КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 22-21-00717

НазваниеЗадачи аналитической теории дифференциальных и разностных уравнений

Руководитель Гонцов Ренат Равилевич, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича Российской академии наук , г Москва

Конкурс №64 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем

Ключевые слова обыкновенное дифференциальное уравнение, q-разностное уравнение, монодромия, риманова поверхность, проблема Римана-Гильберта, векторное расслоение, связность, формальное решение, сходимость, многоугольник Ньютона-Пюизо

Код ГРНТИ27.29.21, 27.23.19, 27.29.23

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Аналитическая теория дифференциальных и разностных уравнений, являющаяся главной составляющей предлагаемого исследования, – одна из фундаментальных классических областей математики с богатой историей. Помимо самостоятелього интереса, многие её направления примечательны приложениями в современной математике и математической физике. Среди таких направлений можно выделить, например, прямые и обратные задачи монодромии, Пенлеве анализ, проблемы интегрируемости в широком смысле, изомонодромные деформации, суммируемость формальных решений, теорию нормальных форм локальных объектов. Именно к части этих актуальных направлений и относятся следующие три темы, предлагаемые для исследования в рамках данного проекта. 1. Изучение сходимости формальных решений нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Идеи поиска решений дифференциальных уравнений в виде формальных степенных рядов, восходящие к Эйлеру, получили глубокое развитие в 1970–1990-ее годы, когда была построена теория суммируемости таких рядов. В конечном итоге было доказано, что любой формальный степенной ряд, удовлетворяющий мероморфному обыкновенному дифференциальному уравнению (ОДУ), мультисуммируем, т. е. ему некоторым образом можно сопоставить единственную функцию, являющуюся решением уравнения. Однако, для дифференциальных уравнений известны формальные решения и других типов, помимо классических степенных рядов. Здесь теория суммируемости находится в начале развития и первые вопросы, которые естественно поставить в данном контексте, – об условиях сходимости таких рядов – уже находят ответы. Классический результат Мальгранжа – достаточное условие сходимости формального степенного ряда, удовлетворяющего мероморфному ОДУ, – недавно был распространен участниками Проекта на случаи степенных рядов с комплексными показателями степени и рядов Дюлака (которые встречаются, в частности, среди решений уравнений Пенлеве). Здесь мы предлагаем исследование степенно-логарифмических рядов (рядов более общего вида, чем ряды Дюлака) в контексте вопроса сходимости. 2. Исследование вопросов разрешимости проблемы Римана–Гильберта на компактной римановой поверхности. Классическая проблема Римана–Гильберта – вопрос о существовании фуксовой системы линейных дифференциальных уравнений с заданными особыми точками на сфере Римана и с заданной монодромией – в общем случае имеет отрицательное решение, как было показано А.А. Болибрухом, внесшим самый значительный вклад в исследование этой проблемы. Поскольку фуксова система может быть проинтерпретирована как логарифмическая (фуксова) связность в голоморфно тривиальном векторном расслоении на сфере Римана, положительное решение проблемы означает существование логарифмической связности в тривиальном расслоении на сфере Римана, имеющей заданные особые точки и монодромию. С другой стороны, голоморфно тривиальное векторное расслоение на сфере Римана характеризуется тем, что оно и только оно является полустабильным расслоением нулевой степени. Поэтому один из возможных вариантов обобщения проблемы Римана–Гильберта на компактные римановы поверхности положительного рода состоит в вопросе о существовании на поверхности полустабильного голоморфного векторного расслоения нулевой степени с логарифмической связностью, имеющей заданные особые точки и монодромию. Как и ее классический аналог на сфере Римана, в общем случае эта проблема имеет отрицательное решение. Также известны достаточные условия ее положительного решения, но исследования здесь не столь обширны, как в классическом случае. Получение как новых достаточных условий положительного решения данной проблемы, так и новых концептуальных контрпримеров являются нашими основными задачами по этой теме. При этом основной интерес будут представлять возможное распространение известных нам методов исследования классической проблемы Римана-Гильберта на случай поверхности положительного рода и их сочетание с новыми подходами, необходимыми для данного случая. 3. Вопросы существования и сходимости формальных решений нелинейных q-разностных уравнений. Исследование отдельных вопросов, связанных с q-разностными уравнениями, можно найти уже в работах Эйлера, Якоби, Гейне (представившего q-аналоги гипергеометрических функций), а систематический интерес к изучению аналитических свойств их решений сформировался в начале XX века и отражен в работах Кармайкла, Биркгоффа, Адамса, Трийтжинского, заложивших основы аналитической теории линейных q-разностных уравнений. Затем интерес к q-разностным уравнениям несколько спал (аналогичный временной пробел в исследованиях характерен и для аналитической теории дифференциальных уравнений), но когда начиная с конца 1970-х годов стала динамично развиваться теория суммируемости для мероморфных дифференциальных уравнений, спустя некоторое время возобновился интерес и к q-разностным уравнениям, в частности, к вопросу суммируемости их формальных решений. Здесь данный вопрос решен только в линейном случае. Как и в случае дифференциального уравнения, о чём мы сказали выше, формальные решения q-разностного уравнения могут иметь вид не только классических степенных рядов. Метод нахождения формальных решений в виде рядов с вещественными показателями степени разработан, а вот в виде рядов более общего типа (в частности, степенно-логарифмического), в отличие от дифференциального случая пока не освоен, и разработка такого метода является одной из наших задач в данной теме. Что касается условий сходимости формальных решений q-разностных уравнений, относительно полно этот вопрос изучен ещё меньше - только для классических степенных рядов. При этом в случае |q| = 1 может возникать эффект малых знаменателей, требующий дополнительных числовых ограничений и отсутствующий при исследовании аналогичного вопроса сходимости в дифференциальном случае. Недавно участниками Проекта было получено условие сходимости обобщенного степенного ряда с комплексными показателями степени, удовлетворяющего алгебраическому q-разностному уравнению, в отсутствие явления малых знаменателей. В отличие от классического случая, при исследовании вопроса сходимости обобщенного степенного ряда данное явление может возникнуть не только при |q| = 1, но при произвольном комплексном q, в зависимости от показателей ряда, и исследование вопроса сходимости обобщенного степенного ряда при наличии явления малых знаменателей является нашей второй задачей в данной теме.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---