Разработка алгоритмов определения спектров собственных значений персистентных лапласианов симплициальных комплексов, представляющих изображения объектов

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-21-00035

НазваниеРазработка алгоритмов определения спектров собственных значений персистентных лапласианов симплициальных комплексов, представляющих изображения объектов

Руководитель Чуканов Сергей Николаевич, Доктор технических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук , Новосибирская обл

Конкурс №64 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-726 - Системы и технологии интеллектуального анализа данных и распознавания образов

Ключевые слова распознавание образов, расстояние Вассерштейна, симплициальный комплекс, персистентные гомологии, оператор Лапласа, топологический анализ данных

Код ГРНТИ28.23.15

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Настоящий проект является развитием проекта РФФИ № 18-07-00526 «Алгоритмы декомпозиции векторного поля при отображении изображений на основе метода метаморфизма». Целью проекта является разработка алгоритмов распознавания форм объектов на основе нахождения модифицированных расстояний Вассерштейна между этими формами. Модифицированное расстояние Вассерштейна определяется с учетом расстояния между формами объектов, обусловленным рассогласованием между спектрами собственных значений персистентных лапласианов. Для выполнения этой цели должен быть разработан алгоритм определения спектров собственных значений персистентных лапласианов симплициальных комплексов, представляющих формы объектов. В теории распознавания образов широко используются методы вычислительной геометрии, алгебраической топологии, теории вероятностей. Методы вычислительной геометрии позволяют характеризовать информацию о локальной структуре объекта, но приводят к усложнению данных. Признаки, созданные на основе моделей алгебраической топологии, позволяют характеризовать информацию о глобальной внутренней структуре, но существенно сокращают информацию о локальной структуре. Концепция персистентной гомологии использует процедуру фильтрации; в процессе фильтрации создается ряд вложенных симплициальных комплексов, закодированных топологической информацией. Продолжительность жизни топологических инвариантов в процессе изменения параметра фильтрации связана с топологическими и геометрическими свойствами форм объекта. Для измерения соответствия между персистентными гомологиями симплициальных комплексов, представляющих формы объектов, используется расстояние Вассерштейна. Топологические свойства форм объектов могут рассматриваться как признаки машинного обучения. Для этого используются алгоритмы формирования персистентных bar-кодов при сравнении форм объектов. Топологические характеристики (числа Бетти и характеристики Эйлера) не обеспечивают достаточное количество признаков для распознавания образов, поэтому построение алгоритмов нахождения спектров персистентных лапласианов симплициальных комплексов, представляющих формы объектов, для сравнения форм объектов, которые позволяют увеличить количество признаков для распознавания образов, является актуальным. В проекте предлагается использовать спектры собственных чисел персистентных лапласианов в качестве топологических характеристик форм объектов. Лапласиан k-го порядка можно определить из соотношения: $L_k = \partial_{k+1} \partial_{k+1}^* + \partial_k^* \partial_k$, где $\partial_k$ – граничный оператор отображения: $C_k(X) \to C_{k-1}(X)$; $C_k(X)$ – k-мерные цепи в симплициальном комплексе X, представляющим форму объекта. Использование спектров собственных чисел персистентных лапласианов существенно расширяет многообразие топологических характеристик. Аналогично нахождению интервалов "birth-death" для критических значений чисел Бетти предлагается формировать интервалы "birth-death" для критических значений спектров собственных чисел лапласианов. Числа Бетти k-го порядка можно определить как число нулевых собственных значений лапласиана $L_k$. Алгоритмы формирования спектров собственных значений персистентных лапласианов симплициальных комплексов, представляющих формы объектов, позволят повысить разнообразия информации и количество признаков машинного обучения при сравнении форм объектов. При сравнении форм объектов в проекте предлагается сформировать модифицированное расстояние Вассерштейна, основанное на определении расстояния между соответствующими интервалами "birth-death" сравниваемых форм объектов и на сравнении спектров собственных значений лапласианов. Ожидаемые результаты. Использование алгоритмов определения спектров собственных значений персистентных лапласианов симплициальных комплексов позволят модифицировать расстояние Вассерштейна между формами объектов. Алгоритмы определения спектров собственных значений лапласианов инвариантны по отношению к евклидовым преобразованиям изображений объектов. Будут предложены методы распознавания образов на основе определения модифицированного расстояния Вассерштейна между формой (изображением) объекта и формой шаблона. Числа Бетти и характеристики Эйлера не обеспечивают достаточное количество признаков для распознавания образов, поэтому построение алгоритмов нахождения спектров персистентных лапласианов симплициальных комплексов для сравнения форм объектов является актуальным.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Чуканов С.Н., Чуканов И.С. FORMATION OF MACHINE LEARNING FEATURES BASED ON THE CONSTRUCTION OF TROPICAL FUNCTIONS Моделирование и анализ информационных систем, Моделирование и анализ информационных систем. 2022;29(3):200-209. (год публикации - 2022)
10.18255/1818-1015-2022-3-200-209

2. Чуканов С.Н., Чуканов И.С., Широков И.В., Лейхтер С.В. Анализ данных (монография) Издательство Омского государственного университета, 108 стр (год публикации - 2022)

3. Чуканов С.Н., Чуканов И.С. Формирование признаков машинного обучения на основе топологического анализа данных ВЕСТНИК ВГУ, СЕРИЯ: СИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ, Вестник ВГУ. Серия: Системный анализ и информационные технологии. – 2022. – №. 3. – С. 115-126 (год публикации - 2022)
10.17308/sait/1995-5499/2022/3/115-126

4. Чуканов С.Н., Чуканов И.С. ОЦЕНИВАНИЕ ОБЛАСТИ ПРИТЯЖЕНИЯ УСТОЙЧИВОГО РАВНОВЕСИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОЙ СИСТЕМЕ АВИАКОСМИЧЕСКОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, Авиакосмическое приборостроение. – 2022. – № 7– С. 25-31 (год публикации - 2022)
10.25791/aviakosmos.7.2022.1288

5. Чуканов С.Н. Формирование признаков машинного обучения на основе методов вычислительной топологии Компьютерная оптика, Компьютерная оптика. – 2022. (год публикации - 2022)

6. Чуканов С.Н., Чуканов И.С. ОЦЕНИВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ КАНАЛОВ СЛОЖНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА ОСНОВЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ Авиакосмическое приборостроение, № 9, стр. 18-23 (год публикации - 2023)
10.25791/aviakosmos.9.2023.1360

7. Чуканов С.Н., Чуканов И.С. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ ДЛЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ВЫХОД-НОЙ ИНФОРМАЦИИ ПРИБОРОВ Научная визуализация. 2023. Т. 15. № 2. С. 11-21., № 2, Т. 15, стр. 11-21. (год публикации - 2023)
10.26583/sv.15.2.02

8. Чуканов С.Н. ФОРМИРОВАНИЕ ПРИЗНАКОВ НА ОСНОВЕ МЕТОДОВ ВЫ-ЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ТОПОЛОГИИ Компьютерная оптика. 2023. Т. 47. № 3. С. 482-490., № 3,. Т. 47, стр. 482-490. (год публикации - 2023)
10.18287/2412-6179-CO-1190

9. Чуканов С.Н. Сравнение сложных динамических систем на основе топологического анализа данных КОМПЬЮТЕРНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ И МОДЕЛИРОВАНИЕ, № 3, том. 15, стр. 513–525 (год публикации - 2023)
10.20537/2076-7633-2023-15-3-513-525

10. Чуканов С.Н.,Чуканов И.С., Лейхтер С.В. ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАССТОЯНИЯ МЕЖДУ ИЗОБРАЖЕНИЯМИ НА ОСНОВЕ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ В сборнике: Математическое и компьютерное моделирование. Сборник материалов X Международной науч-ной конференции. Омск, 2023. С. 100-102., стр. 100-102. (год публикации - 2023)

11. Чуканов С.Н., Чуканов И.С., Лейхтер С.В. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПЕРСИСТЕНТНОЙ ЭНТРОПИИ ДЛЯ ТОПОЛОГИЧЕСКОГО АНАЛИЗА ДАННЫХ Математические структуры и моделирование, № 3, Том 67, стр. 94–103 (год публикации - 2023)
10.24147/2222-8772.2023.3.94-103

12. Магазев А.А., Широков И.В. Структура дифференциальных инвариантов при свободном действии группы симметрии. Известия высших учебных заведе-ний. Математика. – 2023. – №. 6. – С. 31-40, №. 6, стр. 31-40 (год публикации - 2023)
10.26907/0021-3446-2023-6-31-40

Публикации