Геометрические асимптотики, интегрируемые системы и квантование.

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00272

НазваниеГеометрические асимптотики, интегрируемые системы и квантование.

Руководитель Шафаревич Андрей Игоревич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова квантование, топология, геометрические асимптотики, дифференциальные операторы, интегрируемые системы

Код ГРНТИ27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект будет посвящен описанию связей между теорией дифференциальных операторов (как аналитическими, так и алгебраическими и геометрическими её аспектами), геометрическими асимптотиками, квазиклассическим, геометрическим и деформационным квантованием, теорией интегрируемых систем и топологией. В рамках проекта предполагается получить принципиально новые результаты в указанных областях; в частности, связанные с постановками новых задач, возникшими в результате реализации проекта 2016 (продленного в 2019 году).

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Шарыгин Г.И. Quasi-derivations on U_{gl_n} and the argument shift method Contemporary Mathematics Series, AMS (год публикации - 2023)

2. Боброва И., Ретах В., Рубцов В., Шарыгин Г. A fully noncommutative analog of the Painlevé IV equation and a structure of its solutions Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 55 (2022) 475205 (год публикации - 2022)
10.1088/1751-8121/aca3dd

3. Жеглов А.Б. Теория Шура-Сато для квазиэллиптических колец Труды МИАН (год публикации - 2023)

4. Толченников А.А., Чернышев В.Л. A Metric Graph for Which the Number of Possible End Positions of a Random Walk Grows Minimally Russian Journal of Mathematical Physics (год публикации - 2022)

5. Власов А.А., Шафаревич А.И. Решение задачи Коши для волнового уравнения на конусе с не фридриховским лапласианом Russian Journal of Mathematical Physics (год публикации - 2022)

Публикации

1. И.А. Лавриненко, А.И. Шафаревич Quantization of Nonsmooth Curves and the Semiclassical Spectrum of the One-Dimensional Schrödinger Operator with a Localized Perturbation of the Potential Russian Journal of Mathematical Physics, , v.30, №2, 209–218 (год публикации - 2023)
10.1134/S1061920823020073

2. Сорин А.С., Черняков Ю.Б., Шарыгин Г.И. Векторные поля и инварианты полной симметрической системы Тоды Теоретическая и математическая физика, 216:2, 271–290 (год публикации - 2023)
10.4213/tmf10480

3. Талалаев Д.В., Черняков Ю.Б., Шарыгин Г.И. Полная симметрическая система Тоды: решение системы с помощью метода QR-разложения Функциональный анализ и его приложения, 57:4, 100–122 (год публикации - 2023)
10.4213/faa4105

4. Попеленский Ф.Ю. Weighted combinatorial Ricci flow and metrics defined by degenerate circle packings Filomat, номер 37, выпуск 25, стр. 8675-8681 (год публикации - 2023)
10.2298/FIL2325675P

5. Никулин М.А., Попеленский Ф.Ю., Шафаревич А.И. Asymptotic behaviour of energy levels of a quantum free particle in an elliptic sector Physica Scripta, 99, 015207 (год публикации - 2024)
10.1088/1402-4896/ad0f80

6. Толченников А.А. Trace of the Resolvent of the Laplace Operator on a Metric Graph Russian Journal of Mathematical Physics, v.30,№4, 703-711 (год публикации - 2023)
10.1134/S1061920823040192

7. Попеленский Ф.Ю. A Note on the Weighted Yamabe Flow Regular and chaotic dynamics, Vol. 28, No. 3, pp. 309–320 (год публикации - 2023)
10.1134/S1560354723030048

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Была развита теория нормальных форм для обыкновенных дифференциальных операторов. При помощи нее было получено описание пространства модулей спектральных пучков ранга один на спектральных кривых. В частности, было показано, что пространство модулей таких пучков можно явно задать уравнениями в аффинном пространстве, где в качестве переменных выступают коэффициенты нормальной формы (она задается набором некоммутативных полиномов от операторов дифференцирования, интегрирования и сдвига с постоянными коэффициентами, при этом полиномы имеют ограниченные степени по каждой из переменных). Кроме этого, были исследованы нормальные формы для некоммутативных операторов, и подсчитаны примеры нормальных форм спектральных пучков ранга 2 на кривых арифметического рода 1. Описаны квазиклассические асимптотические решения для произвольных строго гиперболических по Петровскому систем, коэффициенты которых нерегулярны вблизи некоторой гиперповерхности. Будет рассмотрены две ситуации; в первом случае коэффициенты испытывают резкий скачок, описываемой гладкой функцией, содержащей малый параметр, причем слабый предел этой функции имеет разрыв первого рода. Кроме того, изучены системы, сразу содержащие разрывные коэффициенты. Описаны перестройки лагранжевых многообразий, связанных с коротковолновыми асимптотиками. Полученные результаты применены к описанию решений конкретных гиперболических задач - (2+1)-мерному и четырехмерному уравнениям Дирака и системе уравнений мелкой воды. Исследованы квазиклассические спектральные серии одномерного уравнения Шредингера с потеницалом, испытывающим резкий скачок вблизи фиксированной точки, причем ширина скачка многобольше длины волны Де Бройля (точнее: если h - обезразмеренная константа Планка, то потенциал зависит от "быстрой" переменной x/h^{-1/2}). Доказано, что асимптотические собственные значения вычисляются из условий квантования на расслоении над "меделнным" лагранжевым многообразием (в данном случае, кривой) в классическом фазовом пространстве, порожденном исходными координтами уравнения, слоем которого является кривая на плоскости "быстрых" переменных, а правила склейки задаются условием согласования прошедшего и отраженного волнового пакета. По результатам готовится статья. Найдена корокотволновая асимптотика решения задачи Коши для волнового уравнения, скорость в котором испытывает резкий скачок вблизи гладеой гиперповерхности, причем ширина скачка многобольше длины волны пакета . Доказано, что асимптотика выражается через канонический оператор Маслова на расслоении над "меделнным" лагранжевым многообразием в классическом фазовом пространстве, порожденном исходными координтами уравнения, слоем которого является кривая на плоскости "быстрых" переменных, а правила склейки задаются условием согласования прошедшего и отраженного волнового пакета. По результатам готовится статья. Исследованы связи операций квазидифференцирований и структуры алгебр Бетте: напомним, что одним из способов построения квантовой алгебры Мищенко-Фоменко является использование коммутативных подалгебра в янгиане с последующим проектированием этих подалгебра в Ugl(n). При этом можно показать, что квантовая алгебра Мищенко-Фоменко совпадает с образом при отображении «вычисления» алгебры Бетте, которую можно построить при помощи универсальной R-матрицы в янгиане. Мы исследуем связь между свойствами универсальной R-матрицы в янгиане и квазидифференцированиями алгебры Ugl(n). Изучены симметрии полной системы Тоды, построенные в опубликованной годом ранее статье, то есть — векторные поля на фазовом пространстве системы, коммутирующие с векторным полем, порождающем систему. Оказалось, что они образуют алгебру Ли (то есть, их коммутаторы равны линейным комбинациям самих полей), более того, в этой алгебре Ли можно выделить разрешимую подалгебру, размерность которой равна размерности фазового пространства. Это значит, что полная симметрическая система Тоды удовлетворяет условиям теоремы Ли-Бьянки, гарантирующей существование решения системы в виде «квадратур» (итерированных интегралов от коэффициентов уравнения и других элементарных функций). Развита теория кватернионных пространств с сопряжением. Примером таких пространств служат кватернионные проективные пространства, грассманианы и многообразия флагов. Они характеризуются наличием изоморфизма между кольцом когомологий самого пространства и кольцом когомологий пространства неподвижных точек обеих инволюций с изменением градуировок в четыре раза, а также вырождением во втором члене спектральной последовательности борелевской конструкции для действия группы, порожденной инволюциями. Показано, что класс таких пространств весьма широк, а именно, он инвариантен относительно нескольких стандартных операций, в частности, операции прямого предела и операции приклеивания эквивариантных клеток. Выведено возникающее в результате вырождения спектральной последовательности соотношение в когомологиях произведения классифицирующего пространства инволюций на пространство неподвижных точек (так называемое «кватернионное уравнение сопряженности»). Для коэффициентов уравнения сопряженности получено явное выражения в терминах действия когомологических операций Стинрода.

Публикации

1. А.Б. Жеглов, Д. Гуо On some questions around Berest’s conjecture МИАН, Москва, Pleiades Publishing, Mathematical Notes, 2024, Volume 116, Issue 2, Pages 238–251 (год публикации - 2024)
10.1134/S0001434624070186

2. И.Боброва, В.C.Ретах, В.Н.Рубцов, Г.И.Шарыгин Non-Abelian discrete Toda chains and related lattices Physica D: Nonlinear Phenomena, Volume 464, August 2024, 134200 (год публикации - 2024)
10.1016/j.physd.2024.134200

3. Кряжев А.C., Кузнецов Д.Д., Попеленский Ф.Ю. Conjugation equation for quaternionic conjugation spaces Russian journal of mathematical physics (год публикации - 2025)

4. А.И. Шафаревич, О.А. Щегорцова Reconstruction of Maslov’s Complex Germ in the Cauchy Problem for the Schrödinger Equation with a Delta Potential Localized on a Hypersurface Russian Journal of Mathematical Physics, т.31, вып.3, с. 526–543 (год публикации - 2024)
10.1134/S1061920824030142

5. Г.Шарыгин Квазидифференцирования алгебры Ugln и квантовые алгебры Мищенко-Фоменко Функциональный анализ и его приложения, том 58, выпуск 3, страницы 121–139 (год публикации - 2024)
10.4213/faa4126

6. А.И. Аллилуева, А.И. Шфафаревич Quasi-Classical Asymptotics Describing the Electron-Hole Interaction and the Klein Effect for the (2+1)-Dirac Equation in Abruptly Varying Fields Russian Journal of Mathematical Physics , т.31, вып.3, с. 339–350 (год публикации - 2024)
10.1134/S1061920824030014

7. Я. Икэда, Г. Шарыгин The argument shift method in universal enveloping algebra $U\mathfrak{gl}_d$ Journal of Geometry and Physics, Volume 195, January 2024, 105030 (год публикации - 2024)
10.1016/j.geomphys.2023.105030

8. В. В. Рыхлов, А. И. Шафаревич Спектральные серии оператора Шрёдингера с двойным дельта-потенциалом в полюсах двух- и трехмерных поверхностей вращения Математические заметки, Том 116 выпуск 6, сю 969-981 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14457

Возможность практического использования результатов
Проект направлен на формирование науного задела, обеспечивающего приоритет РФ в области математики. Возможны применения результатов проекта в области новых квантовых технологий.