КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

 

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

---

Номер проекта 22-71-10106

НазваниеОбобщенные интегрируемые биллиарды: их топологические свойства и квазиклассические асимптотики соответствующих квантовых систем

Руководитель Ведюшкина Виктория Викторовна, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №71 - Конкурс 2022 года «Проведение исследований научными группами под руководством молодых ученых» Президентской программы исследовательских проектов, реализуемых ведущими учеными, в том числе молодыми учеными

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-105 - Топология

Ключевые слова Интегрируемая гамильтонова система, интегрируемые биллиарды, слоение Лиувилля, лагранжево слоение, CW-комплекс, софокусные квадрики, динамика твердого тела, топологические инварианты, бифуркационная диаграмма, квазиклассическая асимптотика, канонический оператор Маслова, адиабатическое приближение, операторное разделение переменных

Код ГРНТИ27.21.21

---

 

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

---

Аннотация
Целью проекта является систематическое изучение различных обобщений классических интегрируемых биллиардов и их свойств. Планируется выполнить комбинаторную и топологическую классификацию их важных классов, вычислить инварианты и изучить особенности таких систем. Также предполагается реализация изучаемыми биллиардными системами лагранжевых слоений с особенностями (слоений Лиувилля), возникающих на фазовых пространствах интегрируемых гамильтоновых систем. Важным направлением также является изучение квазиклассических асимптотик квантовых задач, связанных с интегрируемыми биллиардами и системами, близкими к интегрируемым. Фундаментальные научные проблемы, на которые нацелен настоящий проекта, могут быть объединены по трем следующим направлениям: 1) классификация обобщенных биллиардов, их кодирование и алгоритмы подсчета инвариантов 2) обобщенные биллиарды, геодезические и особенности интегрируемых систем 3) квазиклассические асимптотики квантовых задач, связанных с биллиардами Топологический подход к изучению интегрируемых систем – динамических систем с сохраняющимися величинами – показал себя весьма эффективным при описании качественных свойств как таких систем, так и “близких” к ним их возмущений. В силу КАМ-теории и результатов Н.Н.Нехорошева 1977г., такие системы реального мира “достаточно долго” сохраняют свойства своих интегрируемых моделей. Это хорошо иллюстрирует известный эффект переворотов вращающейся в невесомости гайки, наблюдаемый космонавтом Джанибековым. Моделью такого движения является известный интегрируемый волчок Эйлера - вращение твердого тела, закрепленного на шарнире в центре масс. Теория топологической классификации интегрируемых систем, построенная в работах А.Т.Фоменко и его научной школы, позволила также показать эквивалентность волчка Эйлера (причем не только топологическую, в смысле замыканий фазовых траекторий, но и траекторную) и системы геодезического потока на эллипсоиде. Вычисление топологических инвариантов Фоменко-Цишанга для многих интегрируемых систем и их сравнение позволило как установить ряд априорых неочевидных эквивалентностей между системами разной природы в некоторых зонах их энергий, так и существенно продвинуться в составлении “атласа” интегрируемых систем вообще. Построенная теория установила и прояснила многие связи теории интегрируемых систем с современными подходами топологии многообразий (классы расслоенных многообразий Зейферта и граф-многообразий Вальдхаузена), теорией групп и алгебр Ли, теорией особенностей и бифуркаций, гамильтоновой механикой. Классический биллиард в эллипсе может быть рассмотрен как предельный вариант геодезического потока эллипсоида (когда длина его малая полуось стремится к нулю). Теория интегрируемых биллиардов и геодезических потоков привлекала внимание ведущих ученых прошлого и современности: начиная с работ Якоби, к изучению таких системи описанию их свойств применялись передовые методы, развиваемые в смежных областях математики и механики. В последние годы важные результаты о таких системах были получены, например, В.В.Козловым, Д.В.Трещевым, С.Болотиным С.Табачниковым, В.Драговичем и М.Раднович. А.Глуцюком, А.Соррентино, В.Калошиным, А.Мироновым и М.Бялым. Так, тесная связь интегрируемости биллиарда с принадлежностью гладких дуг границы стола софокусным квадрикам, стала предметом знаменитой гипотезы Биркгофа. Опуская некоторые детали, ее можно сформулировать так: “если биллиард внутри гладкой замкнутой кривой на плоскости интегрируем, то эта кривая – эллипс”. Ряд ее формулировок, тесно связанных с первоначальной версией, был доказан в недавних работах А.Глуцюка, А.Соррентино, В.Калошина, А.Миронова и М.Бялого. При некоторых условиях, класс плоских биллиардов с полиномиальным интегралом совпадает с классом софокусных биллиардов. Отметим, что разных типов столов при этом оказалось конечное число. Кусочно-гладкая граница последних состоит из дуг квадрик (например, эллипсов и гипербол) с общими фокусами. Вычисление топологических инвариантов софокусных биллиардов было начато В.Драговичем и М.Раднович, а также ранних работах руководителя проекта В.В.Ведюшкиной (Фокичевой). В.В.Ведюшкиной удалось затем построить принципиальное расширение класса интегрируемых биллиардов. Класс биллиардных книжек, т.е. кусочно-плоских столов склеенного из нескольких софокусных областей по гладким дугам их границ (т.е. CW-комплексов с перестановками, задающими переход шара с одного плоского листа на другой), наследует многие свойства классических биллиардов, в частности, их интегрируемость. Более того, такое обобщение комбинируется с известными: добавлением специальных потенциала, изменением метрики стола. Изучая класс биллиардов на столах комплексах, В.В.Ведюшкиной (в том числе, совместно с А.Т.Фоменко и их учениками) был получен ряд принципиальных результатов о реализации различных топологических типов слоний и их особенностей. Например, реализация всех невырожденных особенностей коранга 1 и баз слоения Лиувилля для интегрируемых гамильтоновых систем с 2 степенями свободы). Также были получены интересные результаты о классификации интегрируемых биллиардов (например, с точки зрения комбинаторики столов и топологии слоений был полностью описан класс топологических биллиардов – когда комплекс является двумерным многообразием. Тем самым, удалось получить существенные продвижения по гипотезе А.Т.Фоменко о биллиардах. А именно, по вопросу о широте класса интегрируемых биллиардов среди всех интегрируемых систем с точки зрения их топологических свойств. Кроме того, важным результатом оказалось моделирование многих режимов движения интегрируемых систем из геометрии, механики и математической физики с помощью биллиардных книжек. Например, биллиардами реализованы упомянутые выше эффект Джанибекова (как и другие режимы поведения движения волчка Эйлера в неособых зонах энергии). Отметим также, что совсем недавно биллиардные книжки были использованы В.Драговичем и М.Раднович для моделирования специальных режимов движения биллиардного шара в плоских областях [https://arxiv.org/abs/2111.10913]. Построение квантовых аналогов для классических интегрируемых систем является одной из фундаментальных проблем, лежащей на стыке математической физики, геометрии, алгебры и функционального анализа. Во многих задачах нахождение квазиклассических асимптотик удается провести с помощью канонического оператора Маслова. Гамильтониан для классической системы биллиарда в эллипсе задается как главный символ квантового оператора с учетом условий отражения на жестких стенках (см., например, монографию В.В.Козлова и Д.В.Трещева 1991 о биллиардах). В одномерном случае коротковолновые асимптотики всегда можно построить, более того они приближают собственные функции квантовой задачи. В случае двух и более измерений коротковолновые асимптотики (асимптотики в квазиклассическом приближении) тесно связаны со свойством интегрируемости соответствующего классического биллиарда. Найти собственные числа и функции (или построить асимптотики собственных чисел и формальные асимптотические собственные функции, квазимоды) можно в том случае, если соответствующий классический биллиард интегрируем или почти интегрируем, Гальперин 1990. Одним из важных классов собственных функций оператора Лапласа, является класс локализованных вблизи границы, так называемые собственные функции типа шепчущих галерей. Такие собственные функции являются высокочастотными, что естественным образом ставит вопрос о построении асимптотических собственных функций, дающих малую невязку при подстановке в уравнение. Асимптотики собственных чисел и асимптотические собственные функции (квазимоды) востребованы в самых разных практических ситуациях, которые можно смоделировать с помощью задач математической физики. В частности, задача для уравнения Шредингера в камере Вейля возникла при изучении двумерной и трехмерной модели Изинга в ситуации, когда капля одной фазы соприкасается со стенкой объемлющего сосуда, D. Ioffe, S. Shlosman, Y. Velenik, 2015. В настоящем проекте планируется получить продвижения по следующим принципиальным вопросам о топологии биллиардов и интегрируемых систем, их особенностей: – как алгоритмически вычислить инварианты биллиарда? – как можно классифицировать биллиардные книжки? – какими свойствами обладают биллиарды в многомерных софокусных областях и геодезические потоки на многомерных эллипсоидах? – насколько широкий класс невырожденных особенностей (т.е. содержащих невырожденные положения равновесия) интегрируемых систем реализуется биллиардами – какими свойствами обладают другие интегрируемые модификации классических биллиардов и книжек, какими методами их анализировать? Также планируется изучить и описать связь коротковолновых асимптотик с классическими биллиардами на примере двух задач: – оператора Лапласа в области, ограниченной тором с эллиптическим сечением – оператора Шредингера в биллиардных книжках на основе двумерной камеры Вейля.

---

 

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

---