КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 22-22-00653

НазваниеРазвитие алгоритмов решения задач рассеяния для интегрируемых нелинейных уравнений Шредингера

Руководитель Фрумин Леонид Лазаревич, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт автоматики и электрометрии Сибирского отделения Российской академии наук , Новосибирская обл

Конкурс №64 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований малыми отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 02 - Физика и науки о космосе; 02-402 - Нелинейные колебания и волны

Ключевые слова Нелинейные уравнения Шредингера, обратная, прямая задачи рассеяния, алгоритмы, система Захарова-Шабата, система Манакова

Код ГРНТИ29.35.03

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) широко используется в современной науке как одна из наиболее фундаментальных математических моделей. Эта модель волновых процессов, одновременно учитывающая дисперсию и нелинейность, востребована в теоретической физике, нелинейной физической оптике, а также для описания нелинейно-дисперсионных эффектов распространения оптического излучения по волоконным линиям связи. Уравнение Шредингера с дисперсией второго порядка и кубической (керровской) нелинейностью относится к нетривиальному классу интегрируемых нелинейных уравнений в частных производных, решения которых находятся методом обратной задачи рассеяния (МОЗР) (нелинейного преобразования Фурье) [В.Е Захаров., С.В Манаков., С.П. Новиков, Л.П. Питаевский. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980, В. Е. Захаров, А. Б. Шабат. ЖЭТФ 1971; 61]. Суть МОЗР - выдающегося достижения современной математической физики, состоит в том, что решение нелинейного уравнения сводится к решению операторных спектральных задач, связанных (ассоциированных) с исходным нелинейным уравнением. Возникающие при этом обратная и прямая задачи рассеяния относятся к классу линейных задач. Изучение задач рассеяния позволяет не только аналитически исследовать нелинейную проблему, численная реализация МОЗР решает задачу Коши, причем, без каких-либо итераций. Для нелинейных уравнений с локализованными (убывающими на бесконечности) решениями (потенциалами) МОЗР приводит к линейным интегральным уравнениям Гельфанда Левитана Марченко (ГЛМ). Новые эффективные алгоритмы решения задач рассеяния на основе уравнений ГЛМ значительно расширяют возможности и перспективы МОЗР, а их развитие и приложение для более общих вариантов НУШ составляют основную цель Проекта. Для численного моделирования прямой и обратной задач рассеяния для скалярного уравнения Шредингера в нашей лаборатории были разработаны эффективные вычислительные алгоритмы тёплицева внутреннего окаймления (Toeplitz Inner Bordering - TIB) [O.V. Belai L.L. Frumin, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro. JOSA B, 2007; 24, L.L. Frumin, O.V. Belai, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro. JOSA B, 2015; 32]. Эти алгоритмы основаны на прямом численном решении интегральных уравнений ГЛМ и являются модификацией известного алгоритма Левинсона [R.E. Blahut, Fast Algorithms for Digital Signal Processing, Cambridge University Press, 1985]. Их численная эффективность обусловлена использованием теплицевой симметрии дискретизованной системы ГЛМ, впервые обнаруженная руководителем проекта в 2006 году. TIB алгоритмы были успешно применены для расчета брэгговских решеток [A. Buryak, J. Bland-Hawthorn, and V. Steblina, Optics Express, 2009; 17, O.V. Belai, L.L. Frumin, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro, Laser Phys. 2010; 20] и решения обратных задач для уравнения Гельмгольца [O. V. Belai, L.L. Frumin, E.V. Podivilov, and D.A. Shapiro, Opt. Lett., 2008; 33]. В последние годы в волоконно-оптических сетях эти алгоритмы нашли применение для компенсации нелинейно-дисперсионных искажений информационного сигнала и, в особенности, для развития новых подходов в передаче информации, опирающихся на интегрируемость НУШ [L.L. Frumin, A.A. Gelash, and S.K. Turitsyn, Phys. Rev. Lett., 2017; 118, S.K. Turitsyn, J. E. Prilepsky, S.T. Le, S. Wahls, L.L. Frumin, M. Kamalian, and S.A. Derevyanko, Optica, 2017; 4, V. Aref, S.T. Le, and H. Buelow, IEEE J. of Lightwave Tech., 2018; 36]. К настоящему времени сравнительно хорошо разработаны методы расчета локализованных потенциалов НУШ. Еще одной нерешенной проблемой, на решение которой направлен проект, является разработка новых численных методов и алгоритмов решения задач без локализации, когда потенциалы (решения) имеют постоянный фон. Основным направлением данного проекта является исследование векторных задач рассеяния с учетом поляризационных явлений в среде с дисперсией и нелинейностью Керра. Исследование эффектов поляризации имеет большое значение для оптических информационных технологий и, в целом, для современной нелинейной физики и оптики. Манаков [С.В. Манаков, ЖЭТФ 1974; 38], изучая явления самофокусировки и самоиндуцированной прозрачности при распространении поляризованных световых пучков в нелинейно-дисперсионных оптических средах, описал векторный вариант НУШ, ныне известный как модель Манакова. Эта модель состоит из пары нелинейных уравнений Шредингера для двух оптических поляризаций, связанных нелинейным взаимодействием. Манаков показал, что это векторное НУШ относится к классу интегрируемых систем. Он применил метод ОЗР и свел проблему к исследованию задач рассеяния для системы трех линейных уравнений, называемых системой Манакова. Он описал общие N-солитонные решения векторного НУШ, а также нашел частное решение, известное теперь как векторный солитон Манакова. Впоследствии Башаров и Маймистов [А. М. Башаров, А. И. Маймистов, ЖЭТФ 1984; 87], см. также [A. I Maimistov, A. M. Basharov, Springer 2013], обнаружили, что система Манакова имеет более широкие приложения и может быть применена для описания ряда других нелинейных проблем, включая распространение ультракоротких поляризованных оптических импульсов в резонансной двухуровневой среде. Недавно в области численного решения задач рассеяния для системы Манакова был совершен прорыв - на основе МОЗР был разработан метод решения векторного нелинейного уравнения Шредингера для модели Манакова [L.L. Frumin, Journal of Inverse and Ill-Posed Problems 2021; 29]. Текст этой статьи добавлен в качестве файла с дополнительной информацией по проекту. Как и в скалярном случае, для векторного процесс решения также сводится к последовательности из трех этапов: прямая задача рассеяния, эволюция спектральных данных рассеяния и обратная задача рассеяния. Для эффективного численного решения задач рассеяния используется преобразованная к блочно-теплицеву виду система дискретизованных интегральных уравнений ГЛМ для векторного НУШ. Численное моделирование и сравнение с известным точным аналитическим решением – векторным солитоном Манакова, подтвердило эффективность (скорость и точность расчета) предложенных векторных алгоритмов TIB. Вместе с тем, дальнейшее повышение точности аппроксимации, хотя бы до второго порядка, является значимой и актуальной задачей, решение которой еще более повысит эффективность векторных алгоритмов TIB. Апробация в приложениях новых, только что разработанных, векторных алгоритмов TIB для решения задач рассеяния на локализованных поляризованных потенциалах векторного НУШ (прямоугольный потенциал, Sech-потенциал и др.) составляет, наряду с алгоритмами решения скалярных задач для не локализованных решений с постоянным фоном, основную группу новых актуальных и значимых задач, рассматриваемых в Проекте. Вдобавок к перечисленным проблемам в проекте будет рассмотрен важный вопрос о связи левой и правой задач рассеяния, поскольку алгоритмы TIB разработаны исключительно для левой постановки. Однако в литературе чаще встречается постановка с правой задачей рассеяния. Возможность решения правой задачи рассеяния с помощью алгоритмов левой задачи позволяет значительно расширить области применимости эффективных алгоритмов TIB.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---