Матрица монодромии и иерархии интегрируемых нелинейных уравнений

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00196

НазваниеМатрица монодромии и иерархии интегрируемых нелинейных уравнений

Руководитель Смирнов Александр Олегович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Санкт-Петербургский государственный университет аэрокосмического приборостроения" , г Санкт-Петербург

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-111 - Дифференциальные уравнения с частными производными

Ключевые слова Интегрируемые нелинейные уравнения, пара Лакса, солитон, бризер, волна убийца, матрица монодромии, спектральные кривые, тэта-функция, конечнозонные решения

Код ГРНТИ27.31.21, 27.35.55

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Многочисленные модели нелинейной оптики описываются скалярными и векторными интегрируемыми нелинейными уравнениями. Хорошо известно, что интегрируемые нелинейные уравнения образуют бесконечные последовательности, которые называются иерархиями. Для простейших моделей используются первые уравнения иерархий, для более сложных - высшие уравнения, а также линейные комбинации высших и начальных уравнений. Как было показано руководителем проекта в последних работах, знание матрицы монодромии для одного из операторов пары Лакса позволяет найти набор вторых операторов и полностью восстановить соответствующую иерархию интегрируемых нелинейных уравнений, а также установить свойства спектральных кривых для многофазных решений всех уравнений иерархии. Поскольку коэффициенты уравнения спектральной кривой являются интегралами многофазных решений иерархии, то исследование спектральных кривых дает еще один способ построения точных решений интегрируемых нелинейных уравнений. В рамках проекта планируется исследовать новые иерархии интегрируемых нелинейных уравнений, соответствующие полиномиальным по спектральному параметру операторам пары Лакса с матрицами размера nxn, где n>2. Новая информация об интегрируемых нелинейных уравнениях и их решениях всегда является акутальной.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Матвеев В.Б., Смирнов А.О. Метод Дубровина и цепочка Тода Алгебра и Анализ, Т.34, №.6, С.170-196. (год публикации - 2022)

2. Смирнов А.О., Фролов Е.А. On the Propagation Model of Two-Component Nonlinear Optical Waves Axioms, Т.12, 983 (год публикации - 2023)
10.3390/axioms12100983

3. Герджиков В.С., Смирнов А.О. On the elliptic null-phase solutions of the Kulish-Sklyanin model Chaos, Solitons and Fractals, Т.166, 112994 (год публикации - 2023)
10.1016/j.chaos.2022.112994

4. Каплиева А.А., Смирнов А.О. Vector form of Kundu-Eckhaus equation and its simplest solutions Уфимский математический журнал, Т.15, №3, С.148-163 (год публикации - 2023)
10.13108/2023-15-3-148

5. Смирнов А.О., Шиловский С.Д. О производном нелинейном уравнении Шредингера с самосогласованным возмущением Математические методы и модели в высокотехнологичном производстве: II Междунар. форум (9 ноября 2022 г) сб. тез. докл. - СПб.:ГУАП, 2022, С.39-42 (год публикации - 2023)

6. Смирнов А.О. Спектральный анализ и простейшие решения модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза Инновационное приборостроение, Т.2, №5, С.49-55 (год публикации - 2023)

7. Смирнов А.О., Фролов Е.А., Дмитриева Л.Л. On a hierarchy of vector derivative nonlinear Schrodinger equations Symmetry (год публикации - 2023)

8. Смирнов А.О., Анисимов И.В. О конечнозонных решениях вещественного модифицированного уравнения Кортевега–де Фриза Теоретическая и математическая физика, том 220, номер 1, страницы 191–209 (год публикации - 2024)
10.4213/tmf10651

9. Смирнов А.О. О периодических колебаниях цепочки Тода Инновационное приборостроение, Т.3, №5, С.87-93 (год публикации - 2024)

10. Смирнов А.О., Шиловский С.Д. О векторном производном нелинейном уравнении Шредингера Уфимский математический журнал, Т.16, №3, с.96-110 (год публикации - 2024)

11. Смирнов А.О., Сугак Д.В. Система Манакова и фуксовы уравнения Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия (год публикации - 2025)

12. Смирнов А.О. О нелинейном резонансе поляризованных оптических волн Инновационное приборостроение, Т.3, №2, С.78-85. (год публикации - 2024)

13. Смирнов А.О. Об одной иерархии интегрируемых нелинейные уравнений Моделирование и ситуационное управление качеством сложных систем, ГУАП, Санкт-Петербург, Пятая Всероссийская научная конференция. Сборник докладов. Санкт-Петербург, 2024 (год публикации - 2024)

14. Смирнов А.О., Приходько М.М. Производные формы трехкомпонентного нелинейного уравнения Шредингера и их простейшие решения Теоретическая и математическая физика, том 224, номер 1, страницы 224–239 (год публикации - 2025)
10.1134/S0040577925070153

Публикации

2. Смирнов А.О., Фролов Е.А. On the Propagation Model of Two-Component Nonlinear Optical Waves Axioms, Т.12, 983 (год публикации - 2023)
10.3390/axioms12100983

7. Смирнов А.О., Фролов Е.А., Дмитриева Л.Л. On a hierarchy of vector derivative nonlinear Schrodinger equations Symmetry (год публикации - 2023)

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Построены решения производных форм векторного (дву- и трех-компонентного) нелинейного уравнения Шредингера (Герджикова-Иванова, Чень-Ли-Лью и Каупа-Ньюэлла). Найдены новые специальные решения, возникшие вследствие увеличения числа компонент решения уравнения. Исследованы спектральные кривые, ассоциированные с построенными решениями. Построены решения трехкомпонентного нелинейного уравнения Шредингера, выражающиеся через эллиптические или гиперболические функции, и найдены соответствующие им спектральные кривые. Построены решения системы трех волн, выражающиеся через эллиптические или гиперболические функции, и найдены соответствующие им спектральные кривые. Для исследования данных уравнений использовался метод матрицы монодромии. Построена функции Бейкера-Ахиезера для вещественного уравнения МКдФ и найдены классическая и альтернативные тэта-функциональные формулы для конечнозонных решений данного уравнения. Установлена связь между конечнозонными эллиптическими потенциалами оператора Шредингера и дифференциального оператора второго порядка, квадратичного по спектральному параметру. Предложена иерархия однопараметрических вещественных нелокальных интегрируемых нелинейных уравнений и построен пример гладкого ограниченного решения уравнений из данной иерархии. Найдены эллиптические по t решения цепочки Тода. Построены специальные решения системы Манакова, выражающиеся через интегралы от решений фуксовых уравнений с четырьмя или пятью особыми точками.

Публикации

2. Смирнов А.О., Фролов Е.А. On the Propagation Model of Two-Component Nonlinear Optical Waves Axioms, Т.12, 983 (год публикации - 2023)
10.3390/axioms12100983

7. Смирнов А.О., Фролов Е.А., Дмитриева Л.Л. On a hierarchy of vector derivative nonlinear Schrodinger equations Symmetry (год публикации - 2023)