КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 22-21-00318
НазваниеРазработка эффективных итерационных методов решения проблемы собственных значений для симметричных незнакоопределенных матриц на высокопроизводительных вычислительных системах
Руководитель Муратова Галина Викторовна, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Южный федеральный университет" , Ростовская обл
Конкурс №64 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-111 - Дифференциальные уравнения с частными производными
Ключевые слова собственные значения и собственные векторы, незнакоопределенные матрицы, итерационные методы, подпространства Крылова, методы Ланцоша, предобусловливание, параллельные вычисления
Код ГРНТИ27.41.15
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц является одной из основных задач для многих разделов вычислительной физики и математики. С данной проблемой приходится сталкиваться при исследовании собственных колебаний различных механических систем, колебательных и электронных спектров молекул и кристаллов. Совершенно принципиальное значение эта проблема имеет для квантовой механики, которая стала базовой дисциплиной исследования микромира. Согласно одному из основных положений квантовой механики, все наблюдаемые величины (т.е. величины, которые могут быть измерены в результате проведения конкретных физических экспериментов) суть собственные значения некоторых бесконечномерных эрмитовых матриц (эрмитовых операторов). Кроме того, к решению данной проблемы приводит конечно-элементная аппроксимация ряда задач математической физики. В настоящее время важной особенностью данных задач является высокий порядок их матриц – до миллиона и более неизвестных. Несмотря на разреженную структуру матриц, из-за высоких порядков матриц решение таких задач требует значительных вычислительных ресурсов, которые могут быть обеспечены современными высокопроизводительными вычислительными системами. Поэтому создание эффективных параллельных алгоритмов решения задач нахождения собственных чисел матриц большой размерности по –прежнему остается актуальной проблемой.
Поиск собственных значений для больших разреженных матриц является довольно новым, быстро развивающимся направлением численного анализа, поскольку численное решение данного класса задач стало возможным только с появлением современных высокопроизводительных вычислительных систем. Ранее данные задачи решались лишь для матриц небольшого и среднего размера и , в основном, с помощью прямых методов.
На данный момент наиболее популярными методами решения частичной проблемы собственных значений с большими разреженными матрицами являются методы Арнольди, Ланцоша, Якоби-Дэвидсона и итерации с отношением Релея. Основной операцией этих алгоритмов является матрично-векторное умножение, т.е. операция, эффективно использующая возможности параллельных вычислений. Тем не менее, имеется большое количество вопросов, не нашедших пока удовлетворительных ответов. Одним из них является использование специфики конкретных матричных классов для разработки более эффективных методов, чем методы общего назначения. Мы можем использовать QR, QR со сдвигами, QL-разложения и их различные модификации, а также ряд других методов (например, метод "разделяй и властвуй"), для поиска собственных значений матриц, полученных проектированием исходной большой задачи на подпространство Крылова меньшей размерности. Но остаются открытыми вопросы численной реализации таких алгоритмов – какую размерность подпространства Крылова нужно выбрать, если размеры исходной матрицы порядка миллиона неизвестных, какой способ переортогонализации векторов Ланцоша будет наилучшим для данной задачи, каковы критерии окончания итераций, как нужно действовать при наличии у большой матрицы кратных собственных значений, можно ли использовать появляющиеся «копии» сошедшихся собственных значений и векторов и т.д. Все эти вопросы требуют оптимального решения.
В рамках проекта предполагается разработка итерационных методов вычисления собственных значений для матриц столь больших, что к ним нельзя применить прямые методы. Так как для хранения всех собственных векторов почти любой n×n-матрицы необходимо иметь n2 машинных слов, то наши требования к алгоритмам означают, что они будут вычислять лишь несколько собственных значений, каким-либо образом выделенных пользователем, и соответствующих собственных векторов. Предполагается использование техники предобусловливания для получения более эффективных версий разработанных методов, а также возможностей современных высокопроизводительных вычислительных систем для их реализации.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Публикации
1. Мартынова Т. С., Муратова Г. В., Оганесян П. А., Штейн О. О. Решение частичной проблемы собственных значений для симметричных незнакоопределенных матриц на подпространствах Крылова Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития Материалы XXIX научной конференции (Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону, 21 – 23 апреля 2022 г.), Сборник материалов XXIX научной конференции "Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития", изд-во Южного федерального университета, г. Ростов-на-Дону, 2022 г., с. 193-197. (год публикации - 2022)
2. Муратова Г.В., Мартынова Т.С. Algebraic Multigrid Method with Skew-Hermitian Smoothers Abstract of The Third International Workshop on Matrix Computations, Lanzhou University, Lanzhou, P.R. China, номер 1, стр. 42 (год публикации - 2022)
3. Муратова Г.В., Мартынова Т.С. Numerical Solution of Large Sparse Linear Systems and Algebraic Eigenvalue Problems Abstract of The Third International Workshop on Matrix Computations Lanzhou University, Lanzhou, P.R. China, номер 1, стр.43 (год публикации - 2022)
4.
Мартынова Т.С., Муратова Г.В., Павел Оганесян, Ольга Штейн
Numerical solution of large scale generalized eigenvalue problems arising from finite element modeling of electroelastic materials
Symmetry/ IF: 2.940; CiteScore: 4.3 - Q1 (General Mathematics); Q1 (Computer Science) (год публикации - 2022)
10.3390/sym12020233
Публикации
1.
Оганесян П.А., Штейн О.О.
Implementation of Basic Operations for Sparse Matrices when Solving a Generalized Eigenvalue Problem in the ACELAN-COMPOS Complex
Advanced Engineering Research (Rostov-on-Don), N 23, т.2, стр.121–129.2023; eISSN 2687−1653 (год публикации - 2023)
10.23947/2687-1653-2023-23-2-121-129
2. Мартынова Т. С., Муратова Г. В Особенности решения обобщенной проблемы собственных значений с вырожденной матрицей масс Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития : Материалы XXX научной конференции 2023 г. ; Издательство Южного федерального университета, Ростов-на-Дону, Материалы XXX научной конференции (Ростов-на-Дону, 13 – 15 апреля 2023 г.) ; Издательство Южного федерального университета, 2023. – 444 с. (год публикации - 2023)
3. Оганесян П. А., Штейн О. О РАСЧЕТНЫЕ МОДУЛИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ НА СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ В ПАКЕТЕ ACELAN-COMPOS Сборник материалов XXX научной конференции "Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития", изд-во ЮФУ, г. Ростов-на-Дону, 2023 г., Сборник материалов XXX научной конференции "Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития", изд-во ЮФУ, г. Ростов-на-Дону, 2023 г. (год публикации - 2023)
4. Мартынова Т.С., Муратова Г.В., Оганесян П.А. Численные методы для решения обобщённой проблемы собственных значений Сборник трудов XX Всероссийской научной конференции современные проблемы математического моделирования, Сборник трудов конференции, стр. 19-26 (год публикации - 2023)
5. Г.В.Муратова, Т.С.Мартынова, П.А.Оганесян Numerical solving the partial symmetric generalized eigenvalue problem in piezodevices modal analysis Communications on Applied Mathematics and Computation (год публикации - 2024)