Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Развита теория многообразий Грассмана с целью построения алгоритмов решения экстремальных задач на этом многообразий. Открыта и исследована связь этих задач с теорией поперечников Колмогорова. Статья подана в Матсборник https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=10240&option_lang=rus Доказано, что всякая инволютивная двузначная группа коммутативна. В результате классификационные результаты В.М. Бухштабера, А.П. Веселова и А.А. Гайфуллина 2022 года для конечно порожденных и локально компактных коммутативных инволютивных двузначных групп распространены на случай произвольных инволютивных двузначных групп. Результаты опубликованы в УМН https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=rm&paperid=10170&option_lang=rus Изучены экспоненциальные действий, а также соответствующие им гладкие и голоморфные слоения, пространствами листов которых являются момент-угол-многообразия. На основе двойственности Гейла установлено что экспоненциальное действие собственно (а пространство листов соответствующего слоения хаусдорфово) тогда и только тогда, когда набор конусов, задаваемых конфигурацией векторов, образует веер. Также в терминах двойственности Гейла получен критерий того, что веер являтеся нормальным веером многогранника, что даёт представление пространства листов - момент-угол-многообразия в виде невырожденного пересечения эрмитовых или вещественных квадрик. На основе голоморфных экспоненциальных действий построены комплексно-аналитические структуры на момент-угол-многообразиях и из частичных факторах, и описаны инварианты этих структур. Результаты опубликованы в arXiv: https://arxiv.org/abs/2411.03366. Установлена и описана связь полиэдральных произведений топологических пространств с граф-произведениями групп. Доказан изоморфизм между алгебрами гомологий пространств петель полиэдральных произведений и универсальными обертывающими алгебр Ли, ассоциированных с центральными рядами граф-произведений. В качестве приложения описана ограниченная алгебра Ли, ассоциированная с нижним 2-центральным рядом прямоугольной группы Коксетера, при этом ее универсальная обертывающая алгебра отождествлена с гомологиями петель пространства Дэвиса-Янушкевича. Результаты опубликованы в Трудах МИАН https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4425&option_lang=rus. Построен базис 4-й градуированной компоненты присоединённой алгебры Ли для групп Кокстера для 4 точек (для 2 точек присоединённая алгебра Ли полностью описана) и приведён алгоритм для построения базиса 4-й градуированной компоненты присоединённой алгебры Ли для групп Кокстера в общем случае. В отличие от базисов, построенных Waldinger, базисы, построенные нами, состоят полностью из простых вложенных коммутаторов. Результаты опубликованы в Матзаметках https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=mzm&paperid=13843&option_lang=rus Получено обобщение теоремы Вернь об естественно градуированных филиформных алгебрах Ли на случай супералгебр Ли. На основе техники специальных минимальных моделей построена классификация 8-мерных 2-порожденных нильпотентных алгебр Ли, допускающих интегрируемую комплексную структуру. Найдены дифференцирования Эйнштейна для некоторых алгебр из списка узких естественно градуированных алгебр Ли ширины 3/2. Результаты опубликованы в Трудах МИАН. https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4416&option_lang=rus Для трёхмерного многогранника P с m гипергранями описаны все подгруппы в Z_2^m, такие что факторпространство их действия на вещественном момент-угол многообразии гомеоморфно трёхмерной сфере. Построены новые примеры гиперэллиптических трёхмерных многообразий. Результаты опубликованы в Трудах МИАН https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4432&option_lang=rus. Обобщена конструкция Д.В.Гугнина 2019 года действия булевой группы Z_2^{k-1} на произведении k>1 сфер произвольных размерностей S^{m_1}xS^{m_2}x...xS^{m_k}, с пространством орбит, гомеоморфным сфере S^{m}, m=m_1+...+m_k, на случай действий тора T^{k-1} и кватернионного тора Sp(1)^{k-1}. А именно, предъявлено вещественно аналитическое действие тора T^{k-1} на произведении k>1 сфер произвольных размерностей не меньше 2, для которого пространство орбит гомеоморфно сфере; а также, предъявлено вещественно аналитическое действие кватернионного тора Sp(1)^{k-1} на произведении k>1 сфер произвольных размерностей не меньше 4, для которого пространство орбит снова гомеоморфно сфере. При этом, во всех трех случаях (группы Z_2^{k-1}, T^{k-1} и Sp(1)^{k-1}) указана явная одинаковой природы аналитическая формула проекции на пространство орбит - круглую сферу нужной размерности. Результаты опубликованы в Трудах МИАН https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4412&option_lang=rus Доказано, что из жёсткости рода Хирцебруха на двух конкретных представителях маломерных образующих SU-бордизмов (сферы в размерности 6 и некоторого конкретного квазиторического многообразия в размерности 10) с действием тора следует, что рассматриваемый род является комплексным эллиптическим родом Кричевера. Изучены явные мультиградуированные dga-алгебры, гипотетически являющиеся моделями для гомологий петель на момент-угол-комплексах. Доказано, что эти алгебры квази-изоморфны между собой и дают одну и ту же спектральную последовательность. Описан гомоморфизм соответствующих спектральных последовательностей, соответствующий вложению симплициального комплекса в его флагификацию. Получено необходимое условие вырождения спектральной последовательности, которое, в предположении высказанной гипотезы, даёт необходимое условие коформальности момент-угол-комплекса в смысле рациональной теории гомотопий. Независимо доказано, что момент-угол-комплекс, соответствующий 1-остову октаэдра, не коформален. Получено обобщение теоремы Бухштабера–Риса в категории SmClSubR^∞ при помощи функторов Вейля (-)^W. Доказано, что для любой локальной артиновой R-алгебры W и любого замкнутого подмножества X в R^n, такого, что его n-я симметрическая степень Sym^n(X) допускает вложение на замкнутый образ в некоторое евклидово пространство, имеется биекция между точками пространства (Sym^n(X))^W и множеством фробениусовых n-гомоморфизмов из R-алгебры C^∞(X) в R-алгебру W, при которой точке x = [x_1, …, x_n] пространства Sym^n(X)^W сопоставляется сумма гомоморфизмов вычисления ev_x1 + … + ev_xn.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Развита теория экстремальных задач на многообразиях Грассмана. Построены алгоритмы решения задач, использующие каноническое действие компактного тора на таком многообразии. В результате предложен общий подход к теории поперечников А.Н.Колмогорова и теории разверток в анализе временных рядов. На основе развертки временного ряда введено понятие его q-поперечника и вычислен q-поперечник временного ряда в случае функционала компонентного анализа узлов развертки. На основе базиса Шуберта q-мерного линейного подпространства в R^n введено понятие регрессии, соответствующей развертке временного ряда, и описаны ее свойства. Дан алгоритм проекции кусочно линейной кривой в R^n на пространство разверток временных рядов и на его основе введено понятие L-аппроксимации временного ряда, где L – любое q-мерное подпространство в R^n. Приведены результаты вычислений для дискретизаций модельных функций и для временного ряда, полученного на станции мониторинга концентраций атмосферного CO_2. Результаты опубликованы в Матсборнике https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=sm&paperid=10240&option_lang=rus Исследованы многогранники - образы отображения моментов для гамильтонова действия тора на многообразиях частичных (неполных) флагов в комплексном пространстве. Показано, что многогранник моментов для многообразия частичных флагов раскладывается в сумму Минковского гиперсимплексов - многогранников моментов для многообразий Грассмана. Эти же многогранники являются образами отображения моментов для диагонального действия тора на произведении комплексных проективных пространств, которое является пространством вложения Плюккера для соответствующего многообразия частичных флагов. При этом на каждом сомножителе действие тора задаётся представлением k-й внешней степени, что соответствует вложению Плюккера грассманиана k-мерных плоскостей. Исследована взаимосвязь камерного разбиения многогранника моментов (где камеры соответствуют регулярным значениям отображения моментов с одинаковым симплектическим фактором) с ГКЗ-разбиением (разбиением Гельфанда-Капранова-Зелевинского) суммы Минковского гиперсимплексов. Доказано, что симплектический фактор многообразия частичных флагов, соответствующий регулярному значению внутри конкретной камеры, вкладывается в качестве подмногообразия в проективное торическое многообразия, соответствующее многограннику-слою проекции произведения симплексов на сумму Минковского гиперсимплексов над точкой внутри соответствующей камеры ГКЗ-разбиения. В случае многообразий Милнора, представляющих собой многообразия частичных флагов типа (прямая-гиперплоскость), полностью описано камерное и ГКЗ-разбиение многогранника моментов, который в этом случае является разностью Минковского двух симплексов, а также описаны соответствующие симплектические факторы. Исследованы алгебры Понтрягина (гомологий пространств петель) момент-угол-комплексов Z_K=(D^2,S^1)^K, пространств Дэвиса-Янушкевича DJ(K)=(CP^\infty,pt)^K и общих полиэдральных произведений (X,A)^K, а также (квази)алгебры Ли гомотопических групп полиэдральных произведений (X,A)^K относительно скобки Уайтхеда, для которых алгебры Понтрягина являются универсальными обёртывающими. Доказано, что любое итерированное произведение Уайтхеда (итерированный коммутатор) в гомотопической группе \pi_*(DJ(K)) представляет собой композицию стандартного итерированного коммутатора - GPTW-элемента и элемента Хопфа. Явно получены соотношения на итерированные коммутаторы с повторяющимися индексами, выражающие их через стандартные GPTW-элементы. Доказано, что гомоморфизм G_* гомотопических групп, индуцированный отображением букета сфер, параметризованных GPTW-элементами, в пространство Дэвиса-Янушкевича DJ(K) сюръективен тогда и только тогда, когда симплициальный комплекс K является флаговым и инъективен тогда и только тогда, когда 1-мерный остов K является хордовым графом. Получено обобщение этого результата на случай полиэдрального произведения вида (CY,Y)^K. Решена давно стоящая задача по классической проблеме реализации циклов в топологическом пространстве. Доказано, что для любого гладкого замкнутого ориентированного многообразия M размерности n существует замкнутая гиперповерхность H в сфере размерности (n+1) такая, что H доминирует M. https://arxiv.org/abs/2512.09146 Классифицированы вещественные четномерные узкие по Зельманову и Шалеву естественно градуированные алгебры Ли, допускающие интегрируемую комплексную структуру. Каждая такая алгебра Ли порождается двумя образующими. Показано, что почти все такие нильпотентные алгебры Ли не допускают интегрируемых комплексных структур. Единственными исключениями, являются четномерные фактор-алгебры Ли, получаемые факторизацией по идеалам нижнего центрального ряда одной бесконечномерной естественно градуированной алгебры Ли, построенной по вещественной простой алгебре Ли so(3). Результаты опубликованы в Трудах МИАН https://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=tm&paperid=4469&option_lang=rus Пусть N(P,L) -- пространство орбит действия подгруппы H(L) в Z_2^m на вещественном момент-угол многообразии RZ_P простого  n-мерного многогранника P. Подгруппа H(L) ранга m-r задаётся отображением L: F_i->L_i множества {F_1,...,F_m} гиперграней многогранника P в Z_2^r, таким что векторы L_1,..., L_m порождают всё пространство. Для произвольной размерности n дана конструкция подгрупп H(L), таких что N(P,L) гомеоморфно S^n. В общем случае получено необходимое условие того, N(P,L) гомеоморфно S^n. На основе этого условия в 4-мерном случае показано, что наша конструкция исчерпывает все подгруппы, такие что N(P,L) гомеоморфно S^4. В случае флаговых симплициальных комплексов число мультипликативных образующих и соотношений в гомологиях петель частичных факторов момент-угол комплексов описано в терминах чисел Бетти частичных факторов. Доказано, что гомологии петель на таких квазиторических многообразиях образуют кошулеву алгебру, которая квадратично двойственна к его кольцу когомологий. Описаны мультипликативные порождающие этой алгебры в терминах характеристической функции. В общем случае полученные формулы приводят к оценкам снизу. Результаты приняты к печати в Algebr. Geom. Topol. Развита связь теории n-значных алгебраических групп с теории проективной двойственности и дискриминатнов. Описаны многообразия, проективно двойственные законам n-значного сложения в поле комплексных чисел. Результаты приняты к печати в УМН.