Асимптотические и численные методы исследования нейронных ансамблей и нейроподобных сред

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00209

НазваниеАсимптотические и численные методы исследования нейронных ансамблей и нейроподобных сред

Руководитель Глызин Сергей Дмитриевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова" , Ярославская обл

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем

Ключевые слова математическое моделирование, самоорганизация, динамический хаос, нейронные сети, системы с запаздыванием, нейродинамика, сингулярно-возмущенные системы, устойчивость, малый параметр, автомодельные решения, релаксационные режимы, асимптотика

Код ГРНТИ27.29.23, 27.29.25

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
В ближайшие десятилетия одними из наиболее важных исследований будет изучение и моделирование сознания. В последнее время появился целый ряд научных проектов, направленных на построение компьютерной модели, которая должна объединить все научные знания о головном мозге человека (проекты «Коннектом» и «Мозг человека»). Эти исследования могут сыграть принципиальную роль в решении задач обороны, разработке новых систем искусственного интеллекта, в медицинской практике, в развитии целого комплекса биологических наук и междисциплинарных исследований. Следует отметить, что нынешние исследовательские программы в значительной степени опираются на математические и компьютерные модели, создававшиеся 30-40 лет назад. Это мешает пониманию многих нелинейных процессов и механизмов самоорганизации, которые характерны для нейронных ассоциаций. Цель настоящего проекта – уменьшить возникший разрыв и предложить новые подходы и математические модели, которые могут помочь в задаче моделирования активности мозга и построения различных систем, воспроизводящих его функционирование. В целом проект будет посвящен изучению динамических свойств моделей нейронной среды, описываемой системами уравнений с запаздыванием. Каждый элемент среды (нейрон) является автогенератором, который в автономном режиме генерирует кратковременные импульсы (спайки) или пакеты импульсов (bursting). Будут обсуждаться новые модели синаптического и электрического взаимодействия нейронов, которое приводит к сложным колебательным режимам в системе. Также будет изучено строение этих режимов (аттракторов) и способы управления их структурой. Такие аттракторы можно интерпретировать как образы, закодированные в виде автоволн (волновая память). Нами будут решаться задачи идентификации аттракторов (задача сличения образов) и формирования аттракторов заданной структуры (ассоциативная память). Системы уравнений нейронной сети получены нами из биологических предпосылок, причем по смыслу задачи в нее входят большие параметры. В результате выполнения проекта будут разработаны новые методы асимптотического исследования таких систем. В последние два десятилетия значительное внимание уделяется изучению нелинейных разностных и дифференциально-разностных уравнений, роль которых в описании физических, биологических и других процессов весьма велика. При этом развитие аналитических методов для них отстает от потребностей приложений, а методики, разработанные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, часто оказываются неприменимыми. В силу принципиальной сложности нелинейных дискретных систем и особенно систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость приобретает разработка новых асимптотических методов исследования динамических свойств решений. В рамках проекта для моделирования нейронных сетей будут сконструированы разностные и дифференциальные уравнения с нелинейной запаздывающей обратной связью, обладающие странными аттракторами. Инвариантные характеристики аттракторов будут изучены с помощью новых методов, таких как обобщенные размерности и оценки статэнтропии. Особое внимание будет уделено изучению вопроса синхронизации и десинхронизации малых и больших ансамблей систем, обладающих странными аттракторами.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Глызин С. Д., Колесов А. Ю. Периодические режимы двухкластерной синхронизации в полносвязных сетях нелинейных осцилляторов Теоретическая и математическая физика, ТМФ, № 2, Т. 212, С. 213–233 (год публикации - 2022)
10.4213/tmf10191

2. Глызин С. Д., Колесов А.Ю. Об одном способе математического моделирования электрических синапсов Дифференциальные уравнения, Т. 58, № 7, С. 867-881 (год публикации - 2022)
10.31857/S0374064122070019

3. Преображенская М.М. Relay System of Differential Equations with Delay as a Perceptron Model Studies in Computational Intelligence, Springer, Cham, In: Kryzhanovsky, B., Dunin-Barkowski, W., Redko, V., Tiumentsev, Y. (eds) Advances in Neural Computation, Machine Learning, and Cognitive Research VI. NEUROINFORMATICS 2022. Studies in Computational Intelligence, vol 1064. Springer, pp. 530–539 (год публикации - 2023)
10.1007/978-3-031-19032-2_53

4. Горюнов В.Е. Динамика решений логистического уравнения с запаздыванием и диффузией в плоской области Теоретическая и математическая физика, ТМФ, 212:2 (2022), 234–256; Theoret. and Math. Phys., 212:2 (2022), 1092–1110 (год публикации - 2022)
10.4213/tmf10266

Публикации

1. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. Автоколебательные процессы в дискретной RCL-линии с туннельным диодом Теоретическая и математическая физика, ТМФ, №2, Т. 215, с. 207–224 (год публикации - 2023)
10.4213/tmf10412

2. Кащенко А.А., Кащенко И.С., Кондратьев С.В. Travelling Waves in the Ring of Coupled Oscillators with Delayed Feedback Mathematics, Vol. 11, N. 13, p. 2827 (год публикации - 2023)
10.3390/math11132827

3. Глызин С.Д., Кащенко С.А., Костерин Д.С. Dynamic properties and construction of piecewise smooth periodic solutions of integro-differential equations Nonlinear Phenomena in Complex Systems (год публикации - 2024)

4. Ивановский Л.И. Динамические свойства одной импульсной задачи Коши Вестник российских университетов. Математика, Т. 28, № 141. С.39-50 (год публикации - 2023)
10.20310/2686-9667-2023-28-141-39-50

5. Кащенко С.А., Костерин Д.С., Глызин С.Д. Семейство кусочно-гладких решений одного класса пространственно-распределенных уравнений Современная математика. Фундаментальные направления, СМФН. Т. 69, № 2 С. 263-275 (год публикации - 2023)
10.22363/2413-3639-2023-69-2-263-275

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
1. Введена новая математическая модель химических синапсов в нейронных ассоциациях, в которой удалось в полном объеме учесть, с одной стороны, требование вольтерровской структуры соответствующих уравнений и, с другой стороны, гипотезу о насыщающей проводимости. Это позволяет соблюсти принцип единообразия: новая математическая модель строится на тех же принципах, что и предложенная ранее модель электрических синапсов. На основе сочетания аналитических и численных методов в кольцевой системе с химическими связями построены специальные периодические решения — так называемые бегущие волны, число которых растет с ростом числа осцилляторов в сети. 2. В релейной системе дифференциально-разностных уравнений, моделирующей полносвязную сеть синаптически связанных нейронов, найдены дискретные бегущие волны. Построенные решения имеют на периоде $n$ высоких всплесков, после которых следует промежуток с малыми значениями. За счет выбора перестановки обеспечивается сосуществование сразу $(m+1)!$ периодических решений. 3. Введена модель обладающая свойством динамической самоорганизации, состоящей в следующем. Пусть имеется совокупность свободных (не взаимодействующих друг с другом) нейронов, каждый из которых находится в состоянии покоя или вообще не способен к колебательной электрической активности. Тогда будучи определенным образом связанными в сеть, эти нейроны могут начать генерировать электрические импульсы. Доказана реализуемость указанного феномена. 4. Для интегральных сетей нелинейных осцилляторов, представляющих собой специальные системы интегро-дифференциальных уравнений, устанавливается существование периодических режимов многокластерной синхронизации. В этом случае множество осцилляторов распадается на $r,$ $r\ge 2$ непересекающихся классов. В пределах этих классов наблюдается полная синхронизация колебаний, а каждые два осциллятора из разных классов колеблются асинхронно. Устанавливается также факт реализуемости феномена континуальной мультистабильности (буферности), т.е. существования при определенных условиях континуального семейства изолированных аттракторов. 5. Для нелинейной системы дифференциальных уравнений с запаздываниями и большим параметром в случае простого поведения на бесконечности функция обратной связи найдены постоянные решения, а также однородные и неоднородные периодические решения, имеющие асимптотически большую амплитуду. Исследован вопрос устойчивости построенных решений. Найдены значения параметров модели, при которых наблюдается мультистабильность. 6. Введена математическая модель нового феномена – многомерного гиперболического хаоса. Эта модель представляет собой кольцевую цепочку из однонаправленно связанных отображений типа ''кот Арнольда''. Найдены достаточные условия, при выполнении которых рассматриваемая цепочка порождает диффеоморфизм Аносова. Данная модель важна для исследования устойчивых решений ассоциаций взаимодействующих осцилляторов с хаотическим поведением. 7. Для логистического уравнения с диффузией, а также запаздыванием и отклонением по пространству выполнен численный анализ процесса распространения волн. Он показывает, что увеличение параметра задержки или отклонения приводит сначала к появлению колебательной составляющей в пространственном распределении решения, а при дальнейшем увеличении этого параметра появляются решения со сложным пространственным распределением. 8. Для разрывных дифференциальных уравнений с запаздыванием получено вариационное уравнение, которое описывает эволюцию бесконечно малых возмущений начальных условий. Это вариационное уравнение включает дельта-функции, которые учитывают скачки в правой части исходного уравнения. Установлены фундаментальные свойства решений этого уравнения и исследованы его приложения, которые включают обобщение теории и вычислительных методов показателей Ляпунова для разрывных систем с запаздыванием, расширяя применение этого инструмента для изучения устойчивости и хаоса в таких системах.

Публикации

1. Ивановский Л. И. Dynamical properties of a diffusion-coupled system of differential equations with an additional internal coupling Theoretical and Mathematical Physics , Theor Math Phys, 2024, Volume 220, Issue 2, Pages 1282–1293 (год публикации - 2024)
10.1134/S0040577924080038

2. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. On a Method for Verifying Hyperbolicity Regular and Chaotic Dynamics, ISSN 1560-3547, Regular and Chaotic Dynamics, 2024 (год публикации - 2024)
10.1134/S1560354724570024

3. Алешин С.В., Глызин С.Д., Кащенко С.А. Wave propagation in the Kolmogorov–Petrovskii–Piskunov–Fischer equation with time delay and spatial deviation Partial Differential Equations in Applied Mathematics, Partial Differential Equations in Applied Mathematics. V. 11, September 2024, 100855 (год публикации - 2024)
10.1016/j.padiff.2024.100855

4. Преображенская М. М., Преображенский И. Е. A cycle with a “short” period in the phenomenological model of a single neuron book series: Studies in Computational Intelligence, Springer (год публикации - 2024)

5. Глызин Д. С., Глызин С. Д., Колесов А. Ю. Новый подход к математическому моделированию химических синапсов Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, Известия вузов. ПНД, 32:3 (2024), 376–393. (год публикации - 2024)
10.18500/0869-6632-003099

6. Кащенко А.А., Лузин И.С. Dynamics of the system of delay differential equations with nonlinearity having a simple behavior at infinity Partial Differential Equations in Applied Mathematics, Volume 12, 100934 (год публикации - 2024)
10.1016/j.padiff.2024.100934

7. Преображенский И. Е., Преображенская М. М. Дискретные бегущие волны в релейной системе дифференциально-разностных уравнений, моделирующей полносвязную сеть синаптически связанных нейронов Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика, Известия вузов. ПНД, 32:5 (2024), 654–669 (год публикации - 2024)
10.18500/0869-6632-003117

8. Зеленова В.К., Преображенская М. М. Asymptotic approximation of fading mode in neurooscillator dynamics Partial Differential Equations in Applied Mathematics, Partial Differential Equations in Applied Mathematics. 11 (2024). 100822 (год публикации - 2024)
10.1016/j.padiff.2024.100822

9. Глызин С. Д., Колесов А. Ю. Многомерный гиперболический хаос Функциональный анализ и его приложения , Функц. анализ и его прил., 58:4 (2024), 3–19 (год публикации - 2024)
10.4213/faa4188

10. Глызин С.Д., Колесов А.Ю. On a Paradoxical Property of the Shift Mapping on an Infinite-Dimensional Tori Doklady Mathematics , Dokl. Math. 109, 20–24 (2024). (год публикации - 2024)
10.1134/S1064562424701746