Аннотация результатов, полученных в 2024 году
Доказано, что любое вычислимое поле характеристики 0, обладающее вычислимо перечислимым базисом трансцендентности, обладает изоморфным P-вычислимым представлением. Было доказано следующее утверждение: если T - эренфойхтова теория с арифметическими типами и у T есть абстрактная предельная модель, в которой выполняется некоторое АЕ-предложение в обогащенной сигнатуре, в которую добавлены предикаты для конечного множества типов, то у Т есть и арифметическая предельная модель, в которой выполняется это предложение. Изучалась сложность проблемы существования $\forall$-предложения ($\exists$-предложения), эквивалентного данному предложению. Доказано, что для сигнатуры, состоящей только из одноместных предикатных символов, обе данные проблемы вычислимы. Если же сигнатура содержит хотя бы два одноместных функциональных символа, установлено, что каждая из указанных проблем является $m$-полным $\Sigma^0_1$-множеством. Доказано, что проблема совместности систем диофантовых уравнений над конечными конфигурациями в проективных плоскостях является NP-полной. Изучалось соотношение между Сигма-представимостью структур в наследственно конечной надстройке над вещественными числами HF(R) и ITBM-вычислимой представимостью структур. Получен общий результат, из которого следует, что любая Сигма-определимая над HF(R) структура ITBM-представима. Обратное утверждение неверно. Исследовались структуры PR(I) и PR(C) fpr-степеней пунктуальных представлений единичного интервала I и пространства Кантора C. Доказано, что PR(C) содержит наибольший элемент, степень стандартного представления C, и состоит из представлений, относительно которых C пунктуально компактно. Все эти представления попарно пунктуально изометричны. PR(I) не имеет наибольшего элемента, но содержит максимальный элемент – степень стандартного представления I. Эта степень состоит из представлений, относительно которых I пунктуально компактно, и все такие представления попарно пунктуально изометричны. Доказано, что вещественное замыкание порядково позитивного поле - снова порядково позитивное поле. Подсчитаны индексные множества следующих классов порядково позитивных полей: (1) архимедовых; (2) архимедовых полей, обладающих вычислимым представлением (конструктивизацией); (3) архимедовых вещественно замкнутых полей; (4) архимедовых регулярно r-замкнутых полей; (5) архимедовых гильбертовых полей. Было доказано, что булева алгебра обладает вычислимым представлением с вычислимым множеством атомов тогда и только тогда, когда она обладает вычислимым представлением, в котором идеал Фреше является вычислимо перечислимым. Было доказано, что существует позитивная атомная булева алгебра, у которой нет вычислимого представления. Доказано, что существует вычислимая булева алгебра с вычислимым множеством атомов такая, что её фактор-алгебра по идеалу Фреше является атомной и не имеет вычислимого представления. Доказано существование вычислимой булевой алгебры A, такой, что (A, At, Als) — вычислимая структура, но у неё нет вычислимого представления B такого, чтобы структура (B, At, Als, Atm) тоже была вычислима. Доказано существование вычислимой булевой алгебры A, такой, что (A, At, Als, Atm) — вычислимая структура, но у неё нет вычислимого представления B такого, чтобы структура (B, At, Als, Atm, E_1) тоже была вычислима.

Аннотация результатов, полученных в 2025 году
Ранее в ходе работы был получен достаточно простой критерий, говорящий, когда у данной структуры А есть изоморфное P-вычислимое представление. В этом году на основе этого критерия удалось доказать, что любая вычислимая абелева группа, обладающая вычислимо перечислимым линейным базисом, обладает изоморфным P-вычислимым представлением. Кроме того, для указанного критерия удалось найти его естественный аналог в классе примитивно рекурсивных структур. Было показано, что структура А обладает изоморфным примитивно рекурсивным представлением тогда и только тогда, когда у неё существует система порождающих, относительно которой проблема равенства термов задаётся алгоритмом, который вычислим относительно числа порождающих и одновременно примитивно рекурсивен при фиксированном числе этих порождающих. Критерий позволяет найти простое и элементарное доказательство существования примитивно рекурсивного представления у ряда естественных вычислимых структур, например, у направленных вверх вычислимых частичных порядков без наибольшего элемента. Доказана метатеорема, позволяющая переносить результаты о Сигма-определимости в наследственно конечной надстройке над вещественными числами на ITBM-вычислимость. Как следствие, получены результаты о существовании ITBM-представлений для ряда структур. Доказана теорема о существовании ITBM-представимой модели мощности континуума для счётных непротиворечивых теорий с бесконечными моделями. Доказано существование ITBM-вычислимого представления для группы автогомеоморфизмов единичного отрезка. Доказано существование универсальных ITBM-вычислимых пополнений для сепарабельных ITBM-вычислимых метрических пространств. Исследована теория конечных расширений в классе порядково позитивных полей. Показано, что по индексу исходного поля и номеру полинома f(x) от одной переменной без кратных корней индекс поля, полученного присоединением всех корней f из вещественного замыкания к исходному полю, может быть найден эффективно (т.е. вычислен). Исследовалась структура PR(I) пунктуальных представлений единичного интервала относительно пунктуальной сводимости. Удалось показать, что эта структура не содержит минимальных элементов и плотна, то есть между двумя пунктуальными представлениями $\alpha$ и $\beta$, такими что $\alpha <_fpr \beta$, найдётся ещё одно представление $\gamma$ т.ч. $\alpha <_fpr \gamma <_fpr \beta$. Полная элементарная теория счётной сигнатуры называется эренфойхтовой, если она обладает лишь конечным числом неизоморфных счётных моделей, и при этом это число отлично от 1. Был получен частичный ответ на вопрос, поставленный Эшем и Милларом (1976), об арифметичности счётных моделей эренфойхтовых теорий с арифметическими типами. Опираясь на тот факт, что все модели эренфойхтовых теорий являются либо почти простыми, либо предельными над некоторым неглавным типом p, назовем модели с таким свойством фундированными. Скажем, что A - наследственно фундированная структура, если $(A,d)$ - фундированная структура для любого конечного набора $d$ из A. Пусть T - полная теория сигнатуры L, все типы которой являются арифметическими. Пусть сигнатура $L*$, помимо исходной сигнатуры $L$, содержит также новые предикаты $P_1, \ldots, P_r$, где каждый предикат $P_i$ соответствует некоторой бесконечной конъюнкции арифметического множества обычных формул первого порядка. Предположим, что Ф - $\exists \forall \exists$-предложение расширенной сигнатуры $L*$. Был доказан следующий факт: если у теории Т есть наследственно фундированная модель A, в которой верно Ф, то у Т есть и арифметическая модель, в которой верно Ф. Более того, в ходе работы полученная теорема была обобщена на случай предложения Ф той же сложности, содержащего при этом бесконечные вычислимые дизъюнкции и конъюнкции формул.