Контрастные структуры в сингулярно возмущенных системах, интегро-дифференциальных уравнениях и уравнениях с запаздыванием типа реакция-диффузия-адвекция.

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-11-00069

НазваниеКонтрастные структуры в сингулярно возмущенных системах, интегро-дифференциальных уравнениях и уравнениях с запаздыванием типа реакция-диффузия-адвекция.

Руководитель Левашова Наталия Тимуровна, Кандидат физико-математических наук

Организация финансирования, регион Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования «Московский государственный университет имени M.В.Ломоносова» , г Москва

Конкурс №80 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-206 - Вычислительная математика

Ключевые слова Системы уравнение реакция-диффузия-адвекция, интегродифференциальные уравнения, асимптотические методы, переходные слои, дифференциальные неравенства, устойчивость по Ляпунову.

Код ГРНТИ27.31.00

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Проект направлен на развитие нового направления в исследовании нелинейных сингулярно возмущенных задач, носящих в приложениях название уравнений реакция-диффузия и реакция-адвекция-диффузия. Основным направлением исследований предполагается развитие асимптотических методов приближения решений с переходными слоями (контрастными структурами) в нелинейных сингулярно возмущенных задачах для систем, интегро-дифференциальных уравнений и уравнений с запаздыванием. Эти уравнения широко применяются в различных областях в качестве математических моделей, в частности, в теории волн, биофизике, экологии активно используются модели, основанные на уравнениях такого типа. Основные работы по проекту планируется сосредоточить на новых классах задач указанного типа – задачах для систем параболических, эллиптических, параболических периодических уравнений, у которых решения имеют резкие переходные слои в различных компонентах. Такие классы сингулярно возмущенных задач мало исследованы, в частности, практически нет существенных результатов в исследовании систем с так называемыми быстрыми и медленными уравнениями. Отметим, что многие вопросы исследования устойчивости стационарных решений таких задач, их формирования как решений нестационарных задач, на наш взгляд, являются открытыми. В частности, асимптотический метод дифференциальных неравенств, который является весьма эффективным средством для получения условий устойчивости стационарных решений систем параболических уравнений типа реакция-адвекция-диффузия с четким разделением компонент на активатор и ингибитор, требует модификации, связанной с определёнными условиями на знаки производных функций, описывающих взаимодействие активатора и ингибитора, так называемыми условиями квазимонотонности. К новым объектам исследования можно отнести задачи с внутренними переходными слоями для краевых и начально-краевых задач для интегро-дифференциальных уравнений и уравнений с запаздыванием, в том числе интегро-дифференциальных уравнений с запаздыванием. В этих классах задач основным направлением будет исследование устойчивости стационарных решений и стационирования решений начально-краевых задач. Все исследования инициированы приложениями. Планируемые результаты позволят исследовать более сложные и реалистичные математические модели. Исследования планируется проводить на основе развития асимптотического метода дифференциальных неравенств, в разработке которого руководителем проекта и его коллегами и учениками получен ряд основополагающих результатов. Асимптотический метод дифференциальных неравенств, использующий формальную асимптотику для построения верхних и нижних решений при обосновании асимптотики, оценки точности приближений и исследования асимптотической устойчивости по Ляпунову стационарных и периодических решений показал свою эффективность во многих классах нелинейных сингулярно возмущенных скалярных задачах и некоторых классах систем. Очевидно, что новые классы задач потребуют существенное развитие этого метода. Применение асимптотического анализа послужит основой для дальнейшего развития коллективом, представляющим проект, новой концепции асимптотического решения обратных коэффициентных задач для сингулярно возмущенных уравнений, а также задач управления, т.е. определения параметров модели и/или граничных условий, обеспечивающих реализацию заданного режима. Полученные результаты планируется использовать для создания численно-аналитических методов исследования контрастных структур и их применение в конкретных приложениях, среди которых планируется рассмотреть некоторые новые задачи биофизики, магнитной динамики космоса, экологии и эволюционной генетики.

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Никулин Е.И., Волков В.Т., Карманов Д.А. Структура внутреннего переходного слоя в задаче реакция-диффузия в случае сбалансированной реакции со слабым разрывом Дифференциальные уравнения, том 60, № 1, с. 64–75 (год публикации - 2024)
10.31857/S0374064124010068, EDN: RSQLCN

2. Нефедов Н.Н.,Тищенко Б.В., Левашова Н.Т. An algorithm for construction of the asymptotic approximation of a stable stationary solution to a diffusion equation system with a discontinuous source function Algorithms, Vol. 16, no. 8. P. 359. (год публикации - 2023)
10.3390/a16080359

3. Аргун Р., Левашова Н., Лукьяненко Д., Шишленин М. Modeling the dynamics of negative mutations for mouse population and the inverse problem of determining phenotypic differences in the first generation Mathematics., Vol. 11, no. 14. P. 3180. (год публикации - 2023)
10.3390/math11143180

4. Левашова Н.Т., Михеев Н.А. Задача Коши для сингулярно возмущенного уравнения с запаздывающим аргументом Вестник Московского книверситета. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ., 78(5), 2350103 (год публикации - 2023)
10.55959/MSU0579-9392.78.2350103

5. Каташева И. К., Корпусов М. О., Панин А. А. О разрушении и о глобальном существовании слабых решений задачи Коши для одного нелинейного уравнения псевдопараболического типа ВМУ.Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ., 78(6), 2360103 (год публикации - 2024)
10.55959/MSU0579-9392.78.2360103

6. Нефедов Н.Н., Никитин А.Г., Никулин Е.И. Boundary-value problem for singularly perturbed integro-differential equation with singularly perturbed neumann boundary condition Russian Journal of Mathematical Physics,, Vol. 30, no. 3. P. 375–381 (год публикации - 2023)
10.1134/S1061920823030081

7. Нефедов Н.Н. Существование, асимптотика и устойчивость по Ляпунову решений периодических параболических задач для систем реакция-диффузия тихоновского типа . Математические заметки, том 115, выпуск 2, 276–285 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14116

8. Симаков Р.Е. Системы реакция–диффузия с нелинейными источниками разной интенсивности в случае кратного корня без условия квазимонотонности ВМУ. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ., 78(6), 2360102 (год публикации - 2023)
10.55959/MSU0579-9392.78.2360102

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
В соответствии с общим планом работ по проекту, в 2024 году работа велась в 3 направлениях. Основная часть проделанной работы нашла свое отражение в 8 опубликованных публикациях по проекту. Результаты, полученные в ходе работ по проекту в отчетный период, представлены в 15 устных докладах на научных конференциях. 1) Разработаны алгоритмы построения асимптотики периодических решений с движущимися фронтами и стационарных решений начально-краевых задач систем быстрых и медленных уравнений реакция-диффузия и реакция-диффузия-адвекция с переходными слоями (одномерный случай). Результаты обобщены на многомерные по пространственной переменной задачи. Доказаны теоремы существования и развить методы доказательства устойчивости по Ляпунову таких решений. Проведено обобщение на задачи с внутренними слоями со смешанной квазимонотонностью и задачи с отсутствием квазимонотонности 2) Проведен асимптотический анализ краевых одномерных систем быстрых и медленных уравнений реакция-диффузия и реакция-диффузия-адвекция с квадратичными нелинейностями (так называемых KPZ систем). Доказаны теоремы существования и устойчивости по Ляпунову решений. 3) Разработаны алгоритмы построения асимптотики решений систем быстрых и медленных уравнений реакция-диффузия в случае смены устойчивости. Доказаны теоремы существования решений. 4) Исследованы условия существования и построены асимптотические приближения решений типа фронта (решения с движущимся внутренним переходным слоем) начально-краевых задач:. • уравнения типа реакция-диффузия в случае сбалансированной реакции со слабым разрывом, • задачи о распространении автоволнового фронта в среде с разрывными характеристиками и стабилизации его к решению стационарной задачи с большим градиентом на границе раздела сред 5) Доказаны теоремы существования стационарных решений начально-краевых задач с внутренним переходным слоем интегро-дифференциальных уравнений (одномерный по пространственной переменной случай). 6) Построена асимптотика решения систем нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в частных производных с нелокальными дополнительными условиями (интегральными законами сохранения), включающих математическую модель эффекта бареттирования и ее обобщения, и доказаны теоремы существования решений с построенной асимптотикой. 7) Разработан алгоритм построения асимптотического приближения решения задачи граничного управления с заданной точностью для уравнения типа Бюргерса с периодическими по времени коэффициентами в случае модульного разрыва адвекции. Разработан метод расчёта погрешности, которая возникает при замене точного решения задачи управления на асимптотическое. Этот метод является универсальным для задач к которым применим асимптотический метод дифференциальных неравенств. Полученные результаты могут быть использованы для проверки адекватности численного решения задач управления, а именно, численный результат может считаться достоверным, если соответствует интервалу погрешности, рассчитанному аналитически 8) Разработана модель роста опухолевых клеток на основании уравнений с модульной нелинейностью и эффектом запаздывания 9) Рассмотрены и проанализированы существующие асимптотические методы реконструкции магнитных полей плоских галактик и галактических джетов. На основании изученных метод, строящихся на анализе поляризации синхротронного излучения релятивистских электронов, было предложено развитие формулы Берна, как асимптотики нулевого порядка, восстанавливающей только ‘среднее’, то есть постоянное, магнитное поле. Если для джетов был предложен метод, сводящий к интегральному уравнению Абеля и дающий ‘точное’ восстановление геликоидальной магнитной структуры в джете, то для галактик был предложен способ реконструкции профиля магнитного поля в виде асимптотического ряда Фурье

Публикации

1. Нефедов Н.Н. Существование и асимптотика решений краевых задач для систем реакция-диффузия тихоновского типа в случае смены устойчивости Математические заметки, т. 116 выпуск 6, с. 947-955 (год публикации - 2024)
10.4213/mzm14443

2. Никулин Е.И., Волков В.Т., Никитин А.Г. О контрастных структурах в задаче теории эффекта бареттирования Теоретическая и математическая физика, т. 220, №1, с. 154-163 (год публикации - 2024)
10.4213/tmf10657

3. Никулин Е.И., Нефедов Н.Н., Орлов А.О. Existence and Asymptotic Stability of Solutions for Periodic Parabolic Problems in Tikhonov-Type Reaction–Diffusion–Advection Systems with KPZ Nonlinearitie Russian Journal of Mathematical Physics, Vol. 31, No. 3, pp. 504–516 (год публикации - 2024)
10.1134/S1061920824030129

4. Левашова Н.Т., Чунжук Е.А., Орлов А.О. Стабилизация фронта в среде с разрывными характеристиками Теоретическая и математическая физика, № 1. Т. 220.— С. 93–112. (год публикации - 2024)
10.4213/tmf10686

5. Никулин Е.И., Карамышев А.В. Слабый внутренний слой в задаче реакция–диффузия–адвекция в случае разрыва реакции Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия, т.79 №5, 2450103 (год публикации - 2024)
10.55959/MSU0579-9392.79.2450103

6. Булатов П.Е., Чэн Хань, Вэй Юйсюань , Волков В.Т., Левашова Н.Т. Задача граничного управления для уравнения реакция-адвекция-диффузия в случае модульного разрыва адвекции Теоретическая и математическая физика, том 220, номер 1, 44–58 (год публикации - 2024)
10.4213/tmf10685

7. Нефедов Н.Н., Орлов А.О. Существование и устойчивость стационарных решений с пограничными слоями в системе быстрого и медленного уравнений реакция-диффузия-адвекция с kpz-нелинейностями Теоретическая и математическая физика, т.220, №1, с. 137-153 (год публикации - 2024)
10.4213/tmf10658

8. Нефедов Н.Н., Коцюбинский К.А. Существование и устойчивость стационарного решения в двумерной системе реакция-диффузия с медленной и быстрой компонентами Вестник Московского Университета. Серия 3. Физика. Астрономия, 79(3), 2430101 (год публикации - 2024)
10.55959/MSU0579-9392.79.2430101

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В 2025 году коллективом исполнителей проекта продолжено развитие теории сингулярных возмущений для нелинейных задач математической физики. Разработаны аналитические методы построения асимптотических приближений для новых классов задач. В частности, исследованы двумерные системы уравнений тихоновского типа («быстрое» и «медленное» уравнения) -с условиями квазимонотонности общего вида; -с KPZ-нелинейностью (содержащей квадрат градиента искомой величины). Доказано существование и устойчивость стационарных решений с пограничными слоями. Существенное развитие получили методы анализа движущихся фронтов. Изучен процесс формирования фронтов из начальных условий в средах с нелинейной диффузией. Установлено, что формирование резкого переходного слоя происходит за очень короткое время, получены оценки этого времени. Исследована динамика уже сформированных фронтов -в задачах с KPZ-нелинейностью; -в задачах с балансом реакции и диффузии; -в случае движения фронта через границу раздела сред. Для всех рассмотренных задач построены асимптотические приближения решений и выведены уравнения, описывающие закон движения фронта. Отдельное внимание уделено периодическим по времени процессам. Построена теория периодических контрастных структур для уравнений с квадратичной нелинейностью по градиенту, доказана их асимптотическая устойчивость. Полученные фундаментальные математические результаты могут быть использованы для моделирования сложных нелинейных процессов в физике, химии и биологии, а также для верификации численных методов решения жестких задач. Особое внимание уделено разработке математических моделей с применением асимптотических методов: • Для диффузионно-дрейфовой модели кристаллического нелигированного полупроводника с собственными электронной и дырочной проводимостями получены достаточные условия глобальной разрешимости задачи Коши и асимптотика решения на больших временах. • Разработана модель развития опухолевого сфероида in-vitro, учитывающая концентрацию ионов водорода, кислорода и плотность опухолевых клеток. Модель описывает как распространение опухоли в окружающую среду, так и формирование некротического ядра. В ходе численных экспериментов установлено, как динамика роста сфероида зависит от различных параметров системы, таких как коэффициенты диффузии, скорости гликолиза и пролиферации, а также концентрация опухолевых клеток в пролиферативной зоне. • Разработана модель распространения фронта лесного пожара, состоящая из двух уравнений – для движения фронта температуры и фронта сгоревшей биомассы. В модели использованы уравнения с модульной нелинейностью. Для предложенной модели проведено исследование существования решения в виде фронта с использованием методов асимптотического анализа, получена оценка скорости движения фронта. • Разработана прикладная математическая модель, которая учитывает сопряженные процессы массопереноса, поверхностных химических реакций и возникающих в результате этого микроскопических изменений в пористой структуре пласта. Модель основана на экспериментальных данных геологоразведочных работ, характеризующих состав и микроструктуру порового пространства, типичного для сеноманской свиты севера Западной Сибири. Модель позволяет описать динамику и оценить характерный временной масштаб деструкции породы в ходе хранения закачанного CO₂. • Был сформулирован и апробирован метод реконструкции магнитной структуры галактических джетов (и плоских галактик) по данным поляризационного излучения релятивистских электронов. Для плоских галактик вместо использования классической формулы Берна, был предложен метод конечномерного Фарадеевского синтеза, а для джетов обратная задача реконструкции была сведена к уравнению Абеля и получены необходимые условия существования единственного решения, устойчивого по поляризационным данным. Апробация осуществлялась на простейших математических моделях, в частности, базирующихся на асимптотическом маломодовом решении динамо-модели Паркера для плоской галактики. Детально было исследовано параметрическое влияние как на маломодовое решение, так и на систему в частных производных параболического типа, были обнаружены эффекты резонанса с монотонным решением, а также продемонстрирован эффект параметрической модуляции осциллирующих решений.

Публикации

1. Орлов А.О. Существование и устойчивость стационарного решения с пограничным слоем в двумерной системе быстрого и медленного уравнений реакция–диффузия–адвекция с KPZ-нелинейностями Вестник Московского Университета. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ, 80(3), 2530104 (год публикации - 2025)
10.55959/MSU0579-9392.80.2530104

2. Махмудов А. Р., Орлов А. О., Волков В. Т. Front formation in the reaction-diffusion problem with nonlinear diffusion Journal of Mathematical Sciences, Vol. 293, No. 6 (год публикации - 2025)
10.1007/s10958-025-08058-8

3. Никулин Е.И., Орлов А.О. Periodic Contrast Structures in the Reaction–Diffusion–Advection Equation with a KPZ Nonlinearity Mathematical Notes, Vol. 118, No. 2, (год публикации - 2025)
10.1134/S0001434625603612

4. Никулин Е. И. On periodic solutions with a boundary layer in problems with nonlinear singularly perturbed boundary condition Journal of Mathematical Sciences (год публикации - 2025)
10.1007/s10958-025-08057-9

5. Чунжук Е.А. Features of the moving-front solution for a two-dimensional problem with a discontinuous cubic nonlinearity Journal of Mathematical Sciences, V. 293, PP. 819–827 (год публикации - 2025)
doi.org/10.1007/s10958-025-08060-0

6. Никулин Е.И., Волков В.Т., Карманов Д.А. Периодические внутренние переходные слои в задаче реакция–диффузия в случае слабого разрыва реакции Вестник Московского Университета. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ (год публикации - 2025)
10.55959/MSU0579-9392.80.2510104

7. Коцюбинский К.А., Левашова Н.Т. Стационарное решение двухкомпонентной системы реакция–диффузия с сингулярным источником быстрой компоненты на границе Вестник Московского Университета. Серия 3. ФИЗИКА. АСТРОНОМИЯ, 80(4), 2540103 (год публикации - 2025)
10.55959/MSU0579-9392.80.2540103

8. Аргун Р.Л., Левашова Н.Т., Полежаева Е.В. Asymptotics of the solution of a system of singularly perturbed differential equations in the forest fire spread models Theoretical and Mathematical Physics, 224(2): 1311–1323 (год публикации - 2025)
10.1134/S004057792508001X

9. Левашова Н.Т., Левашов П.А., Ерофеев Д.Н., Сидорова А.Э. The Problem of Formation Destruction in Carbon Dioxide Storage: A Microscopic Model Algorithms, MDPI, V. 18, 503 (год публикации - 2025)
10.3390/a18080503

10. Корпусов М.О., Панин А.А. On Large-Time Asymptotics of the Solution to a Certain System of Equations Russian Journal of Mathematical Physics (год публикации - 2025)

11. Аргун Р.Л., Полежаева Е.В., Левашова Н.Т. Асимптотика решения системы сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений в модели распространения лесного пожара Научная конференция «ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ». Секция физики. Март–апрель 2025. Сборник тезисов докладов / Под ред. В.В. Белокурова, П.А. Форша. — М., Физический факультет МГУ, 2025 г. 232 c., c. 86-87 (год публикации - 2025)

12. Никулин Е.И. О существовании и асимптотической устойчивости двумерных периодических решений с внутренним пере-ходным слоем в задаче с конечной адвекцией Научная конференция «ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ». Секция физики. Март–апрель 2025. Сборник тезисов докладов / Под ред. В.В. Белокурова, П.А. Форша. — М., Физический факультет МГУ, 2025 г. 232 c., с. 87-88 (год публикации - 2025)

13. Юшков Е.В., Абушзада И., Соколов Д.Д. Турбулентное магнитное динамо: модель казанцева и каскадный подход Научная конференция «ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ». Секция физики. Март–апрель 2025. Сборник тезисов докладов / Под ред. В.В. Белокурова, П.А. Форша. — М., Физический факультет МГУ, 2025 г. 232 c., с. 90 (год публикации - 2025)

14. Коцюбинский К.А., Орлов А.О. Существование и устойчивость решения двумерной системы реакция-диффузия с медленной и быстрой компонентами Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXXVI: материалы Международной Воронежской весенней математической школы, посвященной памяти С.М. Никольского (30 апреля - 4 мая 2025 г.) -Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2025. - 395 с., 192-194 (год публикации - 2025)

15. Орлов А.О. Пограничные слои в квазилинейных системах тихоновского типа: существование, асимптотика и устойчивость Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXXVI: материалы Международной Воронежской весенней математической школы, посвященной памяти С.М. Никольского (30 апреля - 4 мая 2025 г.) -Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2025. - 395 с., с. 240-241 (год публикации - 2025)

16. Никулин Е.И. Двумерные периодические решения с внутренним переходным слоем в задаче с конечной адвекцией Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXXVI: материалы Международной Воронежской весенней математической школы, посвященной памяти С.М. Никольского (30 апреля - 4 мая 2025 г.) -Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2025. - 395 с., с. 237-239 (год публикации - 2025)

17. Махмудов А. Р., Орлов А. О Движение фронта в задаче реакция-диффузия в случае баланса реакции и диффузии Моделирование нелинейных процессов и систем. Материалы пятой международной конференции. – М.: Янус–К, 2025. – 394 с., с. 233-234 (год публикации - 2025)

18. Азизов Ф. А., Юшков Е. В., Соколов Д. Д. Резонансы с монотонными и немонотонными решениями в линейной динамо-системе паркера Журнал экспериментальной и теоретической физики, Т. 168, № 1(7). — С. 1–7. (год публикации - 2025)
0.31857/S0044451025070077

19. А.О. Орлов∗, А.Р. Махмудов Front motion in the reaction–diffusion problem in the case of a balance between reaction and diffusion Theoretical and Mathematical Physics, 224(1): 1257–1270 (год публикации - 2025)
10.1134/S0040577925070128

20. Орлов А.О. Front Motion in a Reaction–Diffusion–Advection Problemwith a KPZ-Nonlinearity Differential Equations, Vol. 61, No. 1, pp. 29–43. (год публикации - 2025)
10.1134/S0012266125010045

21. Никулин, Е.И. Карамышев А.В. On a weak periodic internal layer in a problem with a discontinuous reaction Theoretical and Mathematical Physics, 224(2): 1414–1427 (год публикации - 2025)
10.1134/S0040577925080069

22. Коцюбинский К.А., Левашова Н.Т. Стационарное решение двухкомпонентной системы реакция-диффузия с сингулярным источником быстрой компоненты на границе Научная конференция «ЛОМОНОСОВСКИЕ ЧТЕНИЯ». Секция физики. Март–апрель 2025. Сборник тезисов докладов / Под ред. В.В. Белокурова, П.А. Форша. — М., Физический факультет МГУ, 2025 г. 232 c., c. 88-89 (год публикации - 2025)

23. Чунжук Е.А., Лю И., Левашова Н.Т. Solution of the Moving Front Type of the Autowave Diffusion Equation with a Discontinuous Source Russian Journal of Mathematical Physics (год публикации - 2025)