Изучение аффинных пространств и связанных с ними объектов с помощью алгебраических групп преобразований и локально нильпотентных дифференцирований

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-41-02019

НазваниеИзучение аффинных пространств и связанных с ними объектов с помощью алгебраических групп преобразований и локально нильпотентных дифференцирований

Руководитель Аржанцев Иван Владимирович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва

Конкурс №63 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований международными научными коллективами» (DST)

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-106 - Алгебраическая геометрия

Ключевые слова автоморфизм, проблема сокращений Зарисского, проблема линеаризации, проблема диких и ручных автоморфизмов, градуированная алгебра, локально нильпотентное дифференцирование, однородное дифференцирование, алгебраический моноид, криптография

Код ГРНТИ27.17.33

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на изучение аффинных пространств и, более общо, аффинных алгебраических многообразий. Для исследования этих объектов мы рассматриваем алгебру регулярных функций на многообразии и изучаем её с помощью рассмотрения автоморфизмов алгебры, в частности, алгебраических подгрупп в группе автоморфизмов, а также инфинитезимальной версии унипотентных автоморфизмов, то есть локально нильпотентных дифференцирований алгебры регулярных функций. Автоморфизмы аффинного пространства (алгебры многочленов) или, в более привычных терминах, полиномиальные обратимые замены координат, -- предмет давнего активного изучения, не потерявшего своей актуальности и по сей день. Есть несколько известных сложных, ставших уже классическими открытых проблем, связанных с автоморфизмами аффинного пространства: проблема якобиана, проблема диких и ручных автоморфизмов, проблема сокращений Зарисского, проблема выпрямления, проблема линеаризации и другие. Даже частичное продвижение в решении этих вопросов является значимым событием в математическом мире. Наш проект направлен на применение техники алгебраических групп преобразований и локально нильпотентных дифференцирований к решению нескольких из этих проблем и их обобщений. Используя результаты и методы, разработанные в течение последних десятилетий научными группами в России, Индии и других странах, мы планируем получить новые продвижения по указанным направлениям. Планируется использовать такие инструменты как инварианты Макар-Лиманова и Дерксена коммутативной алгебры, дополнительные структуры на алгебре, например, градуировку конечно порожденной абелевой группой и комбинаторное описание всех однородных локально нильпотентных дифференцирований относительно такой градуировки, наличие или отсутствие автоморфизмов определенного типа. Эта техника позволит дать явное описание групп автоморфизмов широких классов многообразий и алгебр, изучить структуру соответствующих групп, а также исследовать аналоги перечисленных ранее известных проблем в более широком контексте.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Трушин А.Н. Градуированные автоморфизмы алгебры многочленов от трёх переменных Mathematical Notes (год публикации - 2022)

2. Аржанцев И.В., Зайденберг М.Г. Tits-type alternative for certain groups acting on algebraic surfaces Proceedings of the American Mathematical Society (год публикации - 2022)
10.1090/proc/16324

3. И.В. Аржанцев On images of affine spaces Indagationes Mathematicae, 34, no. 4, 812-819 (2023) (год публикации - 2023)
10.1016/j.indag.2023.03.001

4. Аржанцев И.В., Калиман Ш., Зайденберг М. Varieties covered by affine spaces, uniformly rational varieties and their cones Advances in Mathematics (год публикации - 2023)

5. Боровик В.А., Гайфуллин С.А. Isolated torus invariants and automorphism groups of rigid varieties Journal of Algebra (год публикации - 2024)

6. Гайфуллин С.А., Шафаревич А.А. Modified Makar-Limanov and Derksen invariants Journal of Pure and Applied Algebra, 228 (2024), no. 6, article 107616 (год публикации - 2024)
10.1016/j.jpaa.2024.107616

7. Болдырев И.А. Makar-Limanov invariants of nonnormal affine toric varieties Mediterranean Journal of Mathematics, 21 (2024), no. 3, article 93 (год публикации - 2024)
10.1007/s00009-024-02619-y

8. Аржанцев И.В., Перепечко А.Ю., Шахматов К.В. Radiant toric varieties and unipotent group actions Bulletin des Sciences Mathématiques, 192 (2024), article 103419 (год публикации - 2024)
10.1016/j.bulsci.2024.103419

9. Зайцева Ю.И. Affine monoids of corank one Results in Mathematics, 79 (2024), no. 7, article 249 (год публикации - 2024)
10.1007/s00025-024-02254-9

Публикации

3. И.В. Аржанцев On images of affine spaces Indagationes Mathematicae, 34, no. 4, 812-819 (2023) (год публикации - 2023)
10.1016/j.indag.2023.03.001

5. Боровик В.А., Гайфуллин С.А. Isolated torus invariants and automorphism groups of rigid varieties Journal of Algebra (год публикации - 2024)

9. Зайцева Ю.И. Affine monoids of corank one Results in Mathematics, 79 (2024), no. 7, article 249 (год публикации - 2024)
10.1007/s00025-024-02254-9

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
При поддержке гранта в 2024 году была опубликована работа (Ivan Arzhantsev, Alexander Perepechko, and Kirill Shakhmatov. Radiant toric varieties and unipotent group actions. Bulletin des Sciences Mathematiques 192 (2024), article 103419. https://doi.org/10.1016/j.bulsci.2024.103419), в которой изучаются действия унипотентных групп на полных торических многообразиях с открытой орбитой. Также в 2024 году была опубликована статья (Ilya Boldyrev. Makar-Limanov invariants of nonnormal affine toric varieties. Mediterranean Journal of Mathematics 21 (2024), no. 3, article 93. https://doi.org/10.1007/s00009-024-02619-y), в которой получено комбинаторное описание инварианта Макар-Лиманова и модифицированного инварианта Макар-Лиманова для не обязательно нормальных аффинных торических многообразий в терминах соответствующих полиэдральных конусов. При помощи этого описания было показано, что ML(X) = ML*(X) для аффинных торических многообразий X. Далее, в 2024 году была опубликована статья (Sergey Gaifullin and Anton Shafarevich. Modified Makar-Limanov and Derksen invariants. Journal of Pure and Applied Algebra 228 (2024), no. 6, article 107616. https://doi.org/10.1016/j.jpaa.2024.107616), в которой доказано, что если аффинное многообразие размерности хотя бы 2 имеет локально нильпотентное дифференцирование со слайсом, то модифицированный инвариант Макар-Лиманова совпадает с обычным инвариантом Макар-Лиманова, построен пример многообразия, у которого модифицированный инвариант Дерксена отличается от обычного инварианта Дерксена. Доказано, что модифицированный инвариант Дерксена у многообразия X = Y x A^1 либо совпадает со всей алгеброй регулярных функций (в этом случае мы говорим, что многообразие Y имеет тип А), либо совпадает с алгеброй регулярных функций на Y (тип Б), либо бесконечно порожден (тип В), найдены необходимые условия, когда многообразие Y принадлежит тому или иному типу (Ilya Boldyrev, Sergey Gaifullin, and Anton Shafarevich. Modified Derksen invariant. https://arxiv.org/abs/2312.08421, 12 pages). В препринте (Alexander Perepechko. Structure of connected nested automorphism groups. https://arxiv.org/abs/2312.08359, 22 pages), получившем положительный отзыв в Journal of the European Mathematical Society, показано, что каждая максимальная исчерпаемая унипотентная подгруппа в группе автоморфизмов аффинного многообразия X строится по коммутативной алгебраической унипотентной подгруппе, действующей на Х с тривиальным стабилизатором в точке общего положения; получено более простое описание максимальных коммутативных унипотентных подгрупп, доказано, что если U – подгруппа в группе автоморфизмов аффинного многообразия X, состоящая из унипотентных элементов, то U исчерпаема тогда и только тогда, когда она замкнута. В препринте (Alexander Perepechko and Mikhail Zaidenberg. Automorphism groups of rigid affine surfaces: the identity component. https://arxiv.org/abs/2208.09738, 30 pages), получившем положительный отзыв рецензента в журнал Algebraic Geometry, описана связная компонента группы автоморфизмов для жёстких нормальных аффинных поверхностей, доказано, что жёсткая поверхность допускает единственную минимальную компактификацию, и описаны все двойственные графы нежёстких поверхностей, допускающих единственную компактификацию. Получено полное описание всех B-корневых подгрупп на произвольном полном орисферическом G-многообразии в случае, когда группа G является прямым произведением группы SL(2) и тора, для таких X получено описание всех орбит подгруппы в группе автоморфизмов многообразия X, порождённой группой G и всеми B-корневыми подгруппами и найдены коммутационные соотношения между простыми G-модулями в алгебре Ли группы Aut(X) (Roman Avdeev and Vladimir Zhgoon. On B-root subgroups on horospherical varieties, https://arxiv.org/abs/2312.03377, 35 pages). Работа (Nikhilesh Dasgupta and Sergey Gaifullin. On locally nilpotent derivations of polynomial algebra in three variables, https://arxiv.org/pdf/2306.00510.pdf, 28 pages) была доработана и получила положительный отзыв в журнале “Математический сборник”; в ней была введена итерационная конструкция, с помощью которой получаются все локально нильпотентные дифференцирования ранга 2, это позволило для многих примеров доказывать, что локально нильпотентное дифференцирование ранга 2 нетриангулируемо, построены новые примеры локально нильпотентных дифференцирований ранга 3 и найдено достаточное условие того, что локально нильпотентное дифференцирование алгебры многочленов от трёх переменных над полем, полученное с помощью конструкции локального слайса, имеет ранг 3. Принята к публикации статья (Viktoria Borovik and Sergey Gaifullin. Isolated torus invariants and automorphism groups of rigid varieties. https://arxiv.org/abs/2007.07882, 17 pages. Accepted in Journal of Algebra), в которой доказано, что связная компонента группы автоморфизмов нормального неприводимого рационального многообразия с действием тора сложности 1, без обратимых функций и с конечно порождённой группой классов дивизоров, является тором, доказано, что количество классов ассоциированности изолированных неприводимых полуинвариантов конечно; доказано, что если вся алгебра регулярных функций на многообразии цела над подалгеброй, порождённой изолированными неприводимыми полуинвариантами максимального тора, то связная компонента группы автоморфизмов является тором. Опубликована статья (Yulia Zaitseva. Affine monoids of corank one. Results in Mathematics 79 (2024), no. 7, article 249. https://doi.org/10.1007/s00025-024-02254-9), в которой доказано, что нормальные неприводимые аффинные многообразия, допускающие структуру моноида коранга один, являются торическими, получена классификация таких моноидов с точностью до изоморфизма, описано множество идемпотентов моноида, центр моноида и изучены геометрические свойства подмногообразия идемпотентов и связь между центром и множеством идемпотентов. Получена классификация алгебраических моноидов на трёхмерном аффинном пространстве (Ivan Arzhantsev, Roman Avdeev and Yulia Zaitseva. Algebraic monoid structures on the affine 3-space. https://arxiv.org/abs/2412.09559, 14 pages).

Публикации

3. И.В. Аржанцев On images of affine spaces Indagationes Mathematicae, 34, no. 4, 812-819 (2023) (год публикации - 2023)
10.1016/j.indag.2023.03.001

5. Боровик В.А., Гайфуллин С.А. Isolated torus invariants and automorphism groups of rigid varieties Journal of Algebra (год публикации - 2024)

9. Зайцева Ю.И. Affine monoids of corank one Results in Mathematics, 79 (2024), no. 7, article 249 (год публикации - 2024)
10.1007/s00025-024-02254-9

Возможность практического использования результатов
--