Методы нелинейного анализа и вычислительные алгоритмы в теории краевых задач для нестандартных дифференциальных уравнений и включений в банаховых пространствах

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 22-71-10008

НазваниеМетоды нелинейного анализа и вычислительные алгоритмы в теории краевых задач для нестандартных дифференциальных уравнений и включений в банаховых пространствах

Руководитель Петросян Гарик Гагикович, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования "Воронежский государственный педагогический университет" , Воронежская обл

Конкурс №71 - Конкурс 2022 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-112 - Обыкновенные дифференциальные уравнения и теория динамических систем

Ключевые слова Дифференциальное уравнение, дифференциальное включение, краевая задача, аппроксимация, дробная производная, направляющая функция, деформация, гистерезис, управляемость

Код ГРНТИ27.31.44

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Первоочередной задачей проекта является всестороннее существенное развитие известных и получение новых различных методов исследования нестандартных операторных, дифференциальных и функционально-дифференциальных уравнений и включений. К этому числу относятся модификация метода уплотняющих операторов, в том числе многозначных, топологических и вариационных методов, метода направляющих функций, метода функции Грина, методов дробного и гармонического анализа. На основе данных методов будет проведено разрешение большого комплекса не решеных краевых задач для нестандартных дифференциальных уравнений и включений в банаховых пространствах, в подавляющем большинстве случаев, содержащих производные дробного порядка. В ходе выполнения проекта предполагается получить результаты, касающиеся устойчивости, асимптотического поведения, топологической структуры и оптимизации для некоторых классов нелинейных управляемых систем, описываемых дифференциальными и функционально-дифференциальными уравнениями и включениями дробного порядка. К рассматриваемым классам уравнений и включений относятся уравнения типа Ланжевена, полулинейные уравнения и включения, обобщающие уравнение Гинзбурга-Ландау, уравнения и включения с линейной частью, порождающей ограниченную С_0-полугруппу или семейство сильно непрерывных косинус оператор-функций, дифференциальные уравнения «смешанного типа», то есть содержащие как производные целого порядка, так и производные дробного порядка, такого рода уравнения находят приложения в математической физике при описании движений в среде с трением формально выражаемым в виде дробной производной, уравнения и включения с каузальными операторами. Проект включает в себя исследование нестандартных краевых задач с нелинейными условиями, возникающие при моделировании деформаций и колебаний упругих объектов с установленными ограничителями на перемещение в отдельных точках. Также предполагает исследование математических моделей, имеющих различного рода гистерезисные нелинейности. Для такого рода задач будут доказаны теоремы существования и единственности решений, исследована зависимость решений от параметров, разработаны численные методы и алгоритмы для нахождения приближенных решений. Еще одним направлением проекта является исследование процесса обтекания газовой струей крыла самолета, математическая модель которого представляет собой уравнение смешанного типа. При различных значениях числа Рейнольдса оно описывает дозвуковой поток и имеет эллиптический тип, или имеет гиперболический тип, описывая гиперзвуковой поток. Планируется решить задачу Коши, а также указать классы начальных данных для которых эта задача корректно разрешима, то есть имеет единственное решение, устойчивое к погрешностям начальных данных. На основе полученных результатов в дальнейшем представляется возможным разрешение важных и актуальных задач математической теории управления, которые находят приложения при моделировании управляемых процессов в математической физике, теории нелинейных колебаний, биологии, инженерии, экономике и других современных направлениях человеческой деятельности. Исследование задач данного направления математики носит актуальный характер мирового уровня, который подтверждается большим количеством оригинальных научных работ и монографий по тематике проекта за последние 20 лет, существенная часть которых опубликована в журналах из квартиля Q1. Актуальность тематики проекта подчеркивается оригинальностью методов исследования и сложностью рассматриваемых задач. Анализ современной научной литературы и выступлений участников проекта на международных научных конференциях и конгрессах (например, Братислава (Словакия) 2017, Гаосюн (Тайвань) 2018, Нафпактос (Греция) 2018, Лиссабон (Португалия) 2019, Лейден (Нидерланды) 2019, Санкт-Петербург 2019) показывает, что предлагаемые участниками проекта идеи и методы представляют интерес для специалистов этого раздела математики, а их исследования находятся на современном мировом уровне, и в ряде случаев опережают его.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Исследована задача управляемости для систем, описываемых полулинейными дробными функционально-дифференциальными включениями в сепарабельных банаховых пространствах с почти полунепрерывным снизу мультиоператором с невыпуклыми значениями. Доказан принцип управляемости для такого рода систем. Исследованы системы полулинейных дифференциальных включений дробных порядков. Предполагалось, что линейные части включений представлены операторами Хилле-Иосида в банаховых пространствах. Доказаны локальная и глобальная теоремы существования интегральных решений данной системы. В глобальном случае обоснована также компактность множества решений. Исследована топологическая структура множества решений систем дифференциальных включений дробных порядков в банаховых пространствах, в предположении, что линейные части включений представлены операторами Хилле-Иосида. Доказано, что множество решений имеет топологическую структуру R_δ-множества. Исследована задача о Т-периодических решениях системы, состоящей из дифференциального включения и sweeping-процесса с запаздыванием. Построен оператор сдвига по траекториям sweeping-процесса с запаздыванием. Построен направляющий функционал Красовского, производная которого по траекториям sweeping-процесса является отрицательно-определенной функцией. По селекторам для дифференциального включения найден оператор, который уплотняет относительно векторной меры некомпактности, неподвижные точки которого дают периодическое решение поставленной задачи. Исследована задача Коши для одного класса дифференциальных включений в банаховых пространствах «смешанного типа», то есть содержащих производные дробного и целого порядков. Доказаны локальная и глобальная теоремы существования интегральных решений, в последнем случае обоснована также компактность множества решений. С использованием теории топологической степени уплотняющих мультиотображений установлен общий принцип управляемости для систем, описываемых полулинейными дифференциальными включениями дробного порядка из интервала (0,1), с обратной связью в виде sweeping процесса в гильбертовом пространстве. Система предполагает, что линейная часть включения является генератором равномерно ограниченной C_0-полугруппы операторов в банаховом пространстве, а нелинейная часть есть полунепрерывное сверху многозначное отображение, подчиненное условию регулярности, выраженному в терминах мер некомпактности. Проведено исследование нестандартных краевых задач, возникающих при моделировании деформаций стилтьесовской струны, а также цепочки из стилтьесовских струн, соединенных между собой пружинами, при условии наличия ограничителя на перемещение одного из концов под воздействием внешней силы. Установлена эквивалентность изучаемых краевых задач с соответствующими вариационными неравенствами, записанными с помощью интегралов Стилтьеса. Доказаны теоремы существования и единственности решений вариационных неравенств. Разработаны алгоритмы для нахождения приближенных решений изучаемых задач, проведены верифицирующие численные эксперименты, написана программа на языке Python, получена оценка погрешности. Исследована задача о существовании ограниченных решений дифференциальных включений, правая часть которых удовлетворяет верхним условиям Каратеодори и условию подлинейного роста. В качестве основного инструмента применен метод классических направляющих функций, а также его модификации – метод направляющих функций на заданном множестве и метод многолистных направляющих функций. В каждом из приведенных выше случаев доказаны теоремы существования ограниченных решений для дифференциальных включений. Исследована периодическая задача для функционально-дифференциального включения с нелинейной частью, представленной в виде суммы случайного u-мультиотображения и случайного с-отображения. Построен обобщенный мультиоператор суперпозиции для приведенной задачи. Определено понятие случайной негладкой интегральной направляющей функции. Сформулирована и доказана теорема о существовании случайного периодического решения функционально-дифференциального включения с возмущенной правой частью. Исследовано возмущенное уравнение аэродинамики, рассматриваемое в предыдущем этапе проекта для случая невозмущенного дозвукового потока движения среды. Доказана корректная разрешимость начально-краевых задач для уравнения движения сжимаемой жидкости в применении к телам, ограниченных поверхностями, составляющими малый угол с направлением возмущенного потока. Получено представление точного решения. Исследован метод Галёркина приближённого решения нелинейной параболической задачи с периодическим по времени условием на решение. При выполнении условий, гарантирующих слабую разрешимость данной задачи, установлена энергетическая сходимость приближенных решений к точному, а также, в случае проекционных подпространств типа конечных элементов и большей гладкости точного решения, получена скорость сходимости. Исследованы системы дифференциальных включений дробных порядков из произвольного промежутка (N-1,N),N≥1, в банаховых пространствах, в предположении, что правые части включений являются многозначными отображениями типа Каратеодори, зависящими от времени и конечного набора функций и их производных целого порядка, вплоть до N-1. Доказаны локальная и глобальная теоремы существования интегральных решений данной системы. В глобальном случае обоснована также компактность множества решений.

Публикации

1. Обуховский В.В., Петросян Г.Г., Ульвачева Т.А., Бочаров В.А. О системах полулинейных дифференциальных включений дробного порядка с неплотно заданными операторами в банаховых пространствах Известия высших учебных заведений. Математика (год публикации - 2025)

2. Петросян Г.Г. О топологической структуре множества решений задачи Коши для дифференциальных включений дробного порядка с полунепрерывной сверху правой частью Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления, Т. 522, С. 33-39 (год публикации - 2025)

3. Петросян Г.Г. О системах управления, описываемых дифференциальными включениями дробного порядка с обратной связью Дифференциальные уравнения, Т. 60, № 11, с. 1499–1518 (год публикации - 2024)
https://doi.org/10.31857/S0374064124110067

4. Костин В.А., Костина Т.И., Пошевеля Д.И. О разрешимости задачи обтекания тонкого крыла дозвуковым потоком Насосы. Турбины. Системы. (год публикации - 2025)

5. Зверева М.Б., Каменский М.И., Шабров С.А. Адаптация метода конечных элементов для задачи о деформациях cтилтьесовской струны с нелинейным условием Журнал вычислительной математики и математической физики (год публикации - 2025)

6. Корнев С.В., Корнева П.С., Обуховский В.В. О методе направляющих функций в задаче о существовании ограниченных решений дифференциальных включений Известия Иркутского государственного университета. Серия «Математика» (год публикации - 2025)

7. Бондарев А.С. Оценки погрешности метода Галёркина приближённого решения нелинейного параболического уравнения с периодическим условием на решение Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика (год публикации - 2025)

8. Обуховский В.В., Каменский М.И., Петросян Г.Г., Ульвачева Т.А., Цзен Ш. On systems of differential inclusions of fractional order in Banach spaces Siberian Mathematical Journal, Vol. 66, No. 2, pp. 303–314 (год публикации - 2025)
10.1134/S0037446625020089

9. Каменский М.И., Обуховский В.В., Петросян Г.Г., Сорока М.С. On topological properties of solution sets for semilinear differential inclusions of fractional order $\alpha\in (1,2)$ with non-convex right-hand sides Communications in Optimization Theory (год публикации - 2025)

10. Обуховский В.В., Петросян Г.Г., Яо Ж.Ч. On controllability for a system governed by a semilinear fractional functional differential inclusion with a nonconvex-valued right-hand side in a Banach space Applicable Nonlinear Analysis, Vol. 1, Is. 2, P. 160–169 (год публикации - 2025)
https://doi.org/10.69829/apna-024-0102-ta02

11. Обуховский В.В., Петросян Г.Г., Ульвачева Т.А., Яо Ж.Ч. On the topological structure of the solution set for a system of fractional semilinear differential inclusions in Banach spaces Journal of Nonlinear and Convex Analysis, Vol. 26, Number 1, P. 39-52 (год публикации - 2025)

Возможность практического использования результатов
Исследованные в ходе реализации проекта математические модели процесса распространения дозвукового потока движения сжимаемой жидкости в применении к телам, ограниченных поверхностями, составляющими малый угол с направлением невозмущенного потока (тонкие крылья, удлиненные тела), могут быть использованы в авиастроении. Результаты исследований нестандартных краевых задач с нелинейными условиями, возникающих при моделировании деформаций и колебаний упругих объектов с установленными в отдельных точках ограничителями на перемещение могут быть использованы в строительной механике (расчёт мостов, антенн, тросовых конструкций), робототехнике (гибкие манипуляторы, тросовые передачи), приборостроении, машиностроении, проектировании современных композитных материалов и других областях, где требуется анализ упругих систем с нелинейными эффектами.