Математические проблемы современной математической физики.

КАРТОЧКА ПРОЕКТА ФУНДАМЕНТАЛЬНЫХ И ПОИСКОВЫХ НАУЧНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ,
ПОДДЕРЖАННОГО РОССИЙСКИМ НАУЧНЫМ ФОНДОМ

Информация подготовлена на основании данных из Информационно-аналитической системы РНФ, содержательная часть представлена в авторской редакции. Все права принадлежат авторам, использование или перепечатка материалов допустима только с предварительного согласия авторов.

ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Номер проекта 23-11-00150

НазваниеМатематические проблемы современной математической физики.

Руководитель Шлосман Семён Бенсионович, Доктор физико-математических наук

Организация финансирования, регион Автономная некоммерческая образовательная организация высшего образования «Сколковский институт науки и технологий» , г Москва

Конкурс №80 - Конкурс 2023 года «Проведение фундаментальных научных исследований и поисковых научных исследований отдельными научными группами»

Область знания, основной код классификатора 01 - Математика, информатика и науки о системах; 01-113 - Математическая физика

Ключевые слова Детерминантный случайный процесс, распределение Трейси-Видома, пространство модулей, теория представлений, интегрируемая система, цепочка Тоды, системы Сазерледна - Руджинарса

Код ГРНТИ27.35.33

ИНФОРМАЦИЯ ИЗ ЗАЯВКИ

Аннотация
Универсальные распределения -- важнейшая глава теоретической и прикладной теории вероятностей. Главный пример такого распределения -- нормальное (гауссовское) распределение и связанная с ним центральная предельная теорема. В последнее время в математической физике появился новое (гипотетически) универсальное распределение -- это распределение Трейси-Видома. Первоначально оно возникло в процессе исследований Вигнером энергетического спектра тяжёлых атомных ядер, для описания флуктуаций энергии их основных состояний. Позднее пришло осознание того, что оно ответственно за описание целого ряда процессов случайного роста (и в частности процессов класса КПЗ (Кардар-Паризи-Занг)). Мы покажем, что оно возникает и при детальном изучении трёхмерной модели Изинга, и установим его универсальность для большого класса операторов Штурма-Лиувилля. В рамках проекта планируется также исследования геометрии пространств модулей римановых поверхностей - действительно нормализованных дифференциалов и ассоциированных с ними слоений абсолютных периодов. Эти дифференциалы были введены И. Кричевером в контексте изучения алгебро-геометрических решений решений интегрируемых систем, но представляют и самостоятельный интерес с точки зрения динамических систем, где активно изучаются аналогичные слоения для абелевых и мероморфных дифференциалов . Ранее были получены первые результаты о динамических свойствах слоений абсолютных периодов таких дифференциалов в главном страте с полюсом порядка 2. Планируется распространение этих результатов на остальные страты и проверка гипотезы об эргодичности слоения абсолютных периодов. В рамках проекта планируется развить КАМ-подход для строгого обоснования теории волновой турбулентности в стохастической постановке. Теория волновой турбулентности интенсивно развивается в физических работах уже порядка 60 лет, однако математические работы, посвященные ее строгому обоснованию, начали появляться лишь 10 лет назад. На данный момент имеется единственная, технически чрезвычайно сложная и длинная работа (Yu. Deng, Z. Hani, arXiv 2104.11204), в которой доказано первое основное утверждений теории волновой турбулентности для ее простейшей модели. В дальнейшем предлагаемый КАМ подход должен предоставить существенно более простое доказательство аналогичного результата в стохастической постановке и обеспечить возможность эффективного приложения теории к более сложным моделям. Теоретико-групповые методы применяются в физике уже около 100 лет. В современной математической физике широко используются бесконечномерные группы и алгебры Ли и их представления. Мы планируем исследовать ряд новых задач, связанных с представлениями бесконечномерных классических групп и асимптотической теорией представлений. Нас интересуют, прежде всего, вероятностные и комбинаторные аспекты теории. В число задач входят: асимптотика характеров классических групп; алгебраическая конструкция марковских процессов с бесконечным числом взаимодействующих частиц; исследование алгебр, связанных с представлениями бесконечномерных групп. Многочастичные системы Калоджеро — Сазерленда — Руджинарса являются одними из самых известных интегрируемых квантовых систем теоретической физики. В процессе их исследования возникла теория симметрических многочленов Макдональда, двойных аффинных алгебр Гекке и тороидальных алгебр. С другой стороны, волновые функции гиперболических систем Руджинарса и Сазерленда могут рассматриваться в качестве многомерных обобщений гипергеометрических функций, а также их q-версий и эллиптическиx обощений . Эти функции предположительно образуют полную ортогональную систему в пространстве квадратично интегрируемых многомерных симметрических функций и определяют поэтому семейство новых интегральных преобразований, обобщающих классическое преобразование Фурье. Мы планируем изучение гиперболических систем Сазерленда — Руджинарса, их волновых функций, соответствующих интегральных преобразований .

ОТЧЁТНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Публикации

1. Догра Р., Ландо С. Skew characteristic polynomial of graphs and embedded graphs Communications in Mathematics, vol. 31, no. 3, pp. 33-57 (год публикации - 2023)
10.46298/cm.11310

2. Ольшанский Г.И. Характеры классических групп, функции типа Шура и дискретные сплайны Математический сборник, 214, 11, 89-132 (год публикации - 2023)
10.4213/sm9905

3. Феррари П., Шлосман С.Б. The Airy_2 process and the 3D Ising model Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical, 56(1), p.014003, 2023. (год публикации - 2023)

4. Скрипченко А. С. Ренормализация в одномерной динамике Успехи математических наук, УМН, 78:6(474) (2023), 3-46 (год публикации - 2023)
10.4213/rm10110

5. Ольшанский Г.И., Сафонкин Н.А. Замечания о янгианоподобных алгебрах и двойных скобках Пуассона Функциональный анализ и его приложения, т. 57, вып. 4, с. 75–88 (год публикации - 2023)
10.4213/faa4150

6. Белоусов Н., Деркачев С, Харчев С., Хорошкин С. Baxter Q-operators in Ruijsenaars-Sutherland hyperbolic systems: one- and two-particle cases. Записки научных семинаров ПОМИ, Том 520, выпуск 28, стр. 50-123 (год публикации - 2023)

7. Влэдуц С.Г., Дымов А.В., Куксин С.Б., Майокки А. The Large-Period Limit for Equations of Discrete Turbulence Annales Henri Poincaré, 24, 3685–3739 (год публикации - 2023)
10.1007/s00023-023-01366-2

8. Ненашева М.С. Связность локусов Прима в роде 5 Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления (год публикации - 2023)

Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Совместно с Ричардом Кеньоном, Максимом Концевичем, Олегом Огиевецким, Космином Похоатой и Виллом Савиным мы изучили удивительный класс операторов, собственные значения которых являются полиномами от матричных элементов. В процессе этого изучения было обнаружено, что наш класс связан со специальными полугруппами, которые образуются фильтрами на частично упорядоченных множествах и составляют так называемые лево-регулярные полосы. наше исследование названо так: Удивительная целочисленность собственных значений. Оно опубликовано в журнале Функциональный анализ и его приложения, в выпуске, посвящённом памяти А.М. Вершика, см. также http://arxiv.org/abs/2401.05291 Данное исследование основано на наших предыдущих результатах, относящихся к теории плоских разбиений и их пьедесталах. Совместно с Валентином Черным мы изучили свойства отображений сдвигов отрезков типа Бруина, доказав строгую эргодичность типичных отображений бесконечного типа. Работа будет подана в печать до конца 2024 года. Предложена конструктивная форма метода Ньютона-Канторовича, применимая к стохастическому слабо нелинейному уравнению Гинзбурга-Ландау на торе. Доказано, что приближения решения, найденные с помощью этой процедуры, оцениваются равномерно по периоду тора. Найдена конструкция т.н. виртуальной групповой алгебры для бесконечной симметричной группы, а также для ее сплетений с произвольными конечными группами. Доказано, что виртуальная групповая алгебра имеет нетривиальный центр, позволяющий разделять неприводимые ручные представления. Получено полное описание структуры виртуальной групповой алгебры. Установлены связи с централизаторной конструкцией, с вырожденной аффинной алгеброй Гекке (Дринфельд и Люстиг) и ее обобщениями. Получено обобщение конструкции Ван ден Берга (двойная скобка Пуассона на ассоциативной алгебре порождает пуассонову структуру на пространстве конечномерных представлений этой алгебры). В нашем обобщении рассматриваются ассоциативные алгебры, снабженные инволюцией, и их инволютивные представления в пространствах с заданной квадратичной или симплектической формой. На основе полугруппового метода получено полное описание неприводимых допустимых унитарных представлений бесконечной симметрической группы. Категория допустимых представлений определяется произвольным разбиением множества натуральных чисел на блоки бесконечного размера. Исследован вопрос о взаимоотношении категорий допустимых представлений, связанных с различными разбиениями. Построен гомоморфизм поворотных алгебр Хопфа перестановок в алгебру Хопфа многочленов от бесконечного числа переменных, определяемый алгебрами Ли серии so. Изучена связь этого гомоморфизма с хроматическим многочленом. Для произвольной алгебры Каца-Муди g построено динамическое действие группы Вейля W на интегрируемых модулях над квантованной обертывающей алгеброй U_q(g). Построено новое тригонометрическое решение ассоциативного уравнения Янга-Бакстера, связанные с супералгебрами Ли, которое в свою очередь является и решением квантового уравнения Янга-Бакстера. Исследован классический предел этой конструкции. Описан интегральный оператор отражения в XXX спиновой цепочке с интегрируемым граничным условием. С его помощью получены собственные функции в соответствующей одночастичной модели. Исследованы различные режимы унитарности теории. Описана связь волновой функции с гипергеометрической функцией Гаусса. Получено несколько представлений оператора отражений. Доказана ортогональность и полнота одночастичных собственных функций. Исследована связь соответствующего спектрального преобразования с индексным преобразованием Неретина - Исмагилова - Молчанова.

Публикации

1. Ненашева.М.C. Об изопериодическом слоении в страте коразмерности один в пространстве вещественно-нормированных дифференциалов Алгебра и анализ, том 36, выпуск 2, стр. 93-107 (год публикации - 2024)

2. Антоненко П.В., Белоусов Н.М., Деркачев С.Э., Хорошкин С.М. REFLECTION OPERATOR AND HYPERGEOMETRY I: SL(2, R) SPIN CHAIN Записки научных семинаров ПОМИ, Записки научных семинаров ПОМИ, том 532 "Вопросы квантовой теории поля и статистической физики. 30", стр. 5-45 (год публикации - 2024)

3. Ольшанский Г.И. The centralizer construction and Yangian-type algebras Journal of Geometry and Physics , 196, 105063 (год публикации - 2024)
10.1016/j.geomphys.2023.105063

4. Ольшанский Г.И., Сафонкин Н.А. Double Poisson brackets and involutive representation spaces Letters in Mathematical Physics, 114, 33 (год публикации - 2024)
10.1007/s11005-024-01782-3

5. Далипи Р., Фельдер Дж., Гуренкова А. Howe duality and dynamical Weyl group Transformation Groups (год публикации - 2024)

6. Ненашева Марина Сергеевна Главный страт в пространстве модулей вещественно нормированных дифференциалов с одним полюсом Функциональный анализ и его приложения (год публикации - 2024)

7. Ричард Кеньон, Максим Концевич, Олег Огиевецкий, Космин Похоата, Вилл Савин, Семен Шлосман. The miracle of integer eigenvalues. Функциональный анализ и его приложения, Функциональный анализ и его приложения, 2024, т. 58, вып. 2, с. 100--114. (год публикации - 2024)

8. Отт С., Шлосман С., Веленик И. Intermediate Fluctuations in the Ising Model. Markov Processes Relat. Fields , Markov Processes Relat. Fields 30, p 97 - 104 (2024). (год публикации - 2024)

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Получено новое выражение для производящих функций косых полустандартных таблиц Юнга. Установлено, что статистика постаментов стандартных таблиц Юнга и статистика индекса maj для них образуют так называемую Магоновскую пару. Одна из статистик переводится в другую с помощью инволюции Шютценберже. Инволюция Шютценберже распространена на косые стндартные таблицы Юнга. https://arxiv.org/abs/2502.02262, https://arxiv.org/abs/2509.07254 Установлена эффективность условий C_V Добрушина-Шлосмана отсутствия фазовых переходов. Доказана гипотеза Добрушина-Шлосмана, что если в системе фазовый переход отсутствует, то она удовлетворяет какому-то из условий C_V для случае модели Изинга (любой размерности): если температура модели Изинга выше критической, то найдётся такая конечная область V, что условие C_V для модели Изинга выполняется. https://arxiv.org/abs/2505.24750 Исследовано поведение универсальной весовой системы, связанной с серией алгебр Ли so, относительно структуры алгебры Хопфа на пространствах перестановок с различными ограничениями. Сформулированы гипотезы о явном виде значений универсальной so-весовой системы на некоторых сериях хордовых диаграмм и перестановок более общего вида и получены экспериментальные подтверждения этих гипотез. Исследованы эргодические свойства некоторых классов отображений сдвигов отрезков и систем изометрий, в том числе показано, что типичное отображение Бруина бесконечного типа строго эргодично. Изучены приложения полученных результатов к задаче С. П. Новикова об асимптотическом поведении плоских сечений 3-периодических поверхностей и связь с гипотезой Дынникова-Скрипченко о структурной неустойчивости перекладываний отрезков с нулевым инвариантном Са-Арну-Фати. Мы предъявили интегральное представление Гаусса--Гивенталя для волновых функций квантовой цепочки Тоды $BC$, а также ввели операторы Бакстера для этой модели. Мы доказали коммутативность операторов Бакстера, а также показали, что построенные волновые функции симметричны относительно знаковых перестановок спектральных параметров и диагонализируют операторы Бакстера. Кроме того, мы нашли интегральное представление Меллина--Барнса для волновых функций. С его помощью мы показали, что волновые функции удовлетворяют дуальной системе разностных уравнений относительно спектральных параметров и совпадают с гипероктаэдрическими функциями Уиттекера. Наконец, мы приводим эвристические доказательства ортогональности и полноты волновых функций. Построено новое семейство марковских процессов с непрерывным временем, связанных с N-мерными симметрическими полиномами q-Якоби. Эти процессы определены на пространстве N-точечных конфигураций на q-сетке, являющейся q-аналогом отрезка [-1,1]. Мы доказали, что эти процессы обладают свойством феллеровости и выдерживают педельный переход, при котором параметр N (число частиц) стремится к бесконечности. В результате предельного перехода получается семейство феллеровских марковских процессов с бесконечным числом взаимодействующих частиц на той же q-сетке. Доказано также, что для каждого из предельных феллеровских процессов существует стационарная вероятностная мера и она единственна. https://arxiv.org/abs/2502.20813 Для страта в пространстве плоских поверхностей рода 5, где 1-форма имеет два нуля порядка 4 доказано, что каждый локус собственных форм Прима является замыканием единственной орбиты. Это первый нетривиальный результат для максимально возможного рода, в котором локусы Прима непусты. Доказано, что для группы периодов ранга 2g главный страт в пространстве вещественно нормированных дифференциалов с единственным полюсом порядка 2 на кривых рода g ≥ 1 имеет одну компоненту связности. Доказано, что для группы периодов ранга 2g страт коразмерности 1 в пространстве вещественно нормированных дифференциалов с единственным полюсом порядка 2 на кривых рода g ≥ 2 имеет единственную компоненту связности. Найдены подстановки в универсальные gl- и so-весовые системы, старшие коэффициенты которых определяют гомоморфизмы алгебр Хопфа перестановок в алгебры Хопфа многочленов от бесконечного набора переменных. Предложены более конкретные подстановки, порождающие полиномиальные инварианты графов. Построены новые решения ассоциативного уравнения Янга–Бакстера с параметрами, связанное с супералгеброй Ли gl(n|n). Разработан новый метод построения интегрируемых систем, рассматриваемых как R-матричное обобщение спиновых систем Калоджеро-Мозера. Для этого введены R-матричные операторы Данкла, коммутативность которых следует из ассоциативного уравнения Янга-Бакстера с параметрами. Также приведен концептуальный метод построения R-матричных пар Лакса этой системы. C помощью freezing-процедуры построены коммутирующие гамильтонианы спиновых интегрируемых цепочек. Для модели Захарова-Львова волновой турбулентности обосновано приближение энергетического спектра решением волнового кинетического уравнения в докритическом скейлинге параметров -- когда эффективный размер нелинейности стремится к нулю сколь угодно медленно с ростом периода тора.

Публикации

1. Девяткова И.Е. Semigroup approah to admissible representtions of the infinite symmetric group Записки научных семинаром ПОМИ, том 543, с. 92-118 (год публикации - 2025)

2. Матушко М.Г. A solution of the associative Yang-Baxter equation related to the queer Lie superalgebra Journal of Geometry and Physics, Volume 218, December 2025, 105671 (год публикации - 2025)
10.1016/j.geomphys.2025.105671

3. Ландо С.К., Ян Ч. Chromatic polynomial and the so weight system Annales de l'Institut Henri Poincare (D) Combinatorics, Physics and their Interactions, Annales de l'Institut Henri Poincare (D) Combinatorics, Physics and their Interactions. 2025 (год публикации - 2025)
10.4171/AIHPD/208

4. Ненашева М.С. Изопериодическое слоение на пространствах модулей вещественно нормированных мероморфных дифференциалов с одним полюсом Функциональный анализ и его приложения, Функц. анализ и его прил., 59:1 (2025), 89–106 (год публикации - 2025)
10.4213/faa4081

5. Огиевецкий О., Шлосман С. Plinths and pedestals The Mathematical Intelligencer, The Mathematical Intelligencer, pp.1-4. (год публикации - 2025)

6. Девяткова И.Е., Ольшанский Г.И. Пределы групповых алгебр для растущих симметрических групп и сплетений Алгебра и анализ (год публикации - 2026)

7. Дымов А.В. Kinetic approximation for equations of discrete turbulence in the subcritical case arXiv.org, - (год публикации - 2025)