделируемых полиномами Вольтерра Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры., том 234, c. 83–90 (год публикации - 2024)
DOI: 10.36535/2782-4438-2024-234-83-90

34. Антипина Е.Д. О решении задачи идентификации входного сигнала «Динамические системы: устойчивость, управление, дифференциальные игры», (SCDG2024) Материалы Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения академика Н.Н. Красовского, Екатеринбург, 9–13 сентября 2024 г., c. 33-35 (год публикации - 2024)

35. Булатов М.В. Коллокационно-вариационные подходы численного решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода Журнал вычислительной математики и математической физики (год публикации - 2025)

36. Булатов М.В., Ботороева М.Н. On Integral-Algebraic Equations with Variable Limits of Integration Proceedings of ATSF 2024 Conference, Approximation Theory and Special Functions, September 4-7, 2024, Ankara - Türkiye (год публикации - 2024)

37. Булатов М.В., Будникова О.С. Two stage multistep methods for integral algebraic equations Proceedings of 9th International Conference on Control and Optimization with Industrial Applications (COIA 2024), 27-29 August 2024, Istanbul, Türkiye, p. 574-577 (год публикации - 2024)

38. Соловарова Л.С. L-stable algorithm for quasilinear integral-algebraic equations Proceedings of 9th International Conference on Control and Optimization with Industrial Applications (COIA 2024), 27-29 August 2024, Istanbul, Türkiye, p.433-436 (год публикации - 2024)

39. Будникова О.С., Булатов М.В. О построении двухстадийных многошаговых методов для численного решения интегро алгебраических уравнений Proceedings of the 8th International School-Seminar on Nonlinear Analysis and Extremal Problems (NLA-2024). Irkutsk, Russia, June 24–28, 2024. Irkutsk : ISDCT SB RAS, 2024, 313 p., c.39-40 (год публикации - 2024)

Публикации

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Для выделенного класса линейных ИАУ с переменным нижним пределом интегрирования равным ct, где 0<=c<1 были сконструированы многошаговые (k-шаговые) методы численного решения порядка k+1, основанные на явных квадратурных формулах Адамса для интегрального слагаемого и на экстраполяционных формулах для главной части. При k<6 предложенные методы оказались устойчивыми и сходятся к точному решению с k-м порядком. Сформулированы достаточные условия существования и единственности непрерывного решения для квазилинейных ИАУ-линейных относительно главной части и нелинейных относительно интегрального слагаемого в окрестности начальной точки. При выполнении этих условий были предложены и обоснованы два приближенных метода решения первого порядка, основанных на простейших квадратурных формулах для интегрального слагаемого с дальнейшей линеаризацией и на аппроксимации главной части. Были исследованы на устойчивость двухстадийные многошаговые методы для численного решения линейных ИАУ с гладкими входными данными и матричным пучком индекса один. Анализ показал, что большинство из таких алгоритмов является неустойчивыми, или принципиально неприменимыми из за того, что в результате их применения получается вырожденная СЛАУ. Удалось построить специальные двухстадийные многошаговые алгоритмы, основанные на квадратурных формулах высокого порядка для интегрального слагаемого и специальной аппроксимации главной части. Выписаны предельные значения количества шагов, при котором данные методы являются устойчивыми для рассматриваемого класса задач, получена оценка скорости сходимости к точному решению. Для численного решения интегральных уравнений Вольтерра первого рода с ядром на диагонали не равном нулю для любой точки отрезка интегрирования и имеющим единственное решение предложено семейство коллокационно-вариационных методов третьего порядка. В виде утверждения сформулированы условия существования и единственности для линейных ИАУ со слабой особенностью, которые имеют форму Хессенберга индекса два. Для численного решения данных уравнений предложен и программно реализован алгоритм первого порядка, основанный на квадратурной формуле правых прямоугольников и формулы интегрирования произведения. Был предложен и реализован алгоритм приближенного решения задачи оптимального управления суммарного ввода мощностей в скалярной модели ЭЭС, представленной в виде ИУВ I рода. Целевой функционал - суммарные затраты за прогнозный период на ввод новых и эксплуатацию генерирующих мощностей. Показана эффективность предложенного метода на основе генетического алгоритма в сравнении с рассмотренными ранее эвристическим подходом и применением системы моделирования высокого уровня для математического программирования и оптимизации (GAMS) . Был разработан и применен подход к численному решению полиномиальных ИУВ I рода и их систем на основе метода Ньютона-Канторовича. Предложенные алгоритмы программно реализованы и апробированы. Выполнено качественное исследование новых типов нелинейных систем интегральных уравнений Вольтерра I рода с векторным входом. Сформулированы и доказаны утверждения о существовании решения в классе непрерывных и обобщенных функций. Предложена интегральная модель в виде комбинации квадратичного полинома Вольтерра и аппарата присоединённых цепных дробей. Программно реализован и протестирован алгоритм численного решения соответствующих нелинейных интегральных уравнений. Показана эффективность применения предлагаемого подхода на примере моделирования динамики элемента теплообменного аппарата.

Публикации