Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Во второй год выполнения проекта было разработано семейство SPH-методов 4 порядка аппроксимации по пространству для решения параболических уравнений с доминирующей параболичностью и с доминирующей гиперболичностью. Для достижения 4 порядка по пространству используются ядра высокого порядка, сконструированные на основе полиномов Вендланда в первый год реализации проекта. В созданной реализации лапласиан аппроксимируется по методу Brookshow 1985. Градиенты аппроксимируются двумя способами: классическим и новым. В проекте впервые установлено, что классический способ аппроксимации градиента продуцирует счетную неустойчивость коротких волн при использовании ядер высокого порядка. Это послужило мотивацией к разработке нового способа аппроксимации градиента, преодолевающего этот барьер. Новый способ основан на применении идеи конечных разностей вместо дифференцирования ядер. Исследование устойчивости, дисперсионно-диссипативных свойств известных ранее и новых методов, а также их порядка аппроксимации выполнялось методом дисперсионного анализа. Для SPH-аппроксимаций одномерного уравнения Бюргерса и уравнения переноса построены приближенные дисперсионные соотношения, соответствующие их полудискретной форме. Получена асимптотическая форма записи дисперсионных соотношений. С ее помощью впервые получены необходимые условия устойчивости SPH-дискретизации параболических и гиперболических уравнений в терминах интегрального преобразования ядра. Этот результат имеет прикладное значение, так как позволяет априори проверить необходимое условие устойчивости метода. Для одномерного уравнения переноса показано, что при сопоставимых вычислительных затратах разработанный в проекте способ аппроксимации градиента дает тот же или более высокий порядок аппроксимации, что и классический, а фактическая погрешность решения, полученного новым методом, в разы меньше, чем при использовании классического метода. Данный результат для гладких решений получен теоретически и подтвержден на практике. В следующий год реализации проекта планируется систематическое изучение свойств этого подхода при воспроизведении разрывных решений. Для интегрирования по времени задач с доминирующей параболичностью адаптирован метод неравномерных вложенных шагов (также имеет названия supertimestepping (STS), метод локальных итераций). Для эффективной реализации STS была найдена общая формула приближенного дисперсионного соотношения для произвольного количества вложенных шагов по известному приближенному дисперсионному соотношению для полудискретной аппроксимации. Численный анализ этого дисперсионного соотношения перспективен для оптимизации вычислительных затрат, в частности, он позволяет осуществлять выбор свободного параметра для вычисления вложенных шагов, а также определять количество вложенных шагов по заданной погрешности фазовой скорости. Четвертый порядок аппроксимации по пространству был подтвержден на гладких решениях при решении динамических одномерных начально-краевых задач для уравнения Бюргерса и уравнения переноса. Отметим, что в методах высокого порядка для практики ценным является их низкий уровень диссипации в окрестности разрыва. Это означает, что методы высокого порядка по сравнению с методами низкого порядка позволяют получать численное решение с меньшим уровнем диссипации на одной и той же пространственной сетке. Во второй год реализации проекта достигнутое преимущество разработанного подхода показано при решении задачи о развитии неустойчивости Рихмайера-Мешкова. Разработанные методы реализованы в виде кода, использующего библиотеку OpenFPM для автоматического распараллеливания расчетов для машин с распределенной памятью, а также в виде кода, адаптированного для расчетов с использованием графических ускорителей. С использованием разработанных кодов решены модельные задачи для систем гиперболического (задача о движении звуковой волны, задача Сода, задача Седова, задача о развитии гидродинамической неустойчивости) и параболического типа (затухание звуковых волн, задача об обтекании цилиндра). Задача о развитии неустойчивости Рихтмайера--Мешкова решена тремя разными способами: разрывным методом Галеркина, методом конечных объемов (с различной реконструкцией), методом SPH (с различными ядрами). Выполнено сравнение результатов с натурным экспериментом. Обнаружено, что распределение макропараметров в расчетной области в контрольный момент времени качественно совпадает, однако, есть визуальные различия в размере и количестве малых вихрей в виду различного порядка реконструкций. Выполнен анализ энергетического спектра турбулентности. Анализ показал, что SPH-подход лучше сохраняет колмогоровский тренд, а методы конечных объемов занижают энергетику высоких пространственных частот. Кроме того, обнаружено, что расчеты, выполненные методом SPH и разрывным методом Галеркина допускают интерполяцию на более мелкую сетку с сохранением тренда турбулентного спектра. Разработана система бенчмарков для двумерных задач о развитии гидродинамической неустойчивости. С помощью классических конечно-объемных и конечно-разностных методов решения задач газовой динамики получены численные решения указанного класса тестовых задач, хорошо согласующиеся с экспериментальными данными. В частности: а) задача о набегании ударной волны на область с <<тяжелым>> газом, примыкающую к границе расчетной области; б) задача о набегании ударной волны на область с <<тяжелым>> газом, в центре расчетной области; в) задача о набегании ударной волны на две области с <<тяжелым>> газом, примыкающие к границе расчетной области; г) задача о набегании ударной волны на прямоугольную область с тяжелым газом в газопылевой среде. В рамках развития системы тестов для численных моделей двухфазных сред исследованы одномерные движения двухфазной среды. Построен фазовый портрет динамической системы, описывающей данные движения. Исходя из этого портрета можно сделать выводы о возможности образования сильного разрыва в динамике в зависимости от параметров системы и начальных данных. При конструировании фазового портреты была исследована бифуркация, возникающая в точке пересечения двух кривых неподвижных точек. Данная бифуркация показала, какие необходимо брать начальные значения характеристик среды для того, чтобы при переходе через скорость звука не возникало сильного разрыва. Результаты реализации проекта докладывались на конференциях по математическим проблемам механики сплошных сред, высокопроизводительным вычислениям, математическому моделированию и дифференциальным уравнениям. В 2024 году участниками проекта было сделано 6 устных и 3 приглашенных доклада. Часть материалов, разрабатываемых в ходе реализации проекта, доступна по ссылке https://github.com/MultiGrainSPH?tab=repositories

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
В третий год выполнения проекта на базе семейства лагранжевых методов второго и четвертого порядка по пространству для моделирования вязкой и невязкой сжимаемой среды были разработаны методы для двухфазной полидисперсной среды. Включение в модель дисперсной фазы было выполнено на основе подхода взаимопроникающих континуумов, то есть считалось, что дисперсная фаза имеет усредненное в локальном объеме значение скорости. Межфазное взаимодействие осуществляется за счет двухстороннего обмена импульсом и тепловой энергией между фазами. В случае, если размер частиц дисперсной фазы отличается на порядки, задача Коши для соответствующей системы уравнений в частных производных оказывается многомасштабной (по времени, поскольку времена релаксации отличаются на порядки). Такие задачи часто требуют, чтобы пространственное и временное разрешение численной модели подбиралось по величине малого параметра задачи. При этом методы, обладающие равномерной сходимостью по релаксационному параметру, позволяют получать устойчивое решение приемлемой точности при численном разрешении, не зависящем от релаксационных параметров задачи. В проекте разработан метод исследования равномерной сходимости по релаксационному параметру, основанный на понятиях релаксационного дисперсионного соотношения и релаксационного приближенного дисперсионного соотношения (ПДС). Показано, что для равномерной сходимости метода по малому параметру необходимо построить ПДС и для него проверить существование релаксационного ПДС. Этим методом показано, что подход частица-частица для моделирования трения приводит к численному методу, не обладающему равномерной сходимостью по малому параметру, а подход частица-сетка позволяет обеспечить равномерную сходимость по этому параметру. Эти выводы согласуются с известными результатами вычислительных экспериментов для монодисперсных сред с одним релаксационным процессом. Для упрощения дисперсионного анализа разработан первый прототип Python-библиотеки SymDR, предназначенной для генерации ПДС и визуализации результатов (текущая версия библиотеки доступна по ссылке https://github.com/symdr/symdr). Разработанные методы реализованы в виде кода, использующего библиотеку OpenFPM для автоматического распараллеливания расчетов для машин с распределенной памятью, а также в виде кода, адаптированного для расчетов с использованием графических ускорителей. В качестве одномерных тестов использовались задачи с известными аналитическими или верифицированными численными решениями, а именно задача о поршне, тест Сода и тест Шу-Ошера. В результате проведенного моделирования были выявлены сильные и слабые стороны новых вариантов аппроксимации уравнений, найдены оптимальные комбинации с ядрами высокого порядка для непрерывных и разрывных решений. Соответственно далее основное внимание в 2D и 3D тестах, а именно развитие неустойчивости Рихтмайера-Мешкова, обтекание цилиндра, аналог задачи Седова и др., было направлено на выявленные оптимальные комбинации. Создан набор бенчмарков, составляющих верификационных базис для разрабатываемых методов. Набор составлен на основе результатов расчетов разрывным методом Галеркина для следующих задач: - о развитии неустойчивости Рихтмайера-Мешкова в двумерной и трехмерной постановке с начальными данными соответствующими эксперименту Poggi [Poggi et al., Physics of Fluids, 1998]; - задачи о ламинарном обтекании тел различной формы. Разработан скрипт для обработки выходных файлов на структурированной сетке с целью получения энергетических спектров. Файлы, содержащие описание задач, постановку граничных и начальных условий, описание геометрии расчетной области, результаты расчетов, полученные классическими конечно-объемными и/или конечно-элементными методами, наборы данных для численного сопоставления результатов вычислительных экспериментов, размещены в репозитории https://github.com/MultiGrainSPH Исследована задача о структуре фронта ударной волны в изотермической смеси газов с вязкостью. Рассмотрены различные типы течений типа бегущей волны: с разрывами в первой и второй компонентных при отсутствии вязкостей. Для данных течении были поставлены задачи о структуре фронта. Доказано существование решения уравнении с вязкостью, которое сколь угодно близко к необходимым положениям равновесия (отвечающим за состояния среды перед и за фронтом волны) при достаточно малых вязкостях. В отчетном периоде участниками проекта подготовлено 5 публикаций и сделаны очные доклады на конференциях: 4 устных доклада на всероссийских конференциях конференциях и 1 устный доклад на международной конференции.