Математические методы для задач управления в квантовых системах

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-11-00330

НазваниеМатематические методы для задач управления в квантовых системах

Руководитель Печень Александр Николаевич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук , г Москва

Конкурс №68 - Конкурс 2022 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова квантовое управление, ландшафт квантового управления, ловушки, когерентное управление, некогерентное управление, метод Кротова, открытые квантовые системы, математические модели управляемых квантовых систем

Код ГРНТИ27.35.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Квантовые технологии — технологии, в основе которых лежит использование свойств отдельных квантовых систем атомных, молекулярных и наноскопических размеров. Данная область представляет в настоящее время высокий интерес, как фундаментальный, так и практический, связанный с широким кругом приложений, от задач квантовой информации, квантовых вычислений, криптографии и метрологии до задач синтеза материалов с заданными свойствами и лазерного управления химическими реакциями и процессами. Развитие квантовых технологий требует разработки математических методов управления замкнутыми и открытыми, то есть взаимодействующими с окружением, квантовыми системами. Одной из важнейших задач, необходимых для развития квантовых технологий, является разработка методов управления квантовыми системами с использованием модулируемых лазерных импульсов либо иного внешнего воздействия. Проект направлен на решение актуальной для квантовых технологий математической проблемы, а именно, на развитие и применение методов управления замкнутыми и открытыми квантовыми системами, изучение новых локальных свойств целевых функционалов, то есть ландшафтов управления, задач управления замкнутыми многоуровневыми квантовыми системами, развитие методов построения управлений для ранее не исследованных задач управления открытыми квантовыми системами при наличии шумов, когерентного и некогерентого управлений, в том числе с использованием методов проекции градиента и метода Кротова, включая при наличии фазовых ограничений, применение этих методов к задачам управления квантовыми системами на примерах различных квантовых систем, для которых ранее одновременное применение когерентного и некогерентного управления не изучалось, и для математического моделирования управления диссоциацией молекул с помощью лазерных импульсов. В рамках проекта будут решаться следующие задачи. Первая задача — исследование локальных свойств целевых функционалов квантового управления. Задача квантового управления может быть сформулирована как задача максимизации некоторого целевого квантового функционала, зависящего от состояния квантовой системы. Ловушкой называется точка локального, но не глобального максимума целевого функционала. Ловушка n-го порядка определяется разложением Тейлора целевого функционала до n-го порядка малости. Вопрос существования ловушек важен в теории квантового управления, так как они могут существенно затруднить процесс поиска глобального максимума в лаборатории. В общем случае проблема существования ловушек остается неисследованной. Планируется исследовать ловушки высших порядков в ландшафте задачи максимизации ожидания квантово-механической наблюдаемой для некоторых неисследованных ранее многоуровневых квантовых систем. Вторая задача — развитие методов построения управлений для задач оптимального управления открытыми конечноуровневыми квантовыми системами, динамика которых описывается мастер-уравнением типа Горини–Коссаковского–Сударшана–Линдблада c когерентными и некогерентными управлениями, на основе двухшагового и трехшагового методов проекции градиента и метода Кротова с учетом различных ограничений на управления и на эволюцию матрицы плотности. В данной модели окружение (резервуар) открытой квантовой системы является источником шума, влияющего на динамику системы, который однако рассматривается как полезный ресурс для управления квантовой системой. Третья задача — применение методов когерентного и некогерентного управления квантовыми системами к задаче лазерного и некогерентного управления диссоциацией молекул. В планируемом к рассмотрению примере для достижения данной цели обычно используют некогерентные методы контроля, использующие подбор новых материалов и структуры поверхности. В ходе выполнения проекта планируется рассмотреть также возможность когерентного контроля при помощи лазерного излучения и применить методы одновременных когерентного и некогерентного управления к этой задаче. Актуальность решения этих задач определяется растущей необходимостью управления квантовыми системами, в том числе открытыми, для задач квантовых технологий. Актуальность исследования ландшафтов управления определяется необходимостью выбора наиболее эффективных методов построения управлений, что зависит от свойств ландшафта. Актуальность развития методов построения управлений для открытых квантовых систем, находящихся под воздействием когерентного и некогерентного управлений, определяется тем, что в реальных условиях управляемые квантовые системы как правило взаимодействуют с окружением, и этим взаимодействием нельзя пренебречь. Несмотря на высокий интерес, в данных областях имеются открытые важные задачи, которые составляют основу предлагаемого проекта, реализация которого позволит внести вклад в область разработки математических методов для задач квантовых технологий.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Волков Б.О., Печень А.Н. Higher order traps for some strongly degenerate quantum control systems Russian Mathematical Surveys (год публикации - 2023)

2. Кузнецов С.А., Печень А.Н. On Controllability of a Highly Degenerate Four-Level Quantum System with a “Chained” Coupling Hamiltonian Lobachevskii J. Math., Vol. 43, No. 7, pp. 1683-1692 (год публикации - 2022)
10.1134/S1995080222100225

3. Мячкова А.А., Печень А.Н. Some Controllable and Uncontrollable Degenerate Four-Level Quantum Systems Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (год публикации - 2023)

Публикации

1. Петруханов В.Н., Печень А.Н. Quantum gate generation in two-level open quantum systems by coherent and incoherent photons found with gradient search Photonics, Vol. 10. No. 2. Art. no. 220 (год публикации - 2023)
10.3390/photonics10020220

2. Моржин О.В., Печень А.Н. Krotov type optimization of coherent and incoherent controls for open two-qubit systems Bulletin of Irkutsk State University-Series Mathematics, Vol. 45, Pp. 3–23 (год публикации - 2023)
10.26516/1997-7670.2023.45.3

3. Моржин О.В., Печень А.Н. Using and optimizing time-dependent decoherence rates and coherent control for a qutrit system Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. Noncommutative Analysis and Quantum Information Theory Collected papers. Dedicated to Alexander Semenovich Holevo on the occasion of his 80th birthday (год публикации - 2024)

4. Ляхов К.А., Печень А.Н. Mathematical model of hydrogen dissociation on Mo2C surface in the presence of a laser field Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 44, No. 6, pp. 2125–2134 (год публикации - 2023)
10.1134/S1995080223060331

5. Кузнецов С.А., Печень А.Н. On controllability of Λ- and V-atoms and other three-level systems with two allowed transitions Lobachevskii Journal of Mathematics, Vol. 44, No. 6, Pp. 2101-2108 (год публикации - 2023)
10.1134/S199508022306029X

6. Еловенкова М.А., Печень А.Н. Control landscape of measurement-assisted transition probability for a three-level quantum system with dynamical symmetry Quantum Reports, Vol. 5, No. 3, Pp. 526-545 (год публикации - 2023)
10.3390/quantum5030035

7. Моржин О.В., Печень А.Н. Optimal state manipulation for a two-qubit system driven by coherent and incoherent controls Quantum Information Processing, Vol. 22. No. 6. Art. no. 241 (год публикации - 2023)
10.1007/s11128-023-03946-x

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Квантовые технологии основаны на использовании свойств отдельных квантовых систем атомных, молекулярных и наноскопических размеров. Данная область представляет высокий фундаментальный и практический интерес, связанный с широким кругом приложений, от задач квантовых вычислений и метрологии до задач синтеза материалов с заданными свойствами и лазерного управления химическими реакциями. Развитие квантовых технологий требует разработки математических методов управления квантовыми системами, в том числе открытыми, то есть взаимодействующими с окружением. В текущем году проводилась работа по решению поставленных на этот год задач, включая исследование локальных свойств целевых функционалов задач квантового управления, развитие методов построения управлений для задач оптимального управления открытыми конечно-уровневыми квантовыми системами, применение методов когерентного и некогерентного управления квантовыми системами. Изучался ландшафт целевого функционала задачи максимизации среднего значения квантовой наблюдаемой в окрестности нулевого управления для когерентного управления замкнутыми N-уровневыми системами, для которых свободный гамильтониан, наблюдаемая и начальное состояние попарно коммутируют. Для N-уровневой гармонической системы доказано, что нулевое управление является ловушкой порядка не менее 2N+1. Детально изучен случай важного для приложений класса трехуровневых квантовых систем с одним запрещенным прямым переходом (представляющих кутриты в задачах квантовых вычислений или лямбда-атомы в квантовой оптике). Доказано, что для управляемой негармонической трехуровневой гармонической системы нулевое управление является ловушкой седьмого порядка, в то время как для лямбда-атома оно является ловушкой третьего порядка. Численно показана существенная роль порядка ловушек на сложность оптимизации. Исследовался метод проекции градиента (МПГ), включая его двух- и трехшаговые версии, для управления открытыми квантовыми системами с когерентным и некогерентным управлениями, с целевыми функционалами типа Майера–Больца с интегральными слагаемыми, которые представляют ограничения на состояния системы и могут дополнять поточечные ограничения на управления. Численно исследованы задачи управления с такими ограничениями для канала Вернера–Холево, состояния Вернера, максимизации перекрытия Гильберта–Шмидта, показано, что МПГ может успешно применяться в таких задачах. Для кутрита с целевыми функционалами типа Майера и Майера–Больца построены гибридные методы типа Кротова с комбинацией проекционных и максимизирующих отображений, найден пример, в котором такой гибридный метод существенно быстрее регуляризованного метода Кротова. Проводилось дополнение математической модели, описывающей диссоциацию связи молекул на поверхности с помощью одновременного использования методов когерентного и некогерентного управлений с учетом транспорта через мембрану. Предложена схема оптимизации на дискретной сетке в пространстве параметров модели, явным образом учитывающая ограничения на параметры, проведены соответствующие численные расчеты с оптимизацией. Актуальность решения этих задач определяется необходимостью разработки, развития, исследования и применения методов управления квантовыми системами. Актуальность исследования ландшафтов управления, то есть локальных свойств целевых функционалов задач управления квантовыми системами, определяется необходимостью оценки эффективности методов локального поиска построения управлений, которая зависит от свойств ландшафта. Актуальность развития методов построения управлений для открытых квантовых систем, находящихся под воздействием когерентного и некогерентного управлений, определяется тем, что в реальных экспериментальных условиях управляемые квантовые системы как правило существенно взаимодействуют с окружением. Кроме того, в некоторых случаях окружение можно использовать как полезный ресурс. Таким образом, реализация проекта позволила внести вклад в область разработки математических методов для задач квантовых технологий.

Публикации

1. Петруханов В.Н., Печень А.Н. Incoherent GRAPE for Optimization of Quantum Systems with Environmentally Assisted Control Russian Microelectronics , Vol. 52, Suppl. 1, pp. S424–S427 (год публикации - 2024)
10.1134/S1063739723600784

2. Печень А.Н., Мячкова А.А. Программа для анализа ландшафта задачи максимизации среднего значения квантовой наблюдаемой для трехуровневых Лямбда-систем Реестр программ для ЭВМ, регистрационный № 2025612095 от 27.01.2025 (год публикации - 2025)

3. Ляхов К.А. Dynamical Optimization of Polymer Electrolyte Membrane Fuel Cell Operation on the Basis of Quantum Optimal Control Lobachevskii Journal of Mathematics , Том 45, Стр. 2552–2566 (год публикации - 2024)
10.1134/S1995080224603278

4. Волков Б.О., Печень А.Н. Quantum Control Landscapes and Traps Russian Microelectronics , Vol. 52, Suppl. 1, Pp. S428–S431 (год публикации - 2024)
10.1134/S1063739723600796

Возможность практического использования результатов
Результаты могут использоваться для дальнейшего исследования задачи генерации квантовых вентилей в открытых квантовых системах. Программа для ЭВМ "Программа для анализа ландшафта задачи максимизации среднего значения квантовой наблюдаемой для трехуровневых Лямбда-систем" может использоваться для оценки степени сложноcти манипулирования системами квантовой оптики типа лямбда-атома или кутритом в задачах квантовых вычислений, экспериментальная и теоретическая работа по использованию кутритов для квантовых вычислений активно ведется в Российской Федерации совместно ФИАН и РКЦ.