Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Исследовались свойства алгебраических многообразий Z, в группу автоморфизмов которых может быть вложена абстрактная группа S, а именно, исследовалось содержатся ли такие Z в определенных классах алгебраических многообразий (рациональных, нерациональных, аффинных, полных и т.п.) Согласно проекту, рассматривались S, являющиеся группой автоморфизмов свободной группы F конечного ранга n>1, и Z, являющиеся категорным фактором алгебраического многообразии всех гомоморфизмов группы F в алгебраическую группу G по естественному действию конечной подгруппы R группы Aut(G ). В отчетный период доказано, что для любого простого числа p, отличного от характеристики основного поля, существует такая полная линейная группа G и такая конечная p-группа R, что указанное выше алгебраическое многообразие Z является нерациональным (и даже не стабильно рациональным) и аффинным. Это дает конструкцию не стабильно рациональных аффинных алгебраических многообразий, в группы автоморфизмов которых вкладывается группа S автоморфизмов свободной группы F ранга n. Получена также конструкция вложений указанной группы S в группы автоморфизмов рациональных аффинных алгебраических многообразий. В отчетный период было получено доказательство жордановости групп биголоморфных автоморфизмов компактных комплексных однородных многообразий. Также было показано, что свойство Жордана выполнено и для групп бимероморфных автоморфизмов компактных однородных многообразий, обладающих некоторыми дополнительными свойствами. Были изучены конечные абелевы подгруппы ранга 2 и достаточно больших порядков в группах бирациональных автоморфизмов трёхмерных рационально связных многообразий. Было доказано, что при этих условиях многообразие всегда является рациональным, и получен положительный ответ на вопрос о тороидализации данных подгрупп. Был построен 2-коцикл на групповой инд-схеме, являющейся полупрямым произведением группы автоморфизмов формального проколотого диска и группы обратимых регулярных функций на этом диске. Этот 2-коцикл принимает значения в мультипликативной группе и строится при помощи определителей некоторых бесконечных матриц, связанных с кольцом рядов Лорана R((t)), где R - произвольное коммутативное кольцо. После расширения скаляров до поля рациональных чисел, во второй группе когомологий для двенадцатой степени построенного 2-коцикла было получено разложение в произведение целочисленных степеней просто определяемых явных 2-коциклов, получаемых при помощи символа Конту-Каррера и кап-произведения некоторых специальных 1-коциклов. Исследовались группы автоморфизмов и бирациональных автоморфизмов поверхностей дель Пеццо степени 6, определенных над алгебраически незамкнутыми полями характеристики 0 и не имеющих точек над полем определения. В отчетном году было доказано, что у поверхности дель Пеццо степени 6, для которой образ группы Галуа в группе Вейля порождается элементом порядка 2, константа Жордана группы автоморфизмовне превосходит 4. Также был построен пример такой поверхности дель Пеццо степени 6 с константой Жордана группы автоморфизмов , равной 4. В случае, если образ группы Галуа содержится в симметрической группе ранга 3, показано, что константа Жордана не превосходит 3. Наконец, в случае, когда образ группы Галуа является циклической группой порядка 6, показано, что константа Жордана не превосходит 3. Исследовались поверхности дель Пеццо степени 1, обладающие структурой относительно минимального расслоения на коники, над конечными полями. Такие поверхности принадлежат к одному из семи типов, определяемым степенями точек на базе, над которыми находятся вырожденные слои. Для каждого из этих типов получен список конечных полей, для которых соответствующая поверхность дель Пеццо степени 1 существует. Основным методом для получения этого результата является построение линков Саркисова, связывающих произвольные относительно минимальные расслоения на коники с вырожденными слоями над точками заданной степени с поверхностями дель Пеццо степени 1, обладающими структурой относительно минимального расслоения на коники. Было показано, что максимальная группа автоморфизмов поверхностей дель Пеццо степени 3 над полем характеристики 3, содержащим примитивный корень степени 4 из 1, изоморфна группе Гейзенберга ранга 3 над полем из 3 элементов, полупрямо помноженной на циклическую группу порядка 8; над полем характеристики 3, не содержащим примитивный корень степени 4 из 1, изоморфна группе перестановок 5 из элементов; над полем характеристики 5, содержащим нетривиальный корень степени 3 из 1 изоморфна циклической группе порядка 27, полупрямо помноженной на группу перестановок 4 элементов; над полем характеристики 5, не имеющим нетривиальный корень степени 3 из 1, изоморфна циклической группе порядка 9, полупрямо помноженной на диэдральную группу порядка 8. Был сформирован список всех возможных дискретных инвариантов (таких как степень, род, конфигурация особенностей и ряд Гильберта) трехмерных потенциально нерациональных многообразий Q-Фано, индекс Фано которых лежит в интервале 2,...,7. Был доказан следующий результат: если индекс трехмерного многообразия Q-Фано больше 1 и фундаментальная линейная система имеет размерность по крайней мере 3, то многообразие рационально; если индекс больше 2 и фундаментальная линейная система имеет размерность по крайней мере 2, то многообразие рационально; если же индекс Фано больше 3 и фундаментальная линейная система имеет размерность по крайней мере 1, то многообразие также рационально. Таким образом, нерациональные многообразия Q-Фано индекса большего 1 имеют очень ограниченные численные инварианты. Были исследованы конкретные особые многообразия Фано, представимые в виде факторов проективных пространств по конечным группам (в частности, по группе икосаэдра) и доказана их рациональность. Были изучены нодальные многообразия Фано, являющиеся двойными накрытиями квадратичной гиперповерхности в проективном четырехмерном пространстве с не более чем нульмерной особенностью, ветвящиеся в поверхности степени 8. Было доказано, что существует три семейства таких многообразий, третьи сингулярные когомологии разрешения особенностей общего члена которых содержат нетривиальную подгруппу кручения. Таким образом, в классе трехмерных многообразий Фано индекса 1 и рода 3 описаны новые примеры многообразий с препятствием Артина-Мамфорда к рациональности. Ссылки на веб-страницы, посвященные проекту: https://arxiv.org/abs/2403.18389 https://arxiv.org/abs/2411.15334 https://arxiv.org/abs/2308.06049 https://arxiv.org/abs/2304.09955 https://link.springer.com/article/10.1007/s11565-024-00515-7 https://doi.org/10.1112/jlms.70028 https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=9532&option_lang=rus https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=9568&option_lang=rus

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Для группы S, являющейся либо группой автоморфизмов свободной группы ранга n, либо группой ее внешних автоморфизмов, либо группой кос на n нитях, получены оценки сверху на минимум размерностей алгебраических многообразий, в группу автоморфизмов которых вкладывается S, и на минимум рангов групп Кремоны, в которые вкладывается S. Доказана неприводимость и рациональность многообразия точек перегиба плоских кубик и его эквивариантная бирациональная изоморфность проективизации некоторого 2-мерного векторного расслоения над PSL(3)/K, где K--- бинарная группа тетраэдра. Были изучены подгруппы в группах бирациональных автоморфизмов проективных многообразий, сохраняющие естественные рациональные расслоения. Для максимального рационально связного расслоения показано, что гомоморфизм между группами бирациональных автоморфизмов тотального пространства и базы непрерывен в топологии Зарисского, а его образ конструктивен. С помощью этих результатов была получена характеризация проективных многообразий (над полем нулевой характеристики), группы бирациональных автоморфизмов которых не жордановы. Для линейного расслоения на окольцованном пространстве, построенном по пучку колец R((t)) на схеме X над полем рациональных чисел, была получена новая теорема Римана-Роха. Она описывает прямой образ умноженного на 12 выражения степени 2 для произведения характера Черна этого линейного расслоения на класс Тодда кокасательного расслоения. Все рассматривается во второй группе когомологий Чеха схемы Х для пучка обратимых регулярных функций на схеме X. Для получения этой теоремы использовался результат про явное разложение 12-ой степени 2-коцикла на некоторой групповой инд-схеме. Для поверхностей дель Пеццо степени 4 и 6, не имеющих точек над полем определения, были получены оценки на константы Жордана для групп автоморфизмов. Более того, были построены примеры, показывающие, что эти оценки достигаются. В случае минимальных поверхностей дель Пеццо степени 6 была получена аналогичная, но более сильная оценка, и построен пример, показывающий, что она достигается. Получено описание конечных полей, для которых реализуются типы поверхностей дель Пеццо степени 1, являющиеся скрутками Бертини поверхностей дель Пеццо степени 1, типы которых соответствуют относительно минимальным расслоениям на коники. Показано, что гипотеза Амицура выполняется для (n-1)-мерных многообразий Севери—Брауэра, на которых cуществует точка степени n, для которой соответствующие геометрические точки определены над расширением основного поля, группа Галуа которого циклическая или диэдральная. Была дана классификация наибольших по порядку групп автоморфизмов гладких поверхностей дель Пеццо степени три над произвольными полями и классы изоморфизмов с явным видом представителя каждого класса изоморфизмов гладких поверхностей дель Пеццо степени три с наибольшими по порядку группами автоморфизмов. Каждый представитель был описан уравнением гиперповерхности степени три в трехмерном проективном пространстве. Выполнены исследования бирациональной геометрии трехмерных многообразий Q-Фано. Построены линки Саркисова, описаны структуры расслоений Мори и доказана нерациональность для широкого класса многообразий. Найдены все возможности для численных инвариантов нерациональных многообразий Q-Фано индекса Фано > 4. Доказана рациональность для индексов 6 и 7, кроме некоторых явно описанных случаев. В качестве приложений развитой теории доказано, что фактор аффинного пространства любой размерности по линейному действию бинарной группы икосаэдра рационален. Были исследованы нодальные многообразия Фано, являющиеся двойными накрытиями квадратичных гиперповерхностей в P^4 разрешения особенностей квадратичного конуса с вершиной в прямой, ветвящимися в поверхностях степени 8. Обнаружено три семейства таких многообразий, чьи третьи сингулярные когомологии разрешения особенностей нетривиальны, что указывает на существование препятствия Артина-Мамфорда к рациональности. Для достижения этого результата была изучена геометрия поверхностей ветвления и четные множества нодов, возникающие на них. Ссылки на веб-страницы, посвященные проекту: https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4454&option_lang=rus https://link.springer.com/article/10.1134/S0081543824602193 https://arxiv.org/abs/2503.04177 https://arxiv.org/abs/2412.05120 https://www.mathnet.ru/rus/anfer1 https://www.mathnet.ru/rus/faa4280 https://www.mathnet.ru/rus/rjmph31 https://www.mathnet.ru/rus/tm4478 https://arxiv.org/abs/2407.09997 https://arxiv.org/abs/2505.11596 https://arxiv.org/abs/2501.16267 https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=10161&option_lang=rus https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4472&option_lang=rus https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=faa&paperid=4290&option_lang=rus