КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ
Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.
ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Номер проекта 22-41-05001
НазваниеДиофантовы приближения, арифметические последовательности и аналитическая теория чисел
Руководитель Устинов Алексей Владимирович, Доктор физико-математических наук
Организация финансирования, регион федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования "Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики" , г Москва
Конкурс №58 - Конкурс 2021 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований международными научными коллективами» (FWF)
Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-103 - Теория чисел
Ключевые слова аналитическая теория чисел, геометрия чисел, диофантовы приближения, решётки, шашки Фейнмана, квантовые блуждания, нелинейные рекуррентные последовательности, диофантовы экспоненты, принцип переноса, функции меры иррациональности, решётки приближений, многомерные цепные дроби, квадратичные формы, равномерное распределение по модулю 1, псевдослучайные последовательности
Код ГРНТИ27.15.00
ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ
Аннотация
Диофантовы приближения и связанные с ними области, такие как теория равномерного распределения и динамические системы, представляют собой интересные и содержательные области современной математики, которые в последние десятилетия получили огромное развитие. В настоящем проекте мы рассмотрим несколько важных тем из этих тесно связанных друг с другом областей. Поскольку спектр методов, используемых в этих областях, очень широк, представляется необходимым их дальнейшее систематическое развитие. Планируемые в проекте исследования можно условно отнести к трём направлениям:
1. Теория диофантовых приближений;
2. Арифметические последовательности;
3. Аналитическая теория чисел и её приложения.
1. В теории диофантовых приближений основными объектами изучения будут диофантовы экспоненты, принцип переноса, многомерные цепные дроби, задачи о приближении вещественных чисел алгебраическими, функции меры иррациональности, задачи о приближении подпространств рациональными подпространствами, p-адические приближения, решётки приближений, числа Пизо и Салема.
2. В рамках второго направления будут изучаться нелинейные рекуррентные последовательности обладающие теоремами сложения. Такие последовательности связанны с нелинейными дифференциальными уравнениями, математической физикой и криптографией. Эти последовательности также интересны с точки зрения динамических систем и фракталов. Отдельное внимание будет уделено равномерно распределенным арифметическим последовательностям (типа последовательностей Кронекера, Холтона и т. д.)
3. В рамках третьего направления планируется применить методы аналитической теории чисел к изучению "шашек Фейнмана" - дискретной модели квантовой механики. Мы также планируем применить методы аналитической теории чисел к вопросам, связанным с гипотезой Сарнака и к задачам про числа с ограничениями на цифры. Планируется изучение значений целочисленных бинарных квадратичных форм с ограничениями на распределение двоичных знаков, а также бесквадратных чисел с малой долей нулей в двоичной записи. В геометрии чисел планируется доказать новые результаты об экстремальных и статистических свойств сеток Коробова и получить их приложения в теории кубатурных и интерполяционных формул.
Исследования в этих трёх направлениях объединяет то, что многие задачи связаны с исследованием многомерных решёток (в теории диофантовых приближений, в частности, будут рассматриваться геометрические аспекты) и с арифметическими последовательностями, имеющими прикладное значение. В каждом из направлений предполагается получить принципиально новые результаты мирового уровня.
Таким образом, наша цель - собрать сильную команду известных исследователей из Австрии и России, в которую входят эксперты во всех упомянутых областях. C российской стороны в состав участников входят эксперты по классическим диофантовым приближениям, с австрийской стороны -- как специалисты по динамическим системам, с обоих сторон -- специалисты по аналитической теории чисел. Объединение этих экспертных знаний, несомненно, должно обеспечить решающую "добавленную стоимость", которая позволит в полной мере решать упомянутые выше проблемы.
Предлагаемый проект также опираемся на недавно завершенный совместный проект РНФ и FWF "Геометрия чисел и диофантовы приближения: аналитические, динамические и локальные методы"' (2018-2022), в котором участвовали члены обеих команд. Настоящий проект имеет некоторое пересечение по тематике (например, по параметрической геометрии чисел) с завершённым проектом, но не является прямым его продолжением. Темы существенно изменились, некоторые из них являются новыми (например, уточнение теоремы Дирихле, тригонометрические произведения или псевдослучайность), изменился и состав команд.
ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ
Публикации
1.
Устинов А. В.
Короткое доказательство тождества Ландсберга–Шаара
Математические заметки, Матем. заметки, 2022, том 112, выпуск 3, страницы 478–480 (год публикации - 2022)
10.4213/mzm13535
2.
Гайфулин Д.Р.
On the derivative of the Minkowski question-mark function.
Uniform Distribution Theory, Unif. Distrib. Theory 17 (2022), no.2, 101–126 (год публикации - 2022)
10.2478/UDT-2022-0014
3.
Герман О.Н., Мощевитин Н.Г.
On the transference principle and Nesterenko's linear independence criterion
Известия РАН, Серия математическая, Известия Российской академии наук. Серия математическая, 2023, том 87, выпуск 2, страницы 56–68
(год публикации - 2023)
10.4213/im9285
Публикации
1.
Илларионов А.А.
Вычисление гиперэллиптических систем последовательностей
Известия Российской академии наук. Серия математическая, Том 87 №6 (год публикации - 2023)
10.4213/im9321
2. Гайфулин Д.Р. Approximation by non-convergents and second Lagrange spectrum Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux (год публикации - 2024)
3.
Герман О.Н. Мощевитин Н.Г.
On the transference principle and Nesterenko's linear independence criterion
Известия Российской академии наук. Серия математическая (год публикации - 2023)
10.4213/im9285
4.
Герман О.Н.
On triviality of uniform Diophantine exponents of lattices, Communications in Mathematics
Communications in Mathematics, том 87, выпуск 2, страницы 56–68 (год публикации - 2023)
10.46298/cm.11137
5.
Мощевитин Н.Г.
A Note on Well Distributed Sequences
Uniform distribution theory, Volume 18 (2023) - Issue 1 (July 2023) (год публикации - 2023)
10.2478/udt-2023-0008
6.
Герман О.Н.
Badly approximable matrices and Diophantine exponents
Doklady Mathematics, Vol. 106, Suppl. 2, pp. S201–S220 (год публикации - 2023)
10.1134/s106456242270017x
Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Следующие результаты касаются шашек Фейнмана – простейшей математической модели движения
электрона, придуманной Фейнманом в 1940-х годах и известной также под как одномерное квантовое блуждание или модель Изинга при мнимой температуре. Обзор этой модели приводится в статье М. Скопенкова и А. Устинова "Шашки Фейнмана: к алгоритмической квантовой теории"(https://www.mathnet.ru/rus/rm10025), подготовленной в первый год гранта.
В этой модели шашка движется по бесконечной шахматной доске, а мы следим за её поворотами. Эта модель пытается предсказать вероятность обнаружения электрона в точке x в момент времени t, если электрон был испущен из начала координат двумерного пространства-времени. Основным объектом в модели является волновая функция, эволюционирующая во времени и тесно связанная с вероятностью. Нами была доказана новая асимптотическая формула для волновой функции при большом времени, равномерная во всей области, где средняя скорость движения частицы отделена от скорости света. Эта формула записывается в терминах функции Эйри, поведение которой хорошо изучено в комплексном анализе.
Асимптотические свойства волновой функции исследовались многими авторами, начиная с оригинальной работы Фейнмана и Хиббса 1965г. Главные члены в асимптотике между пиками были найдены Амбаинисом и др. в 2001г. Остаточные члены были впервые оценены Сунадой и Татэ в 2012г. Ими были получены и другие неравномерные асимптотические результаты, описывающие поведение
волновой функции вблизи и снаружи пиков. Асимптотика Дарбу для многочленов Лежандра и метод стационарной фазы были применены в работе Богданова и одной из работ, опубликованных нами в первый год выполнения гранта, соответственно. Полученные результаты позволили ответить на вопрос Фейнмана, сформулированный в оригинальной работе. Наконец, равномерная асимптотика между пиками была найдена Закорко с помощью методов квазиклассического приближения. Тем не менее, нахождение асимптотики волновой функции на всей области (где средняя скорость движения отделена от скорости света) оставалось открытой проблемой, решенной нами в рамках настоящего гранта.
Указанные результаты были получены как в обычной модели Фейнмана, так и в ее обобщении с рождением и аннигиляцией частиц, найденном в первый год гранта, подробно изученном во второй и опубликованном в статье "Feynman checkers: lattice quantum field theory with real time"(https://doi.org/10.48550/arXiv.2208.14247, https://arxiv.org/abs/2208.14247).
Изучалась асимптотика Зудлеровских произведений Pn(x), которые определяются как произведение величин 2|sin(Pi*x*r)|, где r принимает значения от 1 до n. Как было показано Айстляйтнером и Бордой, если x - квадратичная иррациональность, то существует такая неотрицательная константа c1(x), что величина Pn(x)*n^c1(x) имеет ненулевой конечный нижний предел. Для ряда квадратичных иррациональностей были впервые вычислены значения данной константы для нетривиального случая, когда нижний предел Pn(x) равен нулю.
Получены новые вероятностные оценки для отклонения сеток Коробова от равномерного распределения. В частности, доказано что существует бесконечно много натуральных N таких,
что среди сеток Коробова из N узлов найдется положительная доля сеток с "большим" отклонением, в случае когда коэффициенты сеток являются взаимно простыми (в совокупности)
с N. Получены новые вероятные оценки для погрешности теоретико-числовых квадратурных формул Коробова. Результаты опубликованы в статье
А. А. Илларионов, “Вероятностные оценки, связанные с теоретико-числовыми квадратурными формулами Коробова”, Алгебра и анализ, 36:6 (2024), 47–81
https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=aa&paperid=1946&option_lang=rus
Построены новые конструкции, позволяющие по-новому доказывать такие классические результаты мультипликативной теории диофантовых приближений, как теоремы Гурвица и Давенпорта о произведениях линейных форм, а также предлагающие новую точку зрения на их многомерные аналоги.
Проведены исследования наилучших диофантовых прриближений, классических задач с неоднородными приближениями, задач, связанных с функциями мер иррациональности и цепными дробями и с последовательностью Кронекера.
Доказаны (в соавторстве А. Рао и У.Шапира) теоремы о связи свойства k-дивиргентности матрицы и метрических свойств неоднородных приближений с этой матрицей. Результаты отражены в публикации https://doi.org/10.1112/mtk.12262 и в архивном препринте https://arxiv.org/abs/2402.001967
Получено обобщение результатов Пуанкаре и Кочергина о суммах Биркгофа вдоль последовательности Кронекера значений непрерывной функции и доказательство отсутствия «универсальной» непрерывной функции, а также новые результаты о гладких суммах вдоль последовательности Кронекера. Результаты содержатся в публикации
https://doi.org/10.1007/s00605-024-02034-1.
Получена (в соавторстве с Н. Шульга) полная классификация свойства Dirichlet-inprovability в двухмерном случае для L_p-норм. Результаты отражены в архивном препринте https://arxiv.org/abs/2408.06200.
Получены (в соавторстве с А. Марна и Й.Шляйшицом) новые результаты об обыкновенной и равномерной экспонентах про условии ограниченности отношений роста для наилучших приближений.
Получены нижние оценки для последовательных больших интервалов между суммами
двух квадратов таких, что правый конец каждого из этих интервалов --- степень двойки.
Оценка имеет логарифмический размер. Данные результаты обобщаются на произвольные
бинарные квадратичные формы и экспоненциальные последовательности. Доказаны
асимптотические формулы для числа сумм двух квадратов с заданной долей единиц в
двоичной записи. Найден новый критерий для существования множества, разность
которого с собой равна множеству квадратичных вычетов по простому модулю. Критерий
принимает вид сравнения между биномиальными коэффициентами, предполагается, что
для достаточно больших простых чисел такое сравнение не может быть выполнено.
Публикации
1.
Ожегов Ф.Ю.
Feynman checkers: External electromagnetic field and asymptotic properties
Reviews in Mathematical Physics, Vol. 36, No. 07 (год публикации - 2024)
10.1142/S0129055X2450017X
2. Илларионов А.А. Вероятностные оценки, связанные с теоретико-числовыми квадратурными формулами Коробова Алгебра и анализ, Алгебра и анализ, 2024, том 36, выпуск 6, страницы 47–81 (год публикации - 2024)
3.
Скопенков М.Б., Устинов А.В.
Feynman checkers: lattice quantum field theory with real time
Analysis and Mathematical Physics, Anal. Math. Phys. 14:38 (2024). (год публикации - 2024)
10.1007/s13324-024-00896-0
4.
Мощевитин Н.Г.
On an example by Poincaré and sums with Kronecker sequence
Monatshefte für Mathematik, Monatsh Math (2024) (год публикации - 2024)
10.1007/s00605-024-02034-1
5.
Мощевитин Н.Г., Рао А., Шапиро У.
Badly approximable grids and 𝒌-divergent lattices
Mathematika, Volume70, Issue 3, July 2024 (год публикации - 2024)
10.1112/mtk.12262
Возможность практического использования результатов
Возможны приложения полученных результатов в криптографии и в исследованиях, связанных с квантовыми компьютерами.